Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Консервативная система с одной степенью свободыРис. . Фазовые кривые уравнения маятникаРис. . Цилиндрическое фазовое пространство маятникаятника, перевернутого вверх ногами. Период колебаний при этом растет(так как время движения по сепаратрисам, из которых состоит критическоемножество уровня, бесконечное).Бо́льшим значениям энергии соответствуют незамкнутые кривые, накоторых x2 не меняет знака, т. е.

маятник не качается, а вращается. Его скорость достигает наибольшего значения в нижнем, а наименьшего –– в верхнем положении.Заметим, что значения x1 , отличающиеся на 2kπ, соответствуют одинаковым положениям маятника. Поэтому фазовым пространством маятникаестественно считать не плоскость, а цилиндр [x1 mod 2π, x2 ] (рис.

).Наворачивая на цилиндр нарисованную уже на плоскости картину, получим фазовые кривые маятника на поверхности цилиндра. Все они ––замкнутые гладкие кривые, исключаядве стационарные точки A, B (нижнееи верхнее положения равновесия) и двесепаратрисы C, D.Зàäà÷à . Нарисовать графики функций x1 (t) и x2 (t) для решения с энергией, близкой к критической энергииРис. . Угол отклонения маятникав верхнем положении, но немного меньи скорость его изменения при амплишей.туде, близкой к πОòâåò. См.

рис. . Функции x1 (t),x2 (t) выражаются через эллиптическийсинус sn и эллиптический косинус cn. Когда E стремится к меньшему критическому значению, колебания маятника приближаются к гармоническим,а sn и cn переходят в sin и cos.Глава . Основные теоремыЗàäà÷à . С какой скоростью стремится к бесконечности период T колебаний маятника, когда энергия E стремится к верхнему критическомузначению E1 ?Оòâåò. С логарифмической (∼ C ln(E1 − E)).Уêàçàíèå. См.

формулу ().Зàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые систем с потенциальной энергией U(x) = ±x sin x, ±sin x, ± sin x 2 .xЗàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые уравнения Ньютона с силовымполем F(x) = ±x sin x, ±sin x, ± sin x 2 .x. Малые возмущения консервативной системы. Исследовавдвижения консервативной системы, мы можем изучать близкие системы общего вида при помощи теоремы о дифференцируемости попараметру (ср. § , п. ).

При этом мы встретим качественно новыеи весьма важные в приложениях явления –– так называемые автоколебания.Зàäà÷à . Исследовать фазовые кривые системы, близкой к системеуравнений малых колебаний маятника:¨ẋ1 = x2 + ǫ f1 (x1 , x2 ),ǫ ≪ 1, x12 + x22 ¶ R2 .ẋ2 = −x1 + ǫ f2 (x1 , x2 ),Рåøåíèå. При ǫ = 0 получаем уравнения малых колебаний маятника.По теореме о дифференцируемости по параметру при малых ǫ решение (наконечном интервале времени) отличается поправкой порядка ǫ от гармонических колебаний:x1 = A cos(t − t0 ),x2 = −A sin(t − t0 ).Следовательно, при достаточно малом ǫ < ǫ0 (T ) фазовая точка остаетсявблизи окружности радиуса A в течение интервала времени T .В отличие от консервативного случая (ǫ = 0), при ǫ 6= 0 фазовая криваяне обязательно замкнута: она может иметь вид спирали (рис.

), у которой расстояние между соседними витками мало (порядка ǫ). Чтобы узнать,приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него,рассмотрим приращение энергии E =x122+x222за один оборот вокруг началакоординат. Нас будет особенно интересовать знак этого приращения: нараскручивающейся спирали приращение положительно, на сжимающейся –– отрицательно, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу () для приращения энергии.Производную энергии по направлению нашего векторного поля легковычислить: она пропорциональна ǫ и равна Ė(x1 , x2 ) = ǫ(x1 f1 + x2 f2 ).§ . Консервативная система с одной степенью свободыРис. . Фазовые кривые уравнения ван дер Поля и приращениеэнергии за один оборотДля вычисления приращения энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая, к сожалению, нам неизвестна. Но мы уже выяснили, что этот виток близок к окружности.

Поэтому интеграл можно с точностью до O(ǫ 2 ) брать по окружности S радиуса A:∆E = ǫ2πR0Ė(A cos t, −A sin t) dt + O(ǫ 2 ).Подставляя вычисленное значение Ė, находим ∗)∆E = ǫF(A) + O(ǫ 2 ),()Hгде F(A) = f1 dx2 − f2 dx1 (интеграл берется по окружности радиуса A «против часовой стрелки»).Вычислив функцию F, мы сможем исследовать поведение фазовых кривых. Если функция F положительна, то приращение энергии ∆E за обороттакже положительно (при малых положительных ǫ). В этом случае фазоваякривая –– раскручивающаяся спираль; система совершает нарастающие колебания.

Если F < 0, то ∆E < 0 и фазовая спираль закручивается. В этомслучае колебания затухают.Может случиться, что функция F меняет знак (рис. ). Пусть A0 –– простой корень функции F. Тогда при малых ǫ уравнению ∆E(x1 , x2 ) = 0 удовлетворяет замкнутая кривая Γ на фазовой плоскости, близкая к окружностирадиуса A0 (это следует из теоремы о неявной функции).Очевидно, кривая Γ является замкнутой фазовой кривой –– предельнымциклом нашей системы.Будут ли близкие фазовые кривые наматываться на цикл или сматыватьdF ся с него, определяется знаком производной F ′ =.

Если ǫF ′ > 0, тоdAA=A0цикл неустойчив, а если ǫF ′ < 0 –– устойчив. Действительно, в первом случае∗)Мы пользуемся тем, что dx1 = x2 dt и dx2 = −x1 dt вдоль S.Глава . Основные теоремыприращение энергии за оборот больше нуля, если фазовая кривая находится вне цикла, и меньше нуля, если внутри; поэтому фазовая кривая всегдаудаляется от цикла. Во втором же случае фазовые кривые приближаютсяк циклу и изнутри, и снаружи, как на рис. .Пðèìåð . Рассмотрим уравнение ẍ = −x + ǫ ẋ(1 − x 2 ) (называемое уравнением ван дер Поля). Вычисляя интеграл () при f1 = 0,€A4 Š.f2 = x2 (1 − x12 ), получаем F(A) = π A2 −4Эта функция имеет простой корень A0 = 2 (рис. ), причем применьших A она положительна, а при бо́льших –– отрицательна. Поэтому уравнение ван дер Поля имеет при малых ǫ устойчивый предельный цикл, близкий к окружности x 2 + ẋ 2 = 4 на фазовой плоскости.Сравним движения исходной консервативной системы (ǫ = 0)с тем, что происходит при ǫ 6= 0.

В консервативной системе возможны колебания с любой амплитудой (все фазовые кривые замкнуты).Амплитуда определяется здесь начальными условиями.В неконсервативной системе возможны качественно иные явления, например устойчивый предельный цикл. В этом случае привесьма разных начальных условиях устанавливается периодическоеколебание одной и той же, вполне определенной амплитуды. Этотустановившийся режим называется режимом автоколебаний.Зàäà÷à *.

Исследовать автоколебательные режимы движения маятника с малым трением под действием постоянного вращающего момента M:ẍ + sin x + ǫ ẋ = M.Уêàçàíèå. Эта задача подробно разобрана для любых ǫ и M в книгеА. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина «Теория колебаний» (М.: Физматгиз, ), гл. .Глава Линейные системыЛинейные уравнения –– едва ли не единственный большой классдифференциальных уравнений, для которых имеется достаточнополная теория. Эта теория, являющаяся, в сущности, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить все линейные автономные уравнения.Теория линейных уравнений полезна в качестве первого приближения и при исследовании нелинейных задач. Например, она позволяет исследовать устойчивость положений равновесия и топологический тип особых точек векторных полей в случаях общего положения.§ .

Линейные задачиРассмотрим вначале два примера ситуаций, где возникают линейные уравнения.. Пример: линеаризация. Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное векторным полем v в фазовом пространстве. Мыуже знаем, что в окрестности неособой точки (v 6= 0) поле устроенопросто: оно выпрямляется диффеоморфизмом.

Рассмотрим теперьустройство поля в окрестности особой точки, т. е. точки, где векторполя обращается в 0. Такая точка x0 является стационарным решением нашего уравнения. Если уравнение описывает какой-либофизический процесс, то x0 –– стационарное состояние процесса, его«положение равновесия». Поэтому исследование окрестности особой точки –– это изучение того, как будет развиваться процесс прималом отклонении начальных условий от равновесных (пример:верхнее и нижнее положения равновесия маятника).При исследовании векторного поля в окрестности точки x0 , гдевектор поля равен 0, естественно разложить поле в окрестностиэтой точки в ряд по формуле Тейлора.

Первый член ряда Тейлора –– линейный. Отбрасывание остальных членов называется линеаризацией. Линеаризованное векторное поле можно рассматриватьГлава . Линейные системыкак пример векторного поля с особой точкой x0 . С другой стороны,можно надеяться, что поведение решений исходного и линеаризованного уравнений близко (так как при линеаризации отбрасываются малые высшего порядка). Конечно, вопрос о связи решенийисходного и линеаризованного уравнений требует специального исследования. Это исследование основывается на подробном анализелинейного уравнения, которым мы и будем вначале заниматься.Зàäà÷à . Покажите, что линеаризация –– инвариантная, т.

е. не зависящая от системы координат, операция.Точнее, пусть поле v в области U задается в системе координат xi компонентами vi (x). Пусть особая точка имеет координаты xi = 0 (так что vi (0) = 0,i = 1, …, n). Тогда исходное уравнение записывается в виде системыẋi = vi (x),i = 1, …, n.Оïðåäåëåíèå. Линеаризованным уравнением называется уравнениеnP∂v ξ̇i =aij ξ j , i = 1, …, n, aij = i .∂x jj=1x=0Рассмотрим касательный вектор ξ ∈ T0 U с компонентами ξi (i = 1, …, n).Линеаризованное уравнение можно записать в видеξ̇ = Aξ,где A –– линейное отображение A : T0 U → T0 U, заданное матрицей (aij ).Утверждается, что отображение A не зависит от системы координат xi ,участвовавшей в его определении.Зàäà÷à .

Линеаризовать уравнение маятника ẍ = − sin x вблизи положений равновесия x0 = kπ, ẋ0 = 0.. Пример: однопараметрические группы линейных преобразований Rn . Другая задача, сразу сводящаяся к линейным дифференциальным уравнениям, –– это задача описания однопараметрических групп линейных преобразований ∗) линейного пространства Rn .Заметим, что касательное пространство к линейному пространству Rn в любой точке естественно отождествляется с самим линейным пространством. А именно, мы отождествляем элемент ϕ̇касательного пространства Tx Rn , представителем которого являетсякривая ϕ : I → Rn , ϕ(0) = x, с векторомv = limt→0∗)ϕ(t) − x∈ RntНапомним, что мы включаем в определение однопараметрической группы {g t }дифференцируемость g t x по x и t.§ .

Характеристики

Список файлов книги