Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Предположим, что каждое решение уравнения ẋ = v(t, x)с n-мерным фазовым пространством можно продолжить на всю ось t. Докажите, что такое уравнение имеет во всем расширенном фазовом пространстве n функционально независимых первых интегралов (зависящих от времени), через которые все его (зависящие от времени) первые интегралыфункционально выражаются.§ . Линейные и квазилинейные уравненияпервого порядка с частными производнымиУравнения с частными производными изучены гораздо хуже,чем с обыкновенными.

Теорию одного уравнения с частными производными первого порядка удастся свести к исследованию специальных обыкновенных дифференциальных уравнений, так называемых уравнений характеристик. Сущность связи между уравнениемс частными производными и уравнением характеристик состоитв том, что движение сплошной среды можно описывать как с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений движения еечастиц, так и с помощью уравнения с частными производнымидля поля.

Ниже подробно разобраны простейшие частные случаилинейных и так называемых квазилинейных уравнений с частными§ . Линейные и квазилинейные уравненияпроизводными первого порядка и также приведен рецепт решенияобщего уравнения.. Линейное однородное уравнение.Оïðåäåëåíèå. Линейным однородным уравнением первого порядка в области U называется уравнение La u = 0, где a –– известное векторное поле в области U, а u –– неизвестная функция. В координатах оно имеет вид a1 ∂u/∂x1 + … + an ∂u/∂xn = 0, ak = ak (x1 , …, xn ).Фазовые кривые векторного поля a называются характеристикамиуравнения La u = 0. Уравнение ẋ = a(x) называется уравнением характеристик.Зàìå÷àíèå.

Прилагательное «характеристический» в математике всегда означает «связанный инвариантно» (в данном случаеинвариантно относительно выбора системы координат). Так, характеристическая подгруппа группы –– это подгруппа, переходящаяв себя при всех автоморфизмах группы, характеристическое уравнение матрицы оператора не зависит от выбора базиса, характеристические классы в топологии переходят в себя при диффеоморфизмах и т. д.Характеристики уравнения La u = 0 связаны с ним инвариантноотносительно диффеоморфизмов: если диффеоморфизм переводитстарое уравнение в новое, то он переводит характеристики старогоуравнения в характеристики нового.

Можно даже вдобавок умножить поле a на не обращающуюся в нуль функцию –– это не изменитни решений, ни характеристик уравнения.Зàäà÷à . Найти характеристики уравнения ∂u/∂x = y ∂u/∂ y.Рåøåíèå. ẋ = 1, ẏ = − y; y = Ce−x .Тåîðåìà. Функция u является решением уравнения La u = 0, еслии только если она является первым интегралом уравнения характеристик.Дîêàçàòåëüñòâî. Это определение первого интеграла.Несмотря на очевидность этой теоремы, она очень полезна, таккак решать обыкновенное уравнение характеристик легче, чем решать исходное уравнение с частными производными.Зàäà÷à . Решить уравнение задачи .Рåøåíèå.

u = ye x –– решение, все решения исчерпываются функциямиот этого.Зàäà÷à . Решить уравнение y ∂u/∂x = x ∂u/∂ y на всей плоскости.Оòâåò. Решения –– функции от x 2 + y 2 .Глава . Основные теоремыЗàäà÷à . Исчерпываются ли решения уравнения x ∂u/∂x = y ∂u/∂ yна R2 функциями от xy?Оòâåò. Нет, существует решение, для которого u(1, 1) 6= u(−1, −1).. Задача Коши.Оïðåäåëåíèå . Задачей Коши для уравнения La u = 0 называется задача об определении функции u по ее значениям на данной гиперповерхности. (Гиперповерхностью в Rn называется (n − 1)-мерная поверхность.

Например, в случае n = 2 гиперповерхность естькривая, при n = 3 –– обычная поверхность.)Заданная гиперповерхность называется начальной гиперповерхностью, а задание на ней искомой функции –– начальным условием,u|γ =ϕ. Функция ϕ называется начальной функцией, она задана на начальной гиперповерхности.Задача Коши не всегда имеет решение.

Действительно, вдоль каждой характеристики значение u постоянно. Но характеристика может пересекать начальную поверхность несколько раз(рис.). Если значения начальной функцииРис. . Неразрешимая задача Кошив этих точках различны, то соответствующая задача Коши не имеет решения ни в какой области,содержащей указанную характеристику.Оïðåäåëåíèå. Точка на начальной гиперповерхности называется нехарактеристической, если характеристика, проходящая черезэту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гиперповерхности.Тåîðåìà. Пусть x –– нехарактеристическая точка на начальнойгиперповерхности. Тогда существует такая окрестность точки x,что задача Коши в этой окрестности имеет решение, и притомтолько одно.Дîêàçàòåëüñòâî. По теореме о выпрямлении можно выбратькоординаты в окрестности точки x так, что поле a будет иметькомпоненты (1, 0, …, 0), а начальная гиперповерхность примет видx1 = 0.

В этих координатах задача Коши принимает вид ∂u/∂x1 = 0,u| x1 =0 =ϕ. Единственное в выпуклой области решение: u(x1, …, xn ) == ϕ(x2 , …, xn ).Зàäà÷à . Решить задачу Коши u| x=0 = sin y для уравнения∂u∂u=y .∂x∂yРåøåíèå. На характеристике y = Ce−x ; согласно начальному условию,u = sin C.§ . Линейные и квазилинейные уравненияОòâåò. u = sin(e x y).Зàäà÷à . Какие точки прямой x = 1 являются нехарактеристическимидля уравнения y ∂u/∂x = x ∂u/∂ y?Оòâåò. y 6= 0.Зàäà÷à . Имеет ли решение задача Коши u| x=1 = y 2 для этого уравнения на R2 и единственно ли решение?Оòâåò.

Решение существует, но не единственно.Зàìå÷àíèå. Решения обыкновенного дифференциального уравнения образуют конечномерное многообразие: каждое решение задается конечным набором чисел (начальных условий). Мы видим,что у линейного однородного уравнения с частными производнымипервого порядка относительно функции от n переменных «столькорешений, сколько существует функций от n − 1 переменных». Аналогичное явление имеет место и для общих уравнений с частнымипроизводными первого порядка.Причина становится ясной, если рассмотреть дифференциальное уравнение как предел разностных. Те же соображения подсказывают, что для уравнения с частными производными второго порядка нужно задавать на начальной гиперповерхности две функции(значения решения и его производной по трансверсальному начальной гиперповерхности направлению), и т.

д. Разумеется, эти соображения не заменяют доказательств соответствующих теорем существования и единственности решений. Эти доказательства можнонайти в учебниках по теории уравнений с частными производными,например, в книге Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической физики» (М.: Гостехиздат, ).. Линейное неоднородное уравнение.Оïðåäåëåíèå. Линейным неоднородным уравнением первого порядка в области U называется уравнение La u = b, где a –– заданноевекторное поле, b –– заданная функция, u –– искомая функция в области U.

В координатной записи: a1 ∂u/∂x1 + … + an ∂u/∂xn = b, гдеak и b –– известные функции от x1 , …, xn .Задача Коши ставится так же, как для однородного уравнения.Тåîðåìà. В достаточно малой окрестности любой нехарактеристической точки начальной поверхности решение существуети единственно.Дîêàçàòåëüñòâî. Производная неизвестной функции по времени движения вдоль характеристики известна (равна b), поэтому ееприращение вдоль отрезка характеристики равно интегралу от b поГлава . Основные теоремывремени движения вдоль этого отрезка.

Например,R если a1 6= 0 в изучаемой точке, то указанное приращение равно b/a1 dx1 вдоль отрезка характеристики.Зàäà÷à . Решить задачу Коши u| x=0 = sin y для уравнения∂u/∂x = y ∂u/∂ y + y.Рåøåíèå. При изменении x со скоростью 1 значение u на характеристике y = Ce−x меняется со скоростью Ce−x . Следовательно, приращение uвдоль этой характеристики при изменении x от 0 до X равно C(1 − e−X ).Точка (X , Y ) лежит на характеристике, где C = e X Y .

В этой точке u == sin C + C(1 − e−X ).Оòâåò. u = sin(e x y) + y(e x − 1).. Квазилинейное уравнение.Оïðåäåëåíèå. Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение Lα u = β относительно функции u, где α(x) == a(x, u(x)), β(x) = b(x, u(x)). Здесь a –– векторное поле в x-пространстве, зависящее от точки оси u как от параметра, b –– функцияв x-пространстве, также зависящая от точки оси u как от параметра.В координатной записи уравнение имеет видa1 (x, u)∂u∂u+ … + an (x, u)= b(x, u).∂x1∂xnОтличие от линейного уравнения только в том, что коэффициенты a и b могут зависеть от значения неизвестной функции.Пðèìåð.

Рассмотрим одномерную среду из частиц, движущихся по прямой по инерции, так что скорость каждой частицы остается неизменной. Обозначим скорость частицы, находящейся в момент t в точке x, через u(t, x). Запишем уравнение Ньютона: ускорение частицы равно нулю. Если x = ϕ(t) –– движение частицы, то∂u∂u∂u∂u+ ϕ̇ =+ u .

Итак, поле скоростей среϕ̇ = u(t, ϕ(t)) и ϕ̈ =∂t∂x∂t∂xды из невзаимодействующих частиц удовлетворяет квазилинейному уравнению ut + uu x = 0.Зàäà÷à . Построить график решения в момент t, если u = arcctg x приt = 0.Рåøåíèå. Диффеоморфизм плоскости (x, u) 7→ (x + ut, u) сдвигает каждую прямую u = const вдоль оси x на ut и переводит график решения в момент 0 в график решения в момент t (этот диффеоморфизм есть не чтоиное, как преобразование фазового потока уравнения Ньютона для частиц;плоскость (x, u) –– фазовая плоскость частицы).§ .

Характеристики

Список файлов книги