Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

§ ).Доказательство теоремы основано на следующих четырех леммах.Лåììà . Решение ϕ автономной системы первого порядка, дважды принявшее одно значение ϕ(a) = ϕ(b), b > a, можно продолжить на всю ось времени, в виде периодического отображения Φс периодом T = b − a.Дîêàçàòåëüñòâî. Всякое s однозначно представимо в виде s == nT + σ, 0 ¶ σ < T. Положим Φ(a + s) = ϕ(a + σ).

Тогда Φ –– решение периода T, совпадающее с ϕ на отрезке [a, b]. Действительно,Φ совпадает со сдвигом решения ϕ в окрестности каждой точки и,значит, само является решением (по теореме п. ).Полученное решение может иметь, кроме T, другие периоды.Изучим множество всех периодов отображения прямой.Лåììà . Множество всех периодов любого отображения прямой является подгруппой группы R.§ . Фазовые кривые автономной системыДîêàçàòåëüñòâî. Число T является периодом отображения f ,если и только если сдвиг прямой на T переводит f в себя. Сдвиги,переводящие f в себя, образуют подгруппу группы всех сдвигов.Ибо если два сдвига переводят f в себя, то и их произведение, и обратные им сдвиги переводят f в себя.Зàìå÷àíèå.

Это рассуждение показывает также, что если какаяугодно группа действует на каком угодно множестве, то все преобразования группы, оставляющие на месте фиксированный элементмножества, образуют подгруппу исходной группы. Эта подгруппа называется стационарной группой фиксированного элемента.Лåììà .

Множество всех периодов непрерывного отображенияпрямой замкнуто.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть последовательность периодов Ti отображения f сходится к числу T, тогда f (t + T) = lim f (t + Ti ) = lim f (t) == f (t) при любом t.Итак, множество всех периодов непрерывного отображения прямой является замкнутой подгруппой прямой.Лåììà . Всякая замкнутая подгруппа G группы вещественныхчисел R есть либо R, либо арифметическая прогрессия, образованная целыми кратными некоторого числа, либо {0}.Дîêàçàòåëüñòâî.

Если G 6= {0}, то в G есть положительные элементы (вместе с t в G входит −t).Возможные два случая:) в G есть сколь угодно близкие к 0 положительные элементы;) расстояния от 0 до всех положительных элементов группыбольше некоторого положительного числа.В первом случае G содержит арифметические прогрессии со скольугодно малыми разностями, следовательно, элементы G есть в любой окрестности любой точки прямой. Поскольку G замкнута, G = R.Во втором случае рассмотрим ближайший к 0 положительный элемент T группы (он существует, так как группа замкнута).

Арифметическая прогрессия целых кратных элемента T принадлежит группе.Докажем, что никаких других элементов в группе нет. Действительно, любое другое число t представимо в виде nT + τ, где 0 < τ < T.Если t ∈ G, то t − nT = τ < T –– положительный элемент группы, вопреки минимальности элемента T.Зàäà÷à . Найти все замкнутые подгруппы: ) плоскости R2 , ) пространства Rn , ) окружности S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.Глава . Основные теоремыОòâåò.

) и ) –– прямые суммы замкнутых подгрупп прямой (рис. );) правильные n-угольники, образованные корнями степени n из 1, и S1 .Объединяя леммы ,  и , мы заключаем, что множество всех периодов непрерывного периодического отображения прямойлибо состоит из всех целых кратных одного наименьшего периода, либо составляет всю прямую (тогда отображение –– константа).В частности, решение Φ леммы  либопостоянно (и тогда соответствующаяРис. .

Замкнутая подгруппа плоскостифазовая кривая –– положение равновесия),либо имеет наименьший период θ . Определим отображение A окружности на фазовую кривую формулойA : (cos α, sin α) 7→ Φ(αθ /2π). Это отображение A определено, таккак Φ имеет период θ . Отображение A дифференцируемо, таккак Φ –– решение. Отображение A взаимно однозначно отображаетокружность на фазовую кривую, так как Φ не может дважды принять одно значение внутри наименьшего периода (по лемме ).Производная A по α всюду отлична от нуля, иначе решение принимало бы значение, являющееся положением равновесия, и тогдапо теореме единственности было бы константой. По теореме о неявной функции, A локально диффеоморфно отображает ось α на образ Φ в фазовом пространстве, т.

е. на фазовую кривую. Значит, отображение, обратное A, дифференцируемо, т. е. A –– диффеоморфизм.Теорема доказана.Незамкнутые фазовые кривые, хотя и не могут самопересекаться, могут сложным образом навиваться сами на себя.Зàäà÷à . Найти замыкания фазовых кривых двойного маятника: ẍ1 == −x1 , ẍ2 = −2x2 .Оòâåò. Точка, окружности и торы. См. §  и § , п. .§ . Производная по направлению векторного поляи первые интегралыМногие геометрические понятия можно описывать двумя способами: на языке точек пространства или же с помощью функций, заданных на нем. Такая дуализация часто оказывается полезной в самых разных отделах математики.§ .

Производная по направлению векторного поляВ частности, векторные поля можно описывать не только с помощью скоростей движений, но и как дифференцирования функций,а основные теоремы теории дифференциальных уравнений можно сформулировать в терминах первых интегралов..

Производная по направлению вектора. Рис. . ПроизводнаяПусть v –– приложенный в точке x области U функции f по направвектор, и пусть f : U → R –– дифференцируемая лению вектора vфункция. Пусть ϕ : I → U –– какая-либо параметризованная кривая, выходящая из x со скоростью v, так что ϕ(0) = x,ϕ̇(0) = v. Возникает сквозное отображение интервала I вещественной оси в вещественную ось, f ◦ϕ : I → R, ( f ◦ϕ)(t) = f (ϕ(t)), т. е. вещественная функция вещественного переменного t (рис. ).Оïðåäåëåíèå. Производной функции f по направлению вектора v называется производная построенной функции в нуле.Это число обозначается через Lv f (L –– в честь Софуса Ли). Чтобыоправдать это определение, надо проверить, что полученное числозависит только от вектора v, а не от специального выбора кривой ϕ.Это видно, например, из выражения производной по направлениючерез координаты: по правилу дифференцирования сложной функцииnP∂fdLv f = f ◦ ϕ =vi ,dtt=0i=1∂xiгде производные берутся в точке приложения вектора: здесь xi –– координаты в окрестности этой точки, vi –– компоненты вектора скорости в этой системе координат.То же самое можно выразить иначе, сказав, что Lv f есть значение 1-формы df на векторе v.Зàäà÷à .

Вычислить производную функции H по направлению вектоP€ ∂H ∂∂H ∂ Šра−.∂pi ∂qi∂qi ∂piОòâåò. 0.. Производная по направлению векторного поля. Пусть теперь v –– векторное поле в области U.Оïðåäåëåíèå. Производной функции f : U → R по направлениюполя v называется новая функция Lv f : U → R, значение которойв каждой точке x равно производной функции f по направлениюГлава . Основные теоремыприложенного в точке x вектора поля: (L v f )(x) = Lv(x) f . ФункцияLv f называется также производной Ли функции f .Пðèìåð. Пусть v = ∂/∂x1 –– базисное векторное поле, компоненты которого в системе координат (x1 , …, xn ) равны (1, 0, …, 0).

Тогда Lv f = ∂ f /∂x1 –– частная производная функции f .Пðåäîñòåðåæåíèå. При работе с частными производными нужно твердо понимать, что в самом их обозначении кроется опасность:частная производная функции f по x1 зависит не только от того, какая функция в рассматриваемой области принята за координату x1 ,но в еще большей мере от того, как выбраны прочие координаты.Например, на плоскости с координатами (x, y) частная производная ∂ f /∂x функции y равна нулю, но частная производная ∂ f /∂xтой же функции точки плоскости по той же переменной x в системе координат (x, z), где z = x + y, равна −1. Следовало бы писать∂ f /∂x| y=const, ∂ f /∂x|z=const .Производная функции по направлению векторного поля лишенауказанного недостатка частной производной: это геометрическийобъект, по самому своему определению не зависящий ни от какой системы координат.

Если гладкие функция f и поле v заданы,то L v f –– вполне определенная функция (класса C r−1 , если f и vкласса C r ). Иными словами, если диффеоморфизм переводит нановое место векторное поле и функцию, то производная перенесенной функции по направлению перенесенного поля совпадаетс перенесением производной исходной функции по направлениюисходного поля. Это свойство операции дифференцирования понаправлению называется естественностью.

Другие примеры естественных операций –– сложение и умножение функций, сложениеполей и умножение функций на поле.. Свойства производной по направлению. Здесь мы опятьзаймемся формализацией очевидных фактов. Обозначим через Fмножество всех бесконечно дифференцируемых функций f : U → R.Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства (так как сложение функций сохраняет дифференцируемость), и даже кольца (так как произведение бесконечнодифференцируемых функций дифференцируемо) или, лучше сказать, R-алгебры (кольца, для элементов которого определено умножение на числа, удовлетворяющее обычным требованиям).Пусть v –– бесконечно дифференцируемое векторное поле в U.Производная функции из F по направлению поля v снова прина-§ . Производная по направлению векторного полядлежит F (здесь существенна бесконечная дифференцируемость).Итак, дифференцирование по направлению поля v есть отображение Lv : F → F алгебры бесконечно дифференцируемых функцийв себя.

Характеристики

Список файлов книги