Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Рассмотрим «расширенное уравнение» ẋ = v(t, x; α), α̇ = 0 с фазовым пространством размерности m + a (где m =dim{x}). Решение этого уравнения с начальным условием (t0 , x0 ; α) есть пара (x = ϕ(t), α = α0 ),первая компонента которой ϕ –– решение исходного уравнения приα = α0 , удовлетворяющее начальному условию ϕ(t0 ) = x0 . По следствию  эта пара гладко зависит от (t0 , x0 ; t; α0 ). Следовательно,и первая компонента гладко зависит от этих аргументов, что и требовалось.Зàìå÷àíèå. Трюк с расширением сводит теорему о гладкой зависимости от параметра к гладкой зависимости от начальных условий. Обратно, из гладкой зависимости от параметра (при фиксированном начальном условии) легко вывести гладкую зависимость отначального условия.

Достаточно сдвинуть уравнение, чтобы начальное условие превратить в параметр: vα (t, x) = v(t, x − α).Теорема о дифференцируемой зависимости от параметра доставляет весьма эффективный метод приближенного решения уравнений, близких к «невозмущенным», для которых решение известно.Достаточно представить решение возмущенного уравнения в видеряда Тейлора по степеням возмущения, подставить этот ряд в возмущенное уравнение и приравнять члены при одинаковых степеняхвозмущения. Свободный член ряда для решения будет известным ре-§ .

Теоремы о выпрямлениишением невозмущенного уравнения. Для определения следующихчленов получатся рекуррентно разрешаемые уравнения. Наиболееважное из них, уравнение для членов первой степени по возмущению, –– это неоднородное уравнение в вариациях (ср. § ).Описанный метод постоянно используется во всех приложенияхтеории дифференциальных уравнений под названием теория возмущений или метод малого параметра.

Он является одной из разновидностей метода рядов Ньютона.Зàäà÷à . Найти производную решения логистического уравнения ẋ == x(a − x) с начальным условием x(0) = 1 по параметру a при a = 1.Рåøåíèå. Пусть a = 1 + ǫ, возмущенное решение x = ϕ0 + ǫϕ1 + O(ǫ 2 ).При подстановке в возмущенное уравнение получаем уравнениеϕ̇0 + ǫ ϕ̇1 + … = (ϕ0 + ǫϕ1 + …)(1 + ǫ − ϕ0 − ǫϕ1 − …).Невозмущенное уравнение ẋ = x(1 − x) имеет решением ϕ0 ≡ 1. Приравнивая коэффициенты при ǫ, получаем уравнение в вариациях ϕ̇1 = 1 − ϕ1с начальным условием ϕ1 (0) = 0 (почему?).Оòâåò. 1 − e−t .Зàìå÷àíèå.

Физик приведенные вычисления оформил бы так. Ясно,что при a = 1 + ǫ решение x = 1 + y мало отличается от 1. Пренебрежемотличием x перед скобкой в уравнении от 1. Получаем приближенное уравнение ẋ ≈ a − x, ẏ ≈ ǫ − y, откуда y ≈ ǫ(1 − e−t ).Традиционная математическая «строгость» запрещает пренебрегать отличием от единицы первого x в уравнении, но не второго. На самом деле«физическое» рассуждение правильно –– оно просто является удобной стенограммой приведенных выше вычислений.Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения маятника с постоянным крутящим моментом, θ̈ = a − sin θ по моменту a при a = 0. В начальныймомент маятник покоится (θ = θ̇ = 0).Рåøåíèå.

θ = ay + …, a ÿ = a − ay, ÿ = 1 − y, y − 1 = z, z̈ = −z, z(0) = −1,ż(0) = 0, z = − cos t, y = 1 − cos t.Оòâåò. В первом приближении эффект малого крутящего момента состоит в сдвиге положения равновесия в точку a, причем маятник совершает малые колебания с частотой 1 вокруг этой точки; поэтому производнаярешения по a равна 1 − cos t.Пðåäîñòåðåæåíèå. Строго говоря, все наши приближенные решения обоснованы теоремой о дифференцируемости только прималых |t|. В действительности нетрудно обосновать их для любогоконечного интервала времени |t| ¶ T, если только величина возмущения ǫ не превосходит некоторой, зависящей от T, величины.Глава .

Основные теоремыНа этом интервале времени погрешностьпервого приближения теории возмущенийоценивается сверху величиной O(ǫ 2 ), но константа в O растет с ростом T.Крайне рискованно распространять полуРис. . Асимптотическое ченные таким образом выводы на бесконечповедение решений воз- ный интервал времени: переставлять премущенного уравнениядельные переходы t → ∞ и ǫ → 0 нельзя.Пðèìåð.

Рассмотрим ведро с водой, в днекоторого имеется маленькая дырка радиуса ǫ (рис. ). Для любого T существует столь малое ǫ, что в течение большого времени(t < T ) ведро почти полно. Но при любом фиксированном ǫ > 0 ведро становится пустым, когда время стремится к бесконечности.Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения малых колебаниймаятника θ̈ = −ω2 θ с начальным условием θ (0) = 1, θ̇ (0) = 0 по параметру ω при ω = 1.Рåøåíèå.

Точное решение дается формулой θ = cos ωt. Следовательно,производная равна −t sin t.Если бы мы знали точное решение только при ω = 1 и стали бы искатьрешение для ω = 1 + ǫ методом малого параметра, то мы получили быθ ≈ cos t − ǫt sin t. Мы могли бы подумать, что истинное решение не ограничено, если бы забыли, что приближением можно пользоваться толькопри малых ǫt.. Теоремы о продолжении. Рассмотрим дифференциальноеуравнение ẋ = v(t, x), заданное гладким полем направлений в области U расширенного фазового пространства.

Пусть Γ –– подмножество области U.Оïðåäåëåíèå. Решение ϕ с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 продолжается вперед (назад) до Γ, если существует решение с тем женачальным условием, график которого пересекается с Γ в точке, гдеt ¾ t0 (¶ t0 ).Решение продолжается вперед (назад) неограниченно, если существует решение с тем же начальным условием, определенное привсех t ¾ t0 (при всех t ¶ t0 ).Пðèìåð. Ни одно решение уравнения ẋ = x 2 + 1 не продолжается неограниченно ни вперед, ни назад.Оïðåäåëåíèå.

Множество называется компактом, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.§ . Теоремы о выпрямленииКомпактные подмножества евклидова пространства –– это его замкнутые и ограниченные множества.Границей множества называется множество точек, в любой окрестности которых есть как точки, принадлежащие множеству, таки не принадлежащие ему точки.Из основной теоремы о выпрямлении очевидно вытекаетСëåäñòâèå . Решение с начальным условием из компакта в расширенном фазовом пространстве можно продолжить вперед и назад до границы этого компакта.Иными словами, через любую внутреннюю точку компакта проходит интегральная кривая, пересекающая границу компакта какс одной, так и с другой стороны от начальнойточки (рис. ).Продолжение единственно в том смысле,что всякие два решения с общим начальнымусловием совпадают всюду, где оба определены.Зàäà÷à . Верно ли, что интегральную кривую Рис.

. Продолжениелюбого гладкого поля направлений в области евкли- решения до границыдова пространства, проходящую через точку компак- компактата K, можно продолжить до его границы?Оòâåò. Нет, пример –– поле направлений фазовых кривых маятникав области x12 + x22 > 0, K –– кольцо 1 ¶ x12 + x22 ¶ 2.Таким образом, для справедливости теоремы существенно, что поле направлений в расширенном фазовом пространстве «невертикально».Дîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ .

Начнем с доказательства единственности. Рассмотрим точную верхнюю грань значений времени,при которых два решения с общим начальным условием совпадают.Левее этой точки решения совпадают. Если в этой точке оба определены, то они совпадают и в ней, так как они непрерывны. Но тогдаони совпадают и правее (по локальной теореме единственности).Значит, указанная точка –– конец одного из интервалов определения.Это доказывает единственность продолжения вперед (для продолжения назад рассуждения аналогичны). Теперь построим продолжение.По локальной теореме существования у каждой точки расширенного фазового пространства есть такая окрестность, что решениес начальным условием в любой из точек этой окрестности продолжается вперед и назад на общий для всех точек этой окрестностиГлава .

Основные теоремыинтервал времени. Из покрытия компакта такими окрестностямивыбираем конечное подпокрытие. Из конечного набора интерваловвремени, соответствующих выбранным окрестностям, выбираем самый короткий. Обозначим его через ǫ.Решение с начальным условием в исходной точке продолжаетсявперед на ǫ (так как эта точка принадлежит компакту и, значит,покрыта одной из наших окрестностей). Возьмем значение этогорешения через время ǫ/2 после исходного момента. Если соответствующая ему точка интегральной кривой еще лежит в компакте, торешение с начальным условием в ней продолжается вперед еще на ǫ(итого на 3ǫ/2 от исходного момента). Опять сдвигаем время на ǫ/2(т.

е. рассматриваем значение продолженного решения в момент через ǫ после исходного) и опять продолжаем решение на ǫ, и т. д.Через конечное число шагов интегральная кривая покинет компакт(так как его проекция на ось t не может быть неограниченной, а t накаждом шагу увеличивается на ǫ/2). Следовательно, наступит момент, когда интегральная кривая пересечет границу компакта, чтои требовалось.Зàäà÷à . Докажите, что любое решение уравнения ẋ = v(t, x), заданного полем направлений в R × Rn , продолжается неограниченно, если v растетна бесконечности не быстрее, чем первая степень x, т. е. если |v(t, x)| ¶ k|x|при всех t и |x| ¾ r, где r и k –– постоянные.Уêàçàíèå. Сравнивая с движением в поле ẋ = kx, построить компакты,до границ которых придется добираться сколь угодно долго.Предположим теперь, что область определения правой частиуравнения ẋ = v(t, x) содержит цилиндр R × K, где K –– компактв фазовом пространстве.Оïðåäåëåíèå.

Характеристики

Список файлов книги