Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 18
Текст из файла (страница 18)
). Поле правленийназывается выпрямляемым, если существует его выпрямление.Тåîðåìà (îñíîâíàÿ). Всякое гладкое поле направлений выпрямляемо в окрестности каждой точки. Если поле r раз непрерывно дифференцируемо (класса C r , 1 ¶ r ¶ ∞), то и выпрямляющийдиффеоморфизм можно выбрать класса C r .Пðèìåð. Поле направлений уравнения ẋ = x (рис. ) выпрямляется диффеоморфизмом (t, x) 7→ (t, y = xe−t ). Действительно, этотдиффеоморфизм переводит интегральные кривые x = Cet на плоскости (t, x) в параллельные прямые y = C на плоскости (t, y).Зàäà÷à .
Выпрямить поля направлений уравнений ẋ = t и ẋ = x 2 в окрестности начала координат.Глава . Основные теоремыЗàäà÷à . Всякое ли гладкое поле направлений на плоскости выпрямляемо в целом?Оòâåò. Нет, см. рис. .Зàäà÷à *. Пусть в R3 дано (гладкое) поле двумерных плоскостей (в каждой точке приложена плоскость). Всегда ли можно выпрямить его (превратить в поле параллельных плоскостей подходящим диффеоморфизмом)?Уêàçàíèå.
Выпрямляемое поле является полем плоскостей, касательных к семейству поверхностей.Оòâåò. Нет. Рассмотрим, например, поле плоскостей, заданное уравнением y dx + dz = 0 (вектор принадлежит плоскости поля, если на нем эта1-форма обращается в нуль). Не существует ни одной поверхности, касающейся плоскостей этого поля.Доказательство основной теоремы будет дано в § . Вот две еепереформулировки.Тåîðåìà . Все гладкие поля направлений в областях одинакового числа измерений локально диффеоморфны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом).1 ⇒ 2: по основной теореме все поля локально диффеоморфныодному стандартному полю. 2 ⇒ 1: из локальной диффеоморфностилюбому полю вытекает, в частности, локальная диффеоморфностьстандартному, т.
е. локальная выпрямляемость.Тåîðåìà . Дифференциальное уравнение ẋ = v(t, x) с гладкойправой частью v локально эквивалентно простейшему уравнениюd y/dτ = 0.Иными словами: В окрестности каждой точки расширенногофазового пространства (t, x) существует допустимая система координат (τ, y) (переход к которой –– диффеоморфная замена переменных), в которой уравнение записывается в простейшем виде:d y/dτ = 0.1 ⇒ 3: сначала выпрямим поле направлений v, а затем рассмотрим декартовы координаты, в которых ось времени τ параллельнапрямым выпрямленного поля направлений. 3 ⇒ 1: всякое поле направлений локально записывается как поле направлений подходящего дифференциального уравнения.
Переход к локальной системекоординат, в которой уравнение имеет вид d y/dτ = 0, выпрямляетзаданное поле.Зàäà÷à *. Можно ли выпрямить во всем расширенном фазовом пространстве R × Rn поле направлений уравнения ẋ = v(t, x) с гладкой правойчастью, заданной во всем этом пространстве?§ . Теоремы о выпрямленииЗàäà÷à . Докажите, что систему координат теоремы можно выбратьтак, чтобы время не преобразовывалось (τ ≡ t).Зàäà÷à . Выпрямить поле направлений уравнения ẋ = x + t на всейплоскости сохраняющим время диффеоморфизмом (t, x) 7→ (t, y(t, x)).Зàäà÷à .
Можно ли выпрямить поле направлений уравнения ẋ = x 2 навсей плоскости сохраняющим время диффеоморфизмом?Оòâåò. Нет.Основная теорема о выпрямлении открыта, в сущности, Ньютоном. В знаменитом «втором письме» Ньютона к секретарю Королевского общества Ольденбургу (от октября года) он зашифровал метод ее доказательства в виде второй (длинной) анаграммы(переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон предпочитал вести через Ольденбурга). В современных терминах метод Ньютона состоит в следующем.Пусть дано уравнение ẋ = v(t, x).
Будем искать выпрямляющийдиффеоморфизм y = h(t, x), для которого y = x при t = 0 (времяне преобразовываем). Из условия ẏ = 0 получаем для h уравнение∂h/∂t + (∂h/∂x)v ≡ 0. Разложим v и h в ряды по степеням t:h = h0 + th1 + …,v = v0 + tv1 + …Тогда h0 (x) ≡ x, поэтому ∂h/∂x = E + th1∗ + … Подставим ряды для hи для v в уравнение для h. Развернем левую часть в ряд по t. Приравняем нулю коэффициенты при t 0 , t 1 , … в этом ряду (на основанииединственности коэффициентов ряда Тейлора). Мы получим последовательноh1 + v0 = 0, 2h2 + h1∗ v0 + v1 = 0, …В уравнение для hk входят, кроме него, лишь производные от hmс меньшими номерами. Поэтому мы можем последовательно («рекуррентно») найти сначала h1 , потом h2 и так все члены искомогоряда.В этом состоит метод Ньютона интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Чтобы применять этот метод, нужно было уметь разлагать данные функции в ряды. Для этого Ньютону пришлось открыть свою формулу бинома (1 + t)a = 1 + at + …Зàäà÷à . Решить методом Ньютона уравнение ẋ = x с начальным условием ϕ(0) = 1.Рåøåíèå. ϕ = 1 + tϕ1 + t 2 ϕ2 + … ⇒ ϕ1 + 2ϕ2 t + 3ϕ3 t 2 + … = 1 + ϕ1 t ++ ϕ2 t 2 + …, следовательно, ϕ1 = 1, ϕ2 = ϕ1 /2, ϕ3 = ϕ2 /3, …, откуда ϕk = 1/k!.Так и был впервые выведен ряд для экспоненты.Глава . Основные теоремыВсе дальнейшее развитие анализа даже и сегодня следует по намеченному Ньютоном пути.Доказательством сходимости построенных Ньютоном рядов много занимались в XIX веке.
Сходимость рядов для h в аналитическомслучае была доказана Коши ∗). Теорема Коши была перенесена наслучай конечной гладкости Пикаром, его доказательство и изложено в § .Основная теорема –– утверждение такого же характера, как теоремылинейной алгебры о приведении квадратичных форм или матриц линейных операторов к нормальному виду.
Она дает исчерпывающее описаниелокального поведения поля направлений, сводя все вопросы к тривиальному случаю параллельного поля.В анализе родственной теоремой является теорема о неявной функции.Гладкое отображение f : Rm → Rn называется невырожденным в точке 0, если ранг производной в этой точке имеет максимальное возможное значение (т. е. равен меньшему из чисел m и n).
Пусть f (0) = 0.Два таких отображения f , g называются локально эквивалентными вточке 0, если одно из них переходит в другое под действием диффеоморфизмов пространств прообраза и образа, оставляющих 0 на месте: h : Rm → Rm ,k : Rn → Rn , f ◦ h = k ◦ g.Иными словами, два отображения локально эквивалентны, если приподходящих выборах допустимых систем локальных координат в прообразе и в образе (с началом в 0) они записываются одинаковыми формулами.Тåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè.
В окрестности невырожденных точеквсякие два гладких отображения (пространств фиксированных размерностей m и n) эквивалентны друг другу.В частности, всякое отображение эквивалентно своей линейной частив невырожденной точке. Поэтому сформулированная теорема является одной из многочисленных теорем о линеаризации.В качестве локальной нормальной формы, к которой приводится отображение f диффеоморфизмами h и k, естественно выбрать следующую простейшую:yi = xi при i ¶ r,yi = 0 при i > r,где r = min(m, n) –– ранг производной f в нуле, xi –– координаты точки в пространстве-прообразе, yi –– в пространстве образе.
Иными словами, f –– вло∗)На необходимость доказательства сходимости обратил внимание еще Эйлер, заметивший, что ряды, получаемые аналогичным путем в других задачах, иногда расходятся. Эйлер искал в виде ряда по t решение уравненияdx/dt = (x − t)/t 2 , равное 0Pпри t = 0. Получился всюду расходящийся ряд x = (k − 1)! t k .§ .
Теоремы о выпрямлениижение, если размерность прообраза меньше, чем образа, и расслоение ––в противном случае.Читатель, привыкший к более сложным формулировкам теоремы о неявной функции, легко проверит их эквивалентность приведенной простойгеометрической формулировке.Все перечисленные теоремы о нормальных формах описывают орбитыдействий различных групп («замен переменных») на множествах (матриц,форм, полей, отображений, соответственно)..
Теоремы существования и единственности. Из основнойтеоремы о выпрямлении вытекаетСëåäñòâèå . Через каждую точку области, в которой заданогладкое поле направлений, проходит интегральная кривая.Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим выпрямляющий данное поле диффеоморфизм. Выпрямленное поле состоит из параллельных направлений. В нем через каждую точку проходит интегральная кривая(а именно прямая). Диффеоморфизм, обратный к выпрямляющему,переводит эту прямую в искомую интегральную кривую.Сëåäñòâèå . Две интегральные кривые гладкого поля направлений, имеющие общую точку, совпадают в окрестности этой точки.Дîêàçàòåëüñòâî. Для выпрямленного поля это очевидно, а выпрямляющий диффеоморфизм переводит интегральные кривые исходного поля в интегральные кривые выпрямленного.Сëåäñòâèå .
Решение дифференциального уравнения ẋ = v(t, x)с начальным условием (t0 , x0 ) из области гладкости правой частисуществует и единственно (в том смысле, что всякие два решенияс общим начальным условием совпадают в некоторой окрестноститочки t0 ).Дîêàçàòåëüñòâî. Применим следствия и к полю направлений данного уравнения в расширенном фазовом пространстве. Получаем следствие .Зàìå÷àíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
