Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Вектор поля в точке p есть многочлен dp/dx.§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поляи на поля направленийОсновной метод решения и исследования дифференциальныхуравнений –– это подбор подходящей замены переменных, т. е., в геометрических терминах, подходящего диффеоморфизма, упрощающего данное векторное поле или поле направлений. Здесь мы приводим формальные определения необходимых понятий. Мы начнемс напоминания некоторых простых сведений из дифференциального исчисления..
Действие гладких отображений на векторы. При рассмотрении всевозможных математических объектов полезно наряду с объектами рассматривать также отображения ∗). Напомню определениедействия гладких отображений на векторы.Пусть f : M → N –– гладкое отображение области M линейногопространства в область N линейного пространства, и пусть v –– вектор, приложенный в точке x области-прообраза M, т.
е. стрелочкас началом x (рис. ). Тогда в точке-образе f (x) области N такжеРис. . Действие гладкого отображения на векторвозникает вектор, обозначаемый через f∗x v и называемый образомвектора v при отображении f . А именноОïðåäåëåíèå. Образом вектора v при отображении f называется вектор скорости, с которой движущаяся точка f (ϕ(t)) выходит∗)В этом состоит так называемая категорная точка зрения. Грубо говоря, категория –– это совокупность объектов и отображений (пример: категория всех линейныхпространств и их линейных отображений друг в друга).§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поляиз точки f (x), когда движущаяся точка ϕ(t) выходит из точки x соскоростью v:d dϕ(t) = v.()f∗x v = f (ϕ(t)), где ϕ(0) = x,dtt=0dtt=0Иными словами, стрелочка v сжимается в 1000 раз, затем поддействием f превращается в изогнутую стрелочку, затем последняярастягивается в 1000 раз и наконец 1000 устремляется к бесконечности.Зàäà÷à .
Докажите, что образ вектора v не зависит от выбора движения ϕ, лишь бы точка ϕ(t) выходила из x со скоростью v.Рåøåíèå. Пусть ψ –– другое движение, выводящее из x с такой же скоростью. Тогда расстояние между точками ϕ(t) и ψ(t) при малых |t| естьo(|t|). Поскольку отображение f гладкое, расстояние между точками-образами f (ϕ(t)) и f (ψ(t)) в N также есть o(|t|), что и требовалось.Зàäà÷à .
Пусть v –– положительный орт прямой, приложенный в точке a, и пусть f (x) = x 2 . Найти f∗a v.Оòâåò. 2a · орт.Зàäà÷à . Могут ли две точки на плоскости, движущиеся по разнымосям координат, выходить из начала с одинаковым вектором скорости?Оòâåò. Да, если скорость нулевая. Пример: ϕ(t) = (t 2 , 0), ψ(t) = (0, t 2 ).Множество всех векторов скоростей движений, выходящих източки x области M, является линейным пространством: это простопространство векторов, приложенных в точке x.
Его размерностьравна размерности области M. Это пространство называется касательным пространствомв точке x к области M и обозначается Tx M.Всякому, кто сталкивается с этим впервые, трудно оторвать касательное пространство к линейному пространству от самого линейного пространства.Следующее обобщение призвано помочь справиться с этой трудностью. Рассмотрим какую-либо глад- Рис.
. Касательноекую поверхность M в R3 , например сферу. Векторы пространствоскоростей, с которыми движущаяся по сфере точкаможет выходить из заданной точки сферы, очевидно, образуют плоскость(двумерное касательное пространство сферы в заданной точке x); эта касательная плоскость Tx M (рис. ) явно отделена от самой сферы M.Определенное выше отображение f∗x переводит касательное пространство к области-прообразу, M, в точке x в касательное пространство к области-образу в точке f (x).Глава . Основные понятияЗàäà÷à . Доказать, что отображение f∗x : Tx M → Tf (x) N линейно.Рåøåíèå. По формуле Тейлораf (x + vt) = f (x) + (∂ f /∂x)vt + o(|t|),следовательно, f∗x = ∂ f /∂x –– линейный оператор.Если в пространствах –– прообразе и образе отображения f –– выбраны декартовы координаты (x1 , …, xm ) и ( y1 , …, yn ) соответственно, так что f задается набором n функций fi от m переменных x j , токомпоненты вектора f∗x v выражаются через компоненты вектора vпо формулеP ∂ fivj .( f∗x v)i =j∂x jИначе говоря, матрица оператора f∗x составлена из частныхпроизводных ∂ fi /∂x j .Оïðåäåëåíèå.
Линейный оператор f∗x называется производнойотображения f в точке x.Зàäà÷à . Рассмотрим отображение f прямой в плоскость, f (x)=(sin x,cos x). Найти значение его производной на положительно ориентирующемось x векторе v длины 10, приложенном в точке α.Оòâåò. f∗α v = (10 cos α, −10 sin α).Зàäà÷à . Рассмотрим отображение f плоскости в плоскость, f (x1 , x2 )==(x13 + x1 x2 , x2 ) (рис.
). Найти множество всех точек x, в которых линейный оператор f∗x вырождается, и найти образ этого множества при отобра-Рис. . Критические точки и критические значения отображения Уитнижении f (эти два множества называются множествами критических точеки критических значений соответственно).Рåøåíèå. Матрица оператора имеет вид3x12 + x20x1,1поэтому производная вырождена на параболе x2 = −3x12 . Ее образ –– полукубическая парабола ( y1 /2)2 + ( y2 /3)3 = 0.§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поляОтображение этой задачи называется отображением Уитни (сборкой).Х. Уитни доказал, что особенность сборки типична для гладких отображений плоскости в плоскость (например, всякое близкое к f гладкое отображение имеет поблизости от начала координат подобную особенность).Зàìå÷àíèå.
Линейная структура (т. е. сложение векторов) в касательном к области M в точке x пространстве определена выше при помощилинейной структуры объемлющего M пространства, или иными словами ––при помощи системы декартовых координат.В действительности как множество Tx M, так и структуру линейного пространства в нем, можно определить независимо от выбора системы координат, даже криволинейных, лишь бы эта система координат была допустима,т. е. связана с системой декартовых координат гладкой заменой переменных (диффеоморфизмом).
Независимость касательного пространства от системы координат не совсем очевидна, так как нарисованная в области Mстрелочка (приложенный вектор) при диффеоморфизме изгибается.Не зависящее от системы координат определение вектора скорости выхода из точки x выглядит несколько абстрактно:Оïðåäåëåíèå. Касательным вектором в точке x области M называетсякласс эквивалентности гладких движений ϕ : R → M, для которых ϕ(0) = x;эквивалентность ϕ ∼ ψ определяется условием: расстояние между точкамиϕ(t) и ψ(t) в какой-нибудь (и тогда любой) системекоординат есть o(|t|) при t → 0 (рис. ).Ясно, что это действительно отношение эквивалентности (ϕ ∼ ϕ, ϕ ∼ ψ ⇒ ψ ∼ ϕ, ϕ ∼ ψ ∼ χ ⇒ ϕ ∼ χ).Класс эквивалентности движения ϕ определяется(при фиксированной системе координат) компонентами вектора скорости выхода ϕ(t) из точки ϕ(0).Таким образом, наш бескоординатно определенРис.
. Класс эквиваный вектор превращается в обычную стрелочку, как лентных движенийтолько система координат фиксирована. Единственное, что нужно доказывать –– это независимость линейных операций над вектором (сложения и умножения на числа) от системы координат, участвующей в их определении. Но эта независимость сразувытекает из линейности оператора производной отображения в точке (нужно рассмотреть в качестве отображения «замену переменных», т.
е. диффеоморфизм, сопоставляющий набору старых координат точки набор ее новыхкоординат).Хотя наше определение не зависит от системы координат, остаетсяеще зависимость от класса всех допустимых систем координат, связанныхгладкими заменами переменных. Этот класс называется дифференцируемой структурой, и от него введенные понятия зависят существенным образом.Глава . Основные понятияПроизводная отображения f в точке x есть не зависящий ни от системы координат в прообразе, ни от системы координат в образе линейныйоператор f∗x : Tx M → Tf (x) N по самому своему определению () (рис.
).Рис. . Производная отображения в точкеРис. . Локальный диффеоморфизм может не быть диффеоморфизмом в целомЗàäà÷à . Пусть f –– диффеоморфизм M на N. Докажите, что отображение f∗x –– изоморфизм линейных пространств.Зàäà÷à . Верно ли обратное?Оòâåò. Нет, даже если f∗x –– изоморфизм при любом x (см. рис. ).. Действие диффеоморфизмов на векторные поля.Оïðåäåëåíèå. В области M задано гладкое векторное поле v,если каждой точке x сопоставлен приложенный в ней вектор v(x) ∈∈ Tx M, гладко зависящий от точки x (если система m координатвыбрана, то поле задается своими m компонентами, являющимисягладкими функциями m переменных). Вектор v(x) называется значением поля v в точке x.Посмотрим, как ведут себя различные объекты при гладких отображениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
