Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Основные понятияТаким образом, при λ < 1 в системе после некоторого «переходного процесса» устанавливается, независимо от начального условия,вполне определенный колебательный режим. Возникающие здесь колебания называются вынужденными, они вызваны периодическимвнешним воздействием на систему, т. е. функцией g.Зàäà÷à .

Найти периодическое решение уравненияdy/dx = − y + sin xи исследовать его устойчивость.Зàìå÷àíèå. Линейные неоднородные уравнения естественновозникают в тех случаях, когда мы исследуем влияние малых возмущений начального условия и одновременно малых возмущенийправой части дифференциального уравнения на решение (пренебрегая величинами выше первого порядка малости относительновозмущений). Неоднородность g в уравнении () отвечает именноза возмущение уравнения.Например, при малом возмущении векторного поля в окрестности предельного цикла с отличным от 1 мультипликатором циклне исчезает, но лишь немного деформируется; периодическое решение соответствующего линейного неоднородного уравнения даетпервое приближение к этой деформации цикла.Зàäà÷à .

Пусть функция ϕ(t, ǫ) –– решение уравнения ẋ = v(t, x; ǫ),зависящего от параметра ǫ, обращающееся в решение ϕ0 (t) уравненияẋ = v(t, x; 0) при ǫ = 0. Докажите, что производная решения по параметру(функция ϕ предполагается гладкой), ψ(t) = ∂ϕ/∂ǫ|ǫ=0 , удовлетворяет линейному неоднородному уравнению ψ̇ = f (t)ψ + g(t), где f и g –– значения∂v/∂x и ∂v/∂ǫ при ǫ = 0, x = ϕ0 (t). Это уравнение называется (неоднородным) уравнением в вариациях, так как ψ описывает малую вариациюрешения под действием малого изменения уравнения, отвечающего ǫ = 0.§ . Фазовые потокиМатематическая формализация понятия детерминированногопроцесса приводит к понятию однопараметрической группы преобразований.Здесь определяются и исследуются однопараметрические группы диффеоморфизмов и их связи с векторными полями.

Нам потребуется некоторая алгебраическая терминология. Все теоремы этогопараграфа в сущности очевидны.§ . Фазовые потоки. Действие группы на множестве. Преобразованием множества называется его взаимно однозначное отображение на себя.Зàäà÷à . Какие из трех следующих отображений –– преобразования:1) R → R, x 7→ e x ;2) R → R, x 7→ x 3 ;3) C → C, z 7→ z3 ?Оòâåò. Только второе.Произведением fg преобразований f и g одного множества называется преобразование, получающееся последовательным применением сначала g, потом f , т.

е. ( fg)(x) = f (g(x)).Зàäà÷à . Приведите пример, когда fg не совпадает с g f .Обратное к f преобразование f −1 определяется условием: еслиf переводит x в y, то f −1 переводит y в x.Набор преобразований множества называется группой преобразований, если вместе с каждым преобразованием в него входит обратное преобразование и с каждыми двумя преобразованиями –– ихпроизведение.Зàäà÷à . Является ли группой преобразований равностороннего треугольника набор из трех отражений в его высотах?Зàäà÷à . Сколько элементов в группе изометрий ∗) равностороннеготреугольника в группе вращений тетраэдра?Оòâåò.

6, 12.Понятие группы преобразований –– одно из самых фундаментальных для всей математики и одновременно одно из самых простых:человеческому мозгу свойственно мышление в терминах инвариантов групп преобразований (это связано как с устройством зрения,так и с нашей способностью к абстракции).Пусть A –– группа преобразований множества X . Умножение и обращение определяют отображения A × A → A и A → A (пара ( f , g)переходит в fg, элемент g в g−1 ). Множество A, снабженное этимидвумя отображениями, называется абстрактной группой (или, короче, просто группой).

Таким образом группа получается из группыпреобразований просто забыванием преобразуемого множества.Зàäà÷à . Докажите, что множество R всех вещественных чисел становится группой, если снабдить его операциями обычного сложения чисели изменения знака.∗)Изометрия –– это преобразование, сохраняющее расстояния (так что расстояниемежду образами любых двух точек равно расстоянию между точками).Глава . Основные понятияАлгебраисты обычно определяют группу как множество с двумя операциями, удовлетворяющими набору аксиом вроде f (gh) = ( fg)h.

Эти аксиомы автоматически выполняются для групп преобразований. В действительности эти аксиомы означают просто, что группа образована из некоторойгруппы преобразований забыванием преобразуемого множества. Такие аксиомы, наряду с другими немотивированными определениями, служат математикам главным образом для того, чтобы затруднить непосвященнымовладение своей наукой и тем повысить ее авторитет.Пусть G –– группа, M –– множество. Говорят, что задано действиегруппы G на множестве M, если каждому элементу g группы G сопоставлено преобразование Tg : M → M множества M, причем произведению любых двух элементов группы сопоставлено произведение соответствующих этим элементам преобразований, а взаимнообратным элементам сопоставлены взаимно обратные преобразования: Tfg = Tf Tg , Tg−1 = (Tg )−1 .Каждая группа преобразований множества, естественно, действует на этом множестве (Tg ≡ g), но может действовать и на других множествах.

Например, рассмотрим равносторонний треугольник. Группа из шести его изометрий действует на множестве из двухего ориентаций: вращения не переставляют, а отражения переставляют ориентации.Зàäà÷à . Какие перестановки трех осей координат осуществляютсяпри действии на их множество группы изометрий куба max(|x|, | y|, |z|) ¶ 1?Оòâåò. Все 6.Зàäà÷à . Как действует группа линейных замен координат на множестве матриц линейных операторов из пространства в себя?Оòâåò. Tg m = gmg−1 .Преобразование Tg называется также действием элемента g группы G на M.

Действие группы G на M определяет еще отображениеT : G × M → M, сопоставляющее паре g ∈ G, m ∈ M точку Tg m.Если действие T фиксировано, то результат Tg m действия элемента g группы G на точку m множества M короче обозначают просточерез gm. Таким образом, ( fg)m = f (gm), поэтому скобок обычно непишут вовсе.Зафиксируем точку m множества M и будем действовать на неевсеми элементами группы G. Мы получим подмножество {gm, g ∈ G}множества M. Это подмножество называется орбитой точки m(при данном действии группы) и обозначается Gm.§ . Фазовые потокиЗàäà÷à . Найти орбиты группы вращений плоскости вокруг нуля.Зàäà÷à . Докажите, что любые две орбиты одного действия либо непересекаются, либо совпадают.Зàäà÷à .

Сколько орбит имeeт действие группы изометрий тетраэдрана множестве неупорядоченных пар его ребер?Зàäà÷à . Сколько раскрасок шести граней куба шестью красками1, …, 6 существенно различны (не переводятся друг в друга вращениямикуба)?Оòâåò. 6!/24 = 30.Отображение ϕ : G → H группы G в группу H называется гомоморфизмом, если оно переводит произведение в произведение и взаимно обратные элементы во взаимно обратные:ϕ( fg) = ϕ( f )ϕ(g),ϕ(g−1 ) = (ϕ(g))−1 .Действие группы G на множестве M –– это гомоморфизм группы G в группу всех преобразований множества M..

Однопараметрические группы преобразований. Группа называется коммутативной (или абелевой), если произведение не зависит от порядка сомножителей: fg = g f для любых двух элементовгруппы.Пðèìåð . Группа всех изометрий равностороннего треугольника неабелева.Пðèìåð . Группа всех сдвигов вещественной оси абелева.Операция в абелевой группе обычно обозначается знаком +.Например, последовательное выполнение сдвигов на a и на bв любом порядке есть сдвиг на a + b. Поэтому множество всех вещественных чисел с операцией сложения является абелевой группой;естественное действие этой группы на прямой сопоставляет числу aсдвиг на a.Оïðåäåëåíèå.

Однопараметрической группой преобразованиймножества называется действие на нем группы всех вещественныхчисел.Зàìå÷àíèå. Действия группы всех целых чисел Z иногда называют «однопараметрическими группами с дискретным временем».Для такого действия Tn = (T1 )n , поэтому вся группа состоит из степеней одного преобразования.Однопараметрическая группа преобразований множества M обычно обозначается знаком {g t }. Здесь g t : M → M –– преобразование,соответствующее точке t из R.Глава .

Основные понятияТаким образом, однопараметрическая группа преобразованиймножества M –– это набор преобразований g t , запараметризованных вещественным параметром t, такой, что для любых вещественных чисел s и t1) g s+t = g s g t ,2) g−t = (g t )−1 .Параметр t обычно называется временем, преобразование g t называется преобразованием за время t.Пðèìåð . M = R, g t –– сдвиг на 2t (т. е. g t x = x + 2t). Свойства )и ) очевидны.Пðèìåð .

M = R, g t –– растяжение в et раз (т. е. g t x = et x). Свойства ) и ) очевидны. Обозначение g t –– в память об этом примере.Пðèìåð . M = R, g t x = x + sin t. Свойство ) выполнено, а ) ––нет; {g t } –– не однопараметрическая группа.Зàìå÷àíèå. Из свойства ) очевидно следует, что g0 –– тождественное преобразование, оставляющее каждую точку на месте. Поэтому свойство ) вытекает из ). Свойство ) называется групповымсвойством.Однопараметрическая группа преобразований множества –– этоматематический эквивалент физического понятия «двусторонне детерминированный процесс».

Характеристики

Список файлов книги