Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть M –– фазовое пространство процесса. Точка этого пространства –– это определенное состояние процесса. Предположим, что в момент t = 0 процесс был в состоянии x.Тогда в другой момент t состояние процесса будет иным. Обозначим это новое состояние процесса через g t x. Мы определили длякаждого t отображение g t : M → M фазового пространства процессав себя.
Отображение g t переводит состояние в момент 0 в состояниев момент t. Оно называется преобразованием за время t.Отображение g t действительно является преобразованием (взаимно однозначным отображением на). Это следует из того, что, поопределению детерминированности, каждое состояние однозначноопределяет как будущее, так и прошлое процесса. Групповое свойство также выполнено.
Действительно, пусть процесс в начальныймомент находился в состоянии x. Переход к состоянию в моментt + s можно осуществить либо сразу (x 7→ g t+s x), либо сначала рассмотреть промежуточное состояние g t x, в которое процесс придетза время t, а потом посмотреть, куда это промежуточное состояниесдвинется за время s. Совпадение результатов (g t+s x = g s g t x) означает, что переход из начального состояния в конечное за фиксирован-§ . Фазовые потокиное время происходит всегда одинаково, независимо от того, в какой момент времени мы выходим из начального состояния.Однопараметрическая группа преобразований множества M называется также фазовым потоком с фазовым пространством M (можно представлять себе фазовое пространство заполненным жидкостью, частица x через время t переходит в точку g t x).Орбиты фазового потока называются его фазовыми кривыми(или траекториями).Пðèìåð.
Пусть g t –– поворот плоскости на угол t вокруг 0. Очевидно, групповое свойство выполнено. Орбиты фазового потока{g t } –– точка 0 и окружности с центром 0.Точки, являющиеся фазовыми кривыми, называются неподвижными точками потока.. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Предположим теперь, что рассматриваемое множество M наделено структурой гладкого многообразия. Примерами гладких многообразийявляются: ) любая область в евклидовом пространстве; ) сфера;) тор.
Общее определение дано в гл. . Пока можно считать, чторечь идет об области евклидова пространства.Диффеоморфизмом называется отображение, гладкое вместе сосвоим обратным. (Отображение называется гладким, если координаты точки-образа –– гладкие функции координат точки прообраза,и обратно.)Зàäà÷à . Какие из функций x, −x, x 2 , x 3 , arctg x задают диффеоморфизм прямой на себя?Оòâåò. Только первые две.Оïðåäåëåíèå. Однопараметрической группой диффеоморфизмовназывается однопараметрическая группа преобразований, являющихся диффеоморфизмами, удовлетворяющая еще следующему условию: g t x гладко зависит от обоих аргументов, t и x.Пðèìåð .
M = R, g t –– умножение на ekt .Пðèìåð . M = R2 , g t –– поворот вокруг 0 на угол t.Зàìå÷àíèå. Условие гладкой зависимости от времени t необходимодля того, чтобы избавиться от патологических примеров, вроде следующего: пусть {α} –– базис группы R, т. е. такой набор вещественных чисел, чтокаждое вещественное число однозначно представимо в виде конечной линейной комбинации чисел набора с целыми коэффициентами. Сопоставимкаждому числу α из базиса сдвиг прямой на какое-либо расстояние, совер-Глава .
Основные понятияшенно не заботясь о других элементах базиса. Полагая gα1 +…+αk = gα1 …gαk ,мы получим однопараметрическую группу преобразований, каждое из которых –– сдвиг прямой и, следовательно, диффеоморфизм, однако gt в общемслучае зависит от t не гладко и даже разрывно.Вместо гладкости по t можно было бы требовать одной лишь непрерывности (из чего гладкость уже вытекает), но нам это не нужно.Оïðåäåëåíèå. Однопараметрической группой линейных преобразований называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов, являющихся линейными преобразованиями.Пðèìåð.
Рассмотрим на плоскости с координатами (x, y) преобразование g t (x, y) = (eαt x, eβ t y).Ясно, что g t –– линейное преобразование (за время t ось x растягивается в eαt раз, а ось y –– в eβ t раз).Групповое свойство, g t+s =g t g s , вытекает из свойства экспонентыu+v(e =eu ev ), гладкая зависимость от t также очевидна. Итак, {g t } ––однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости.Пусть, в частности, α = 1, β = 2 (рис. ).
В этом случае фазовыекривые –– неподвижная точка нуль, половины координатных осейи половины парабол; действие одного из преобразований фазовогопотока на область E изображено на рис. . Площади областей увеличиваются при действии g t в e3t раз.Рис. . Действие фазовогопотока на областьРис. . ГиперболическийповоротРассмотрим еще случай α = 1, β = −1 (рис. ). В этом случаепреобразование g t состоит из сжатия в et раз в направлении оси yи растяжения в et раз в направлении оси x. Такое преобразованиеназывается гиперболическим поворотом, так как фазовые кривыепотока {g t } –– половины гипербол xy = const (конечно, положениеравновесия 0 и половины осей координат –– также фазовые кривые).§ .
Фазовые потокиГиперболические повороты сохраняют площади, хотя и сильно искажают форму фигур (рис. ).Заметим, что наша однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается в «прямое произведение» двуходнопараметрических групп линейных преобразований прямых (аименно растяжений осей).Зàäà÷à .
Всякая ли однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается подобным образом?Уêàçàíèå. Рассмотрите повороты или сдвиги (x, y) 7→ (x + ty, y).. Векторное поле фазовой скорости. Рассмотрим однопараметрическую группу {g t } диффеоморфизмов области M.Оïðåäåëåíèå. Вектором фазовой скорости потока {g t } в точке x из M называется скорость выхода точки g t x из x, т. е.v(x) =d (g t x).dt t=0Векторы фазовой скорости потока во всех точках области M образуют гладкое векторное поле (так как g t x гладко зависит от t и x).Оно называется полем фазовой скорости.Зàäà÷à . Найти поля фазовых скоростей потоков на прямой gt x = x + t,e x, e−t x.Оòâåò.
v(x) = 1, x, −x.Зàäà÷à . Неподвижные точки потока являются особыми точками поляфазовой скорости, т. е. вектор фазовой скорости обращается в них в нуль.Верно ли обратное?Оòâåò. Да, ср. п. § .tЗафиксируем точку x0 и рассмотрим ее движение под действием фазового потока g t . Иными словами, рассмотрим отображениеϕ : R → M, определенное так: ϕ(t) = g t x0 .Тåîðåìà. Отображение ϕ является решением уравнения ẋ =v(x)с начальным условием ϕ(0) = x0 .Иными словами: под действием фазового потока фазовая точкадвижется так, что вектор ее скорости в каждый момент времениравен вектору фазовой скорости в той точке фазового пространства, где движущаяся точка находится.Дîêàçàòåëüñòâî. Это вытекает из группового свойства:d d d gt x =gτ+ǫ x =gǫ (gτ x) = v(gτ x).dt t=τdǫ ǫ=0dǫ ǫ=0Глава .
Основные понятияТаким образом, с каждой однопараметрической группой диффеоморфизмов связано дифференциальное уравнение (заданное векторным полем фазовой скорости); решениями этого уравнения являются движения фазовых точек под действием фазового потока.Зàäà÷à . Верно ли обратное, т. е. всякое ли решение дается формулойϕ(t) = gt x0 ?Оòâåò. Да, по теореме единственности (§ , п. ).Если фазовый поток описывает ход какого-либо процесса припроизвольных начальных условиях, то дифференциальное уравнение, заданное его векторным полем фазовой скорости, определяет локальный закон эволюции процесса; теория дифференциальныхуравнений должна, зная этот закон эволюции, восстановить прошлое и предсказать будущее.Формулировка какого-либо закона природы в виде дифференциального уравнения сводит любую задачу об эволюции процесса (физического, химического, экологического и т. д.) к геометрическойзадаче о поведении фазовых кривых данного векторного поля в соответствующем фазовом пространстве.Оïðåäåëåíèå.
Фазовым потоком дифференциального уравненияẋ = v(x) называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов, для которой v является векторным полем фазовой скорости.Чтобы найти фазовый поток уравнения, достаточно решить последнее: g t x0 есть значение в момент t решения ϕ с начальным условием ϕ(0) = x0 .Пðèìåðû.
Фазовый поток уравнения ẋ = kx есть группа {ekt }.Фазовый поток уравнения малых колебаний маятника ( ẋ1 = x2 , ẋ2 == −x1 ) состоит из поворотов плоскости на угол t. Фазовый потокуравнения малых колебаний перевернутого маятника ( ẋ1 = x2 , ẋ2 == x1 ) состоит из гиперболических поворотов.Зàäà÷à . Найти фазовые потоки дифференциальных уравненийẋ = 0, 1, x − 1;ẋ = sin x, 0 < x < π.Оòâåò. gt x = x, x + t, (x − 1)et + 1; 2 arcctg(e−t ctg x/2).Зàäà÷à .
Найти фазовые потоки систем¨¨¨ẋ = sin y,ẋ = y,ẋ = y,ẏ = 0;ẏ = 1;ẏ = 0.Оòâåò. (x + ty, y), (x + ty + t 2 /2, y + t), (x + t sin y, y).§ . Фазовые потокиВозникает вопрос, всякое ли гладкое векторное поле являетсяполем фазовой скорости потока?Ответ на этот вопрос –– отрицательный.Пðèìåð . Рассмотрим дифференциальное уравнение ẋ = 1 с фазовым пространством 0 < x < 1.
Ясно, что преобразование g t можетбыть только сдвигом на t, но при t 6= 0 такой сдвиг не переводитфазовое пространство в себя.Пðèìåð . Рассмотрим случай v(x) = x 2, x ∈ R. Решение уравнения ẋ =v(x) с начальным условием x0 при t=0 нетрудно найти явно:dx/x 2 = dt,t−1/x = t + C,C = −1/x0 ,x = x0 /(1 − x0 t).Итак, g x = x/(1 − tx). Нетрудно проверить, что g t+s = g t g s , так чтона первый взгляд мы нашли фазовый поток.К сожалению, отображение g t ни при каком t, кроме нуля, неявляется диффеоморфизмом прямой (оно даже не всюду определено).
Поэтому поле v(x) = x 2 не является полем фазовой скоростиникакой однопараметрической группы диффеоморфизмов прямой.Зàìå÷àíèå. Причина, по которой оба приведенных поля не имеют фазовых потоков, заключается в некомпактности фазового пространства. В дальнейшем мы увидим, что гладкое векторное полена компактном многообразии всегда определяет фазовый поток.В частности, поле v(x) = x 2 на аффинной прямой можно продолжитьдо гладкого на всей проективной прямой (включая бесконечно удаленную точку) векторного поля. Проективная прямая компактна(топологически это окружность), и гладкое векторное поле на нейопределяет фазовый поток.
Найденные нами формулы для отображений g t как раз и описывают этот поток: g t есть диффеоморфизмпроективной прямой, а не аффинной!Зàäà÷à . Докажите, что всякое гладкое векторное поле на прямой, растущее на бесконечности не быстрее линейного (|v(x)| ¶ a + b|x|) являетсяполем фазовой скорости однопараметрической группы диффеоморфизмовпрямой.Уêàçàíèå. Сравнив движение с более быстрым движением в подходящем линейном поле, доказать, что решение не может уйти на бесконечность за конечное время и, следовательно, продолжается на всю ось t.Зàäà÷à . Определяет ли уравнение ẋ = e x sin x фазовый поток на прямой?Оòâåò.
Да.Зàäà÷à . Рассмотрим линейное пространство всех многочленов p степени меньше n от переменной x. Определим преобразование за время t какГлава . Основные понятиясдвиг аргумента многочлена на t (т. е. (gt p)(x) ≡ p(x + t)). Докажите, что{gt } –– однопараметрическая группа линейных преобразований, и найдитеее векторное поле фазовой скорости.Оòâåò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
