Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. Устойчивость нулевого решенияГлава . Основные понятиянии решений нелинейного уравнения (), т. е. к задаче о фазовых кривых,близких к циклу?Зàäà÷à . Доказать, что если λ > 1, то цикл неустойчив и фазовые кривые, начавшиеся вблизи цикла, являются разматывающимися спиралями,удаляющимися от него; если λ < 1, то цикл устойчив и фазовые кривые,начавшиеся в его окрестности, являются наматывающимися на цикл спиралями.Иными словами, в случаях, когда мультипликатор отличен от 1, линеаризация приводит к правильному суждению об устойчивости цикла.
С другой стороны, если λ = 1, то, хотя решения уравнения () и периодичны,было бы неверно распространять этот вывод с линеаризованного уравнения () на исходное уравнение (), для которого близкие к Y = 0 решения,вообще говоря, не периодичны, и об устойчивости цикла нельзя судить полинеаризованному уравнению.Уêàçàíèå. Рассмотреть функцию последования Φ, заданную решениями ϕ уравнения () и сопоставляющую начальному условию Y = ϕ(0) приX = 0 значение Φ(Y ) = ϕ(T ).
Доказать, что линеаризация Φ в точке Y = 0есть оператор монодромии.Зàäà÷à . Исследовать устойчивость предельного цикла r = 1 для системы, заданной в полярных координатах уравнениямиṙ = (r 2 − 1)(2x − 1),ϕ̇ = 1 (где x = r cos ϕ).. Линейные неоднородные уравнения.Оïðåäåëåíèå. Линейным неоднородным уравнением первого порядка называется уравнениеdy/dx = f (x) y + g(x).()Под решением понимается решение, определенное на всем интервале определения функций f и g.Тåîðåìà. Если известно одно частное решение линейного неоднородного уравнения, y = ϕ1 (x), то все остальные решения имеютвид y = ϕ1 (x) + ϕ0 (x), где ϕ0 –– решение однородного уравнения ();всякая функция указанного вида удовлетворяет неоднородному уравнению ().Дîêàçàòåëüñòâî.
Пусть A : L1 → L2 –– линейный оператор. Решения ϕ0 однородного уравнения Aϕ0 = 0 образуют линейное пространство Ker A ⊂ L1 (рис. ). Образ Im A = AL1 образует линейное подпространство в L2 . Если g ∈ Im A, то решения неоднородного уравнения Aϕ = g образуют в L1 аффинное подпространство ϕ1 + Ker A,параллельное Ker A.
В нашем случае Aϕ = dϕ/dx − f ϕ. Это линей-§ . Линейные уравненияРис. . Пространство решений линейного неоднородного уравненияный оператор ∗), поэтому утверждение нашей теоремы вытекает изалгебраической теоремы о решении линейного неоднородного уравнения.Для нахождения частного решения можно воспользоваться методом «вариации постоянных».Метод вариации постоянных часто употребляется при изучениивлияния всевозможных возмущений. Рассмотрим, например, движение планет вокруг Солнца. В первом приближении, не учитываяпритяжения планет друг другом, мы приходим к независимому движению планет по кеплеровым эллипсам. Это –– решение невозмущенных уравнений движения.Учет возмущающего влияния планет друг на друга можно провести так: считать, что планеты совершают кеплерово движение, нопараметры кеплеровых эллипсов слегка меняются со временем ∗∗).Таким образом, величины, бывшие постоянными в невозмущенномдвижении, рассматриваются теперь как функции времени.Дифференциальные уравнения, описывающие изменения (вариации) этих постоянных, часто бывает проще решать или исследовать, чем исходные уравнения.
В частности, в применении к линейным неоднородным уравнениям, где роль невозмущенной задачи играет однородное уравнение, а роль возмущения –– неоднородность,метод вариации постоянных приводит к явной формуле для решения. В этом случае никакой малости возмущения не требуется.Мы уже знаем, что всякое решение однородного уравнения ()имеет вид y = cϕ(x), где c –– произвольная постоянная, а ϕ –– какое-либо ненулевое решение. Постараемся подобрать функцию c == c(x) так, чтобы y = c(x)ϕ(x) было решением неоднородного уравнения ().∗)Пространства L1 и L2 можно выбирать по-разному.
Например, можно считать,что L1 –– один раз непрерывно дифференцируемые, а L2 –– непрерывные функции.∗∗)Например, колебания эксцентриситета орбиты Земли –– одна из причин наступления ледников.Глава . Основные понятияТåîðåìà. Решение линейного неоднородного уравнения () с начальным условием y(x0 ) = 0 существует, единственно и дается формулойxRxRy = y0 y = expf (ζ) dζ g(ξ) dξ.()x0ξДîêàçàòåëüñòâî. Подстановка y = c(x)ϕ(x) в () даетc′ ϕ + cϕ ′ = fcϕ + g.Но ϕ –– решение однородного уравнения ().
Значит, ϕ ′ = f ϕ иc′ = g/ϕ,c(x) =Rxg(ξ)/ϕ(ξ) dξ.x0Подставляя вместо ϕ известное решение однородного уравнения,получаем (после внесения ϕ(x) под интеграл) формулу (), что итребовалось доказать.. Функция влияния и δ-образные неоднородности. Формула () имеет простой «физический смысл», который выясняется следующим образом. ОчевиденПðèíöèï ñóïåðïîçèöèè. Если ϕ1 и ϕ2 –– решения линейныхнеоднородных уравнений Aϕ1 = g1 и Aϕ2 = g2 , то ϕ1 + ϕ2 –– решениеуравнения Aϕ = g1 + g2 .Этот принцип позволяет при расчете влияния всевозможныхвозмущений разделять разные возмущения, вычислять их влияниепо одному и складывать эффекты возмущения (например, если бросить в воду два камня, то можно независимо рассчитать волны откаждого из них и сложить возмущения; при полете снаряда можнонезависимо вносить поправки на ветер и на отклонение плотностивоздуха от табличной, и т.
д.).В применении к нашему неоднородному уравнению () роль возмущения играет функция g. Постараемся представить функцию gв виде линейной комбинации «элементарных возмущений»; тогдарешение будет такой же линейной комбинацией решений уравнений с элементарными возмущениями в качестве неоднородности g.Оïðåäåëåíèå. δ-образной последовательностью называется последовательность h N неотрицательных гладких функций, равных 0вне стремящихся к 0 при N → ∞ окрестностей и обладающих каждаяинтегралом, равным единице.§ . Линейные уравненияПример такой последовательности легкопостроить (рис.
). Физики говорят, что«предел последовательности h N есть δ-функция Дирака, равная нулю всюду, кроме точки 0, и имеющая интеграл 1».Конечно, функции δ с такими свойствамиРис. . δ-образная поне существует.следовательностьТем не менее многие величины, в определение которых входят функции h N , приN → ∞ стремятся к определенным пределам, которые и называются соответствующими величинами, вычисленными для δ-функции.Например, для любой непрерывной функции glimN→∞+∞Rh N (x)g(x) dx = g(0)−∞(докажите!). Поэтому по определению+∞Rδ(x)g(x) dx = g(0).−∞Точно так же, сдвигая все h N на ξ по оси x, находим+∞R−∞δ(x − ξ)g(x) dx = g(ξ),т.
е. δ(· − ξ) есть «δ-функция, сосредоточенная в точке ξ».Последнюю формулу можно также воспринимать как представление любой гладкой функции g в виде «континуальной линейнойкомбинации» δ-функций, сосредоточенных в разных точках x, с коэффициентами, равными значениям g в этих точках.Таким образом, произвольную неоднородность g в уравнении ()можно разложить в континуальную линейную комбинацию «сосредоточенных в точке» неоднородностей вида сдвинутых δ-функций.Согласно принципу суперпозиции, для нахождения частного решения уравнения () с произвольной неоднородностью достаточнознать это решение для δ-образной неоднородности.Оïðåäåëåíèå. Решение уравненияdy/dx = f (x) y + δ(x − ξ),ξ > 0,Глава .
Основные понятияс начальным условием y(0) = 0 называется функцией влияния возмущения в момент ξ на решение в момент x (или функцией Грина ∗))и обозначается так: y = Gξ (x).Тåîðåìà. Функция Грина дается формулойпри x < ξ,0 xRGξ (x) =()expf (ζ) dζпри x > ξ.ξЗàìå÷àíèå. Как объяснено выше, речь идет о пределе последовательности решений уравненийdy/dx = f (x) y + h N (x − ξ),()где {h N } есть δ-образная последовательность, при N → ∞.Эâðèñòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. При x < ξ решение равно нулю, так как неоднородность исчезает.
При x > ξ решение совпадаетс некоторым решением однородного уравнения, так как неоднородность исчезает. При x, близких к ξ, второе слагаемое в правой частиуравнения () велико по сравнению с первым, поэтому интеграл отdy/dx по малой окрестности точки ξ почти равен числу+∞R−∞h N (x − ξ) dx = 1.Переходя к пределу при N → ∞, видим, что скачок решения y(x)при переходе x через точку ξ равен 1, т. е. при x > ξ функция Gξпеременной x есть решение однородного уравнения с начальнымусловием y(ξ) = 1, что и требовалось доказать.Это рассуждение можно сделать вполне строгим, но проще провести следующееМàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. Подставляя вместо g сдвинутую на ξ функцию h N в формулу () для решения уравнения ()и переходя к пределу при N → ∞, получаем требуемое:xxRxRRGξ (x) = lim expf (ζ) dζ h N (ν − ξ) dν = expf (ζ) dζ ,N→∞x0νξесли x0 < ξ < x.∗)Эта функция называется также запаздывающей функцией Грина, во избежаниесмешения с функциями Грина краевых задач для уравнений выше первого порядка,которых мы тут не касаемся.§ .
Линейные уравненияСëåäñòâèå. Решение неоднородного уравнения () с неоднородностью g и с нулевым начальным условием выражается через функциюRxвлияния по формуле y(x) = Gξ (x)g(ξ) dξ при x > 0.0Конечно, эта формула эквивалентна формуле () (ввиду ()).Зàäà÷à . Решить уравнение dy/dx = y + h N , где h N (x) = N при |x − 1| << 1/(2N), 0 при |x − 1| ¾ 1/(2N), с начальным условием y(0) = 0, и найтипредел решения при N → ∞.. Линейные неоднородные уравнения с периодическими коэффициентами.Тåîðåìà. Если в уравненииdy/dx = f (x) y + g(x)с периодической (периода T > 0 по x) правой частью среднее по периоду значение f отлично от нуля, то уравнение имеет T-периодическое решение, и притом ровно одно ( устойчивое, если среднеезначение отрицательно, и неустойчивое, если оно положительно,рис.
).Рис. . Установление вынужденного колебанияДîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим отображение за период, сопоставляющее начальному условию ϕ(0) решения ϕ значение ϕ(T) тогоже решения в момент T. Это отображение –– линейное неоднородное(почему?); оно имеет вид ϕ(T) = λϕ(0) + C, где λ –– мультипликатороднородного уравнения. Логарифм λ равен интегралу f по периоду.Следовательно, λ 6= 1, если среднее значение f не 0, откуда и вытекает доказываемое утверждение.Глава .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
