Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Начальное условие задается n + 1 числом (t0 ; x01 , …, x0n ).Глава . Основные понятия. Пример: дифференциальное уравнение системы хищник ––жертва. Простейшая, самая грубая модель, описывающая борьбудвух видов –– хищника и жертвы, –– состоит в следующем. Рассмотрим пруд, в котором живут рыбы двух видов, скажем караси и щуки.Если бы щук не было, караси размножались бы экспоненциально, соскоростью ẋ = kx, пропорциональной их количеству x (мы предполагаем, что суммарная масса карасей много меньше массы пруда).Если y –– количество щук, то следует учесть карасей, съеденныхщуками. Мы предположим, что число встреч карасей со щукамипропорционально как числу карасей, так и числу щук; тогда дляскорости изменения числа карасей получим уравнение ẋ = kx − axy.Что касается щук, то без карасей они вымирают: ẏ = −ly, в присутствии же карасей начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу съеденных карасей: ẏ = −ly + bxy.Мы приходим таким образом к системе дифференциальных уравнений простейшей модели системы хищник –– жертва:ẋ = kx − axy,ẏ = −ly + bxy.Эта модель называется моделью Лотки––Вольтерра по имени авторов.

Правая часть определяет векторное поле на плоскости: приложенный в точке (x, y) вектор имеет компоненты (kx −axy, −ly +bxy). Это –– поле фазовой скорости.Фазовым пространством является уголx ¾ 0, y ¾ 0.Векторное поле фазовой скорости нетрудно нарисовать, проследив за изменением знаков компонент (рис. ). Особая точка поля(xРис. . Поле фазовой0 = l/b, y0 = k/a) отвечает равновесному коскорости модели хищ- личеству карасей и щук, когда прирост караник –– жертвасей уравновешивается деятельностью щук, априрост щук –– их естественной смертностью.Если начальное число щук меньше y0 (точка A на рисунке), точисла карасей и щук растут, пока размножившиеся щуки не начнутсъедать больше карасей, чем их прирост (точка B), затем число карасей начнет убывать, а число щук будет расти, пока нехватка пищине приведет и щук к вымиранию (точка C); затем число щук уменьшится настолько, что караси снова начнут размножаться (точка D);§ . Фазовые пространстваРис.

. Функция последованияРис. . Диаграммы Ламереяначавшееся размножение карасей приведет к тому, что со временеми щуки начнут размножаться. Таким образом будут происходить колебания численности карасей и щук вблизи равновесного числа техи других.Возникает, однако, вопрос, будут ли эти колебания периодическими или же нет. Наша приближенная картина поля фазовой скорости не позволяет ответить на этот вопрос, можно вообразить различные случаи, например, изображенные на рис. .Чтобы разобраться в этих случаях, рассмотрим отрезок, соединяющий особую точку с осью x.

Каждая точка A этого отрезка (нележащая на оси x) определяет фазовую кривую, которая снова пересекает отрезок в некоторой точке Φ(A). Функция Φ называетсяфункцией последования (или отображением Пуанкаре, а также монодромией или голономией).Рассмотрим график функции последования. Он называется диаграммой Ламерея. Диаграммы Ламерея для четырех случаев рис. изображены на рис. .По диаграмме Ламерея легко построить последовательность образов точки A при повторениипреобразования Φ. Для этого следует построитьтак называемую лестницу Ламерея (рис.

), абсциссы и ординаты вершин которой суть A, Φ(A),Φ2 (A) = Φ(Φ(A)), …Точки пересечения графика функции последо- Рис. . Лестницавания с диагональю (графиком Φ ≡ A) соответ- ЛамереяГлава . Основные понятияствуют замкнутым фазовым кривым (циклам) на фазовой плоскости.Цикл заведомо устойчив (неустойчив), если в соответствующейточке A имеем Φ′ (A) < 1 (> 1). Для наших четырех диаграмм Ламерея (рис. ) в первом случае фазовые кривые –– спирали, наматывающиеся на особую точку, во втором –– сматывающиеся с нее,в третьем –– замкнутые. В четвертом случае фазовые кривые наматываются на устойчивый цикл изнутри и снаружи.Соответственно, в первом случае с течением времени устанавливается равновесное население пруда, колебания затухают.

Во втором случае равновесное состояние неустойчиво, колебания нарастают. При этом наступит момент времени, когда число карасей (щук)будет меньше 1; к этому моменту наша модель становится неприемлемой, и население пруда вымирает.В третьем случае наблюдаются периодические колебания численности карасей и щук вокруг равновесного состояния; амплитудаколебаний определяется начальными условиями.В четвертом случае тоже наблюдаются периодические колебания численности карасей и щук, но амплитуда установившихсяколебаний не зависит от начальных условий: любая фазовая спираль наматывается на предельный цикл.

В таком случае говорят,что в системе устанавливается автоколебательный режим.Какой же из случаев имеет место для системы Лотки––Вольтерра? Мы пока не можем ответить на этот вопрос (решение его см.в § ).. Пример: свободная частица на прямой. Согласно «первомузакону» Ньютона, ускорение материальной точки, не подверженнойдействию внешних сил, равно 0: ẍ = 0. Если точка x принадлежит R,то говорят о свободной частице на прямой (можно представлять себе бусинку на спице).Фазовое пространство имеет размерность 2, так как все движение определяется начальным положением и начальной скоростью.На фазовой плоскости с координатами x1 = x, x2 = ẋ возникает векторное поле фазовой скорости:ẋ1 = x2 ,ẋ2 = 0,следовательно, компоненты поля равны (x2 , 0) (рис.

).Все точки оси x1 являются положениями равновесия. Равновесие такого вида в физике называется безразличным, а в математике§ . Фазовые пространстваРис. . Поле фазовой скорости свободной частицынеустойчивым (подходящее сколь угодно малое изменение начальной фазовой точки вызывает через достаточно большое время немалое изменение состояния).Фазовые кривые –– горизонтальные прямые x2 = const и все точкиоси x1 .Зàäà÷à . Найти решение с начальным условием (a, b) при t0 = 0.Оòâåò. ϕ1 (t) = a + bt, ϕ2 (t) = b.. Пример: свободное падение. Согласно Галилею, ускорениеg падающих вблизи поверхности Земли тел постоянно.

Если x ––высота, то ẍ = −g. Вводя координаты нафазовой плоскости, как в предыдущемпримере, получаем системуẋ1 = x2 ,ẋ2 = −g.Векторное поле, заданное правой частью, изображено на рис. .Зàäà÷à . Доказать, что фазовые кривые –– параболы.Рис.

. Поле фазовой скоростипадающей частицы. Пример: малые колебания. Вомногих случаях сила, возвращающая систему в положение равновесия, с большей или меньшей точностьюпропорциональна отклонению от положения равновесия (закон Гука и т. п.; сущность дела в том, что в положении равновесия сила 0,а в малом всякая функция приближенно линейна). Мы приходимк уравнению малых колебанийẍ = −kx.Коэффициент k > 0 можно сделать равным 1 выбором масштабавремени.

Уравнение принимает видẍ = −x.Глава . Основные понятияВводя по-прежнему координатыx1 = x, x2 = ẋ на фазовой плоскости,переписываем это уравнение в видесистемыẋ1 = x2 ,Рис. . Поле фазовой скорости малых колебанийẋ2 = −x1 .Правая часть задает векторное полена фазовой плоскости. Это поле изображено на рис.

.Зàäà÷à . Доказать, что фазовые кривые –– окружности и их центр.Рåøåíèå. Вектор фазовой скорости перпендикулярен радиус-вектору.Зàäà÷à . Доказать, что фазовая точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью 1.Рåøåíèå. Длина вектора фазовой скорости равна длине радиус-вектора.Зàäà÷à . Найти решение с начальным условием x(0) = a, ẋ(0) = b.Рåøåíèå. Согласно предыдущим двум задачам, нужно повернуть вектор начального условия на угол t.

Получаемx1 (t) = a cos t + b sin t,x2 (t) = −a sin t + b cos t.Зàìå÷àíèå. Таким образом, мы доказали, что x совершает гармонические колебания, и установили «закон сохранения энергии»: величинаx12 /2 + x22 /2 вдоль фазовой кривой постоянна.x2kx 2Зàäà÷à . Доказать закон сохранения энергии 2 + 1 для системы22ẋ1 = x2 , ẋ2 = −kx1 .kx 2x22называется кинетической энергией, а 1 ––Зàìå÷àíèå.

Величина22потенциальной.Зàäà÷à . Доказать, что интегральные кривые системы (с k = 1) –– винтовые линии.. Пример: математический маятник. Рассмотрим невесомыйстержень длины l, закрепленный в одном конце и несущий на другом точечную массу m. Обозначим через θ угол отклонения маятника от вертикали. Согласно законам механики, угловое ускорениемаятника θ̈ пропорционально моменту силы веса (рис. ):I θ̈ = −mgl sin θ ,где I = ml 2 –– момент инерции (знак минус объясняется тем, что момент стремится уменьшить отклонение).§ .

Фазовые пространстваРис. . МатематическиймаятникРис. . Поле фазовой скорости маятникаИтак, уравнение маятника имеет вид θ̈ = −k sin θ , k = g/l. Коэффициент k можно сделать равным 1 выбором масштаба времени.Уравнение принимает вид θ̈ = − sin θ .Фазовое пространство имеет размерность 2. За координаты можно принять угол отклонения x1 = θ и угловую скорость x2 = θ̇ . Уравнение принимает вид системыẋ1 = x2 ,ẋ2 = − sin x1 .Правая часть задает векторное поле фазовой скорости.

Оно изображено на рис. .Зàäà÷à . Доказать, что начало координат (x1 = x2 = 0) и точка (x1 = π,x2 = 0) являются фазовыми кривыми.Вид остальных фазовых кривых мы подробно исследуем в дальнейшем (§ ).Зàìå÷àíèå. При малых углах отклонения sin θ эквивалентен углу θ .

Характеристики

Список файлов книги