Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Примеры прямых произведений. Рассмотрим систему двухуравненийẋ1 = x1 , ẋ2 = kx2 .Зàäà÷à . Нарисовать соответствующие векторные поля на плоскостипри k = 0, ±1, 1/2, 2.Мы уже решили каждое из двух уравнений в отдельности. Итак,решение ϕ с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 имеет видϕ1 = x01 e(t−t0 ) ,ϕ2 = x02 ek(t−t0) .()Следовательно, вдоль каждой фазовой кривой x = ϕ(t) имеем либо|x2 | = C|x1 |k ,()где C –– постоянная, не зависящая от t, либо x1 ≡ 0.Зàäà÷à .
Является ли кривая на фазовой плоскости (x1 , x2 ), заданнаяуравнением (), фазовой кривой?Оòâåò. Нет.Семейство кривых (), где C ∈ R, имеет разный вид в зависимости от значения параметра k. Если k > 0, то это –– семейство «парабол ∗) с показателем k». Такие параболы касаются оси x1 , если k > 1,или оси x2 , если k < 1 (рис. ; при k = 1 получается семейство прямых, проходящих через начало координат). Расположение фазовых∗)Настоящие параболы получаются лишь при k = 2 и k = 1/2.Глава .
Основные понятияk>10<k<1k=1Рис. . Узлы: фазовые кривые систем ẋ1 = x1 , ẋ2 = kx2кривых, изображенное на рис. , называется узлом. При k < 0 кривые () имеют вид гипербол (рис. ) ∗) и образуют в окрестности начала координат седло. При k = 0 кривые () превращаются в прямые(рис. ).Рис. .
Седло: фазовые кривыесистемы ẋ1 = x1 , ẋ2 = kx2 , k < 0Рис. . Фазовые кривыесистемы ẋ1 = x1 , ẋ2 = 0Из формул () видно, что каждая фазовая кривая лежит целикомв одном квадранте (или на координатной полуоси, или совпадаетс началом координат, которое при всех k является фазовой кривой).Стрелки на рисунках указывают направление движения точки ϕ(t)при возрастании t.Зàäà÷à . Докажите, что каждая из парабол x2 = x12 (k = 2) состоит изтрех фазовых кривых. Опишите все фазовые кривые при других значениях k (k > 1, k = 1, 0 < k < 1, k = 0, k < 0).Интересно проследить, как один рисунок переходит в другой при непрерывном изменении k.Зàäà÷à . Нарисуйте узел, соответствующий k = 0,01, и седло, соответствующее k = −0,01.∗)Настоящие гиперболы получаются лишь при k = −1.§ . Векторные поля на прямойЗàäà÷à .
Решить уравнение перевернутогомаятника ẋ1 = x2 , ẋ2 = x1 и нарисовать фазовыекривые.Рåøåíèå. Введем на фазовой плоскости новые координаты: X = x1 + x2 , Y = x1 − x2 . Система распадается в прямое произведение: Ẋ = X ,Ẏ = −Y . На плоскости (X , Y ) фазовые кривые образуют седло, как на рис. .
Следовательно, наплоскости (x1 , x2 ) также получаем седло (рис. ). Рис. . Фазовые кривыеОтсюда, в частности, следует, что при данном от- перевернутого маятникаклонении маятника от вертикали существует одна и только одна начальная скорость, при которой он асимптотическиприближается к верхнему положению равновесия при t → +∞ (соответствующая фазовая кривая –– прямолинейный луч, входящий в 0). При меньшейили большей начальной скорости маятник падает либо не дойдя до верхнего положения равновесия, либо перевалившись через него (соответствующие фазовые кривые –– половины гипербол).Решения имеют вид X = X0 et , Y =Y0 e−t , откуда x1 = Aet +Be−t =a ch t+b sh t,x2 = Aet − Be−t = a sh t + b ch t.. Уравнения с разделяющимися переменными.Оïðåäåëåíèå.
Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнениеdyf ( y).=g(x)dx()Мы будем предполагать, что f и g –– гладкие функции, не обращающиеся в 0 в рассматриваемой области.Рассмотрим наряду с этим уравнением системуẋ = g(x),ẏ = f ( y).()Тåîðåìà.
Фазовые кривые системы () являются интегральными кривыми уравнения (), и, обратно, интегральные кривые уравнения () являются фазовыми кривыми системы.Дîêàçàòåëüñòâî. Тангенс угла наклона вектора фазовой скорости к оси x есть f ( y)/g(x). Значит, фазовая кривая системы в каждой своей точке касается поля направлений уравнения.Обратно, пусть дана интегральная кривая уравнения ().
Тогдана ней можно выбрать параметр t так, что параметрическое уравнение кривой будет x = ϕ(t), y = ψ(t), причем функция ϕ –– решениеуравнения ẋ = g(x) (здесь используется условие g 6= 0). Вторая координата ψ точки с параметром t удовлетворяет тогда соотношениюГлава . Основные понятия(dψ/dt)/(dϕ/dt) = f (ψ(t))/g(ϕ(t)), т. е. является решением уравнения ẏ = f ( y). Следовательно, наша кривая –– фазовая кривая системы.Тåîðåìà. Решение уравнения () с начальным условием (x0 , y0 )существует, единственно ∗) и дается формулойRx dξx0g(ξ)=Ry dηy0f (η).Дîêàçàòåëüñòâî. Это следует из предыдущей теоремы и формул для решения уравнений ẋ = g(x) и ẏ = f ( y) с начальными условиями (t0 , x0 ) и (t0 , y0 ) соответственно.Зàìå÷àíèå. «Мнемоническое» правило решения уравнения сразделяющимися переменными состоит в том, чтобы рассматривать и левую, и правую части уравнения как дроби и перенести «всечлены с x в одну сторону, а все члены с y в другую»:dydx=.g(x)f ( y)()После этого «приравнивание интегралов» дает искомое соотноR dyR dx=+ C для першение между x и y в виде равенстваg(x)f ( y)вообразных или в указанном в теореме виде –– для определенныхинтегралов.Разумеется, это «мнемоническое» правило является, при его правильном понимании, вполне строгим выводом формулы для решения.
Действительно, соотношение () означает равенство значений двух дифференциальных форм на любом векторе, касающемся интегральной кривой уравнения () (и обратно, кривая, все касательные векторы которой удовлетворяют соотношению (), является интегральной для уравнения ()).Интегралы форм в левой и в правой частях уравнения () по одномуотрезку интегральной кривой уравнения () равны (так как в определенииинтеграла вдоль кривой участвуют лишь значения формы на касательныхвекторах кривой, а на этих векторах значения форм совпадают). Наконец,интеграл формы dx/g(x) вдоль отрезка кривой равен обычному интегралуфункции 1/g вдоль проекции этого отрезка на ось x, и аналогично для формы dy/ f ( y).Формула () называется иногда симметричной формой записи уравнения ().∗)В том смысле, что всякие два такие решения совпадают там, где оба определены.§ .
Векторные поля на прямойЗàäà÷à . Нарисовать интегральные кривые уравнений dy/dx = y/x,x/ y, − y/x, −x/ y.Зàäà÷à . Нарисовать интегральные кривые уравнений dy/dx = kx α y β ,sin y/ sin x, sin x/ sin y.Зàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые уравнения маятника ẋ = y, ẏ == − sin x.Уêàçàíèå.
Рассмотреть уравнение с разделяющимися переменнымиdy/dx = −(sin x)/ y.. Пример: модель Лотки––Вольтерра.В п. § мы рассматривали простейшуюмодель взаимодействия y хищников (щук) иx жертв (карасей):ẋ = kx − axy,ẏ = −ly + bxy.()Но мы не смогли нарисовать фазовые криРис. . Фазовые кривыевые.Тåîðåìà. Фазовые кривые системы () модели Лотки––Вольтерразамкнутые (рис. ).Дîêàçàòåëüñòâî.
Фазовые кривые системы () совпадают с интегральными кривыми уравнения с разделяющимися переменнымиy(bx − l)dy=или с фазовыми кривыми уравнения-произведенияdxx(k − ay)dxx=,dτbx − ldyy=dτk − ay(в области, где x, y, bx − l и k − ay отличны от 0).R bx − lR k − aydy =dx + C, или p(x) + q( y) = C,Следовательно,yxгде p = bx − l ln x, q = ay − k ln y. Графики функций p и q имеютвид ям. Поэтому и график функции p + q имеет вид ямы (рис. ).Следовательно, линии уровня функции p + q –– замкнутые кривые.Рис. .
Построение фазовых кривых модели Лотки––ВольтерраГлава . Основные понятияЛегко проверить, что фазовые кривые уравнения () не только принадлежат линиям уровня p + q, но и совпадают с ними; теоремадоказана.Из замкнутости фазовых кривых следует, что количества карасейи щук в модели Лотки––Вольтерра меняются со временем периодически. Период колебаний зависит от начального условия.Зàäà÷à . Докажите, что период колебаний в модели Лотки––Вольтерра () стремится к бесконечности, когда начальное условие приближаетсяк точке (0, 0).Зàìå÷àíèå. Математическое стремление к бесконечности нужно отличать от физического. Например, 1/ǫ при ǫ → 0 действительно стремитсяк ∞ (например, при ǫ = 10−6 величина 1/ǫ действительно велика).
В то жевремя |ln ǫ| при ǫ → 0 практически остается ограниченным (например, приǫ = 10−6 это величина порядка 10). Практически с логарифмами в асимптотиках часто можно обращаться как с константами.Зàäà÷à . Как стремится к бесконечности период колебаний в моделиЛотки––Вольтерра (), когда начальное условие имеет вид (x0 , ǫ), ǫ → 0?Оòâåò. Логарифмически.Рассмотрим некоторые выводы из наших вычислений.Для системы Лотки––Вольтерра ():) существует (и единственно при x > 0, y > 0) положение равновесия (x0 , y0 );) количества карасей и щук при неравновесных начальных условиях меняются со временем периодически;) фазовые кривые системы () замкнуты.Заметим, что наша модель вряд ли может претендовать на вполне точное описание действительности, даже если оставаться в рамках двумерного фазового пространства.
Например, даже в отсутствие щук при большом числе карасей скорость размножения должна уменьшаться, иначе карасям не хватит пруда, и т. д. Мы можемдумать поэтому, что более точная модель имеет видẋ = x(k − ay + ǫ f (x, y)),(ǫ )ẏ = y(−l + bx + ǫg(x, y)),где xǫ f и yǫg –– отброшенные при идеализации малые поправкик нашей модели (поправка в ẋ делится на x, так как скорость размножения карасей равна 0, если их число равно 0; по этой же причинепоправка в ẏ делится на y). Мы будем считать f и g гладкими функциями (строго говоря, здесь и далее рассматривается ограниченная§ .
Векторные поля на прямойчасть фазовой плоскости, так как для малости поправок при оченьбольших значениях координат нет оснований).Мы будем называть свойство модели () грубым, если оно (илианалогичное ему близкое свойство) имеет место и для всякой системы (ǫ ) при достаточно малых ǫ.Рассмотрим с этой точки зрения сделанные выше выводы )––).Тåîðåìà. У системы (ǫ ) имеется такое гладко зависящее отмалого ǫ положение равновесия x(ǫ), y(ǫ), что x(0) = x0, y(0) = y0 ––положение равновесия системы ().Дîêàçàòåëüñòâî. По теореме о неявной функции система уравнений относительно x, yF(x, y, ǫ) = 0,G(x, y, ǫ) = 0имеет гладко зависящее от малого ǫ решение (x(ǫ), y(ǫ)), обращающееся в (x0 , y0 ) при ǫ = 0, если отличен от нуля якобианJ = D(F, G)/D(x, y)|(x0 , y0 , 0) .В нашем случае F = k − ay + ǫ f , G = −l + bx + ǫg, следовательно,0 −aJ = 6= 0, что и требовалось доказать.b0Итак, вывод ) груб: положение равновесия имеется не толькоу системы (), но и у всякой близкой системы (ǫ ).Напротив, выводы ) и ) негрубы.
Действительно, функция последования для системы () имеет вид Φ(A) ≡ A. Для близкой системы (ǫ ) график функции последования будет близким к диагонали,но не обязательно будет совпадать с ней. В зависимости от видавозмущений f и g диаграмма Ламерея может быть расположена выше или ниже диагонали или пересекать ее в одной или несколькихточках, соответствующих устойчивым и неустойчивым циклам.Следовательно, выводы о замкнутости фазовых кривых и периодичности колебания численности карасей и щук с амплитудой, зависящей от начальных условий, не грубы, хотя у близкой системы (ǫ )каждый виток фазовой кривой и близок к замкнутому циклу, онне замыкается в точности, и через большое время (порядка 1/ǫ)устанавливается, например, автоколебательный режим (фазоваякривая наматывается на предельный цикл).Свойство системы иметь предельный цикл уже является устойчивым относительно малых возмущений системы уравнений.
Точнее, предположим,что цикл соответствует неподвижной точке A = Φ(A) функции последования Φ и что Φ′ (A) 6= 1. В таком случае цикл называется невырожденным.Глава . Основные понятияЕсли система, заданная векторным полем v0 , имеет невырожденный предельный цикл, проходящий через A0 , то всякая близкая система (заданнаяполем vǫ , ǫ мало́) имеет близкий цикл (проходящий через близкую к A0 точку A(ǫ) ).Для доказательства нужно применить теорему о неявной функции куравнению Φ(A, ǫ) = A, A(0) = A0 .Следовательно, вывод о наличии в системе автоколебаний, описываемых невырожденным предельным циклом, груб: во всякой близкой системебудут близкие автоколебания.Заметим, что вырожденные предельные циклы могут исчезать при малом шевелении системы.
Однако они появляются неустранимым малым шевелением образом в том случае, когда рассматривается не отдельная система, а семейство систем, зависящих от параметра. В этом случае при отдельных значениях параметра могут сливаться между собой различные циклы,причем аналогичное слияние будет иметь место при некотором близкомзначении параметра и в любом близком семействе. В момент слияния двухневырожденных циклов и возникает вырожденный цикл. При этом, вообщеговоря, из двух сливающихся циклов один устойчивый, а другой неустойчивый.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
