Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

гл. ).Зàäà÷à *. Какие из дифференциальных уравнений ẋ = x n определяютна аффинной прямой поле фазовой скорости, продолжающееся без особенностей на проективную прямую?Ответ. n = 0, 1 или 2.§ . Фазовые пространства. Пример: логистическая кривая. Уравнение обычного размножения ẋ = kx пригодно, лишь пока число особей не слишкомвелико. С увеличением числа особей конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент k зависит от x как линейнаянеоднородная функция (при не слишком больших x всякую гладкую функцию можно аппроксимировать линейной неоднородной):k = a − bx.Мы приходим таким образом к уравнению размножения с учетомконкуренции ẋ = (a − bx)x.

Коэффициенты a и b можно превратитьв единицу выбором масштабов t и x. Мы получаем так называемоелогистическое уравнениеẋ = (1 − x)x.Векторное поле фазовой скорости v и поле направлений на плоскости (t, x) изображены на рис. .Рис. . Векторное поле и поле направлений уравнения ẋ = (1 − x)xРис. .

Интегральные кривыеуравнения ẋ = (1 − x)xМы заключаем отсюда, что интегральные кривые выглядят, какизображено на рис. . Точнее говоря, мы видим, что) процесс имеет два положения равновесия: x = 0 и x = 1;) между точками 0 и 1 поле направлено от 0 к 1, а при x > 1 ––к точке 1.Таким образом, положение равновесия 0 неустойчиво (раз появившееся население начинает расти), а положение равновесия 1устойчиво (меньшее население растет, а большее –– убывает).Каким бы ни было начальное состояние x > 0, с течением времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия x = 1.Из этих соображений неясно, однако, происходит ли этот выходза конечное или за бесконечное время, т. е.

имеют ли интегральные кривые, начавшиеся в области 0 < x < 1, общие точки с прямойx = 1?Глава . Основные понятияМожно показать, что таких общих точек нет и что эти интегральные кривые асимптотически стремятся к прямой x = 1 при t → +∞и к прямой x = 0 при t → −∞. Эти кривые называются логистическими кривыми. Таким образом, логистическая кривая имеет две горизонтальные асимптоты (x = 0 и 1) и описывает переход от одногосостояния (0) к другому (1) за бесконечное время.Зàäà÷à . Найти уравнение логистическойкривой.RРåøåíèå. По формуле () t = dx/(x(1 − x)) = ln(x/(1 − x)), или x == et /(1 + et ).Эта формула доказывает указанное выше асимптотическое свойство логистической кривой.Зàäà÷à . Доказать, что интегральные кривые уравнения ẋ = (1 − x)xв области x > 1 асимптотически стремятся к прямой x = 1 при t → +∞ и имеют вертикальные асимптоты t = const.При малых x логистическая кривая практически неотличима от экспоненциальной, т.

е. конкуренция мало влияет на рост. Однако по мере увеличения x рост становится неэкспоненциальным и вблизи x = 1/2 экспоненциальная кривая резко уходит вверх от логистической; в дальнейшем логистический рост описывает насыщение системы, т. е. установление в нейравновесного режима (x = 1).До середины XX века наука росла экспоненциально (см. рис. ). Еслитакой рост будет продолжаться, то к XXI веку все население Земли будет заниматься наукой, а для печатания научных статей не хватит всех лесов планеты.

Следовательно, раньше должно наступить насыщение: мы находимсявблизи того места, где логистическая кривая начинает отставать от экспоненциальной. Например, число математических статей в научных журналах после Второй мировой войны до -х годов увеличивалось каждый годна 7 %, а последние несколько лет –– медленнее.. Пример: квоты отлова. До сих пор мы рассматривали свободную популяцию, развивающуюся по своим внутренним законам.Предположим теперь, что мы отлавливаем часть популяции (скажем, ловим рыбу в пруду или в океане). Предположим, что скоростьвылова постоянна. Мы приходим к дифференциальному уравнениюотловаẋ = (1 − x)x − c.Величина c характеризует скорость вылова и называется квотой.Вид векторного поля и поля фазовой скорости при различных значениях скорости вылова c показан на рис.

.Мы видим, что при не слишком большой скорости вылова (0<c<< 1/4) существуют два положения равновесия (A и B на рис. ).§ . Фазовые пространстваНижнее положение равновесия (x = A)неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болезни) в некоторый момент величина популяции x опустится ниже A, то в дальнейшем вся популяция законечное время вымрет.Верхнее положение равновесия B устойчиво –– это стационарный режим, на который выходит популяция при постоянномотлове c.Если c > 1/4, то равновесий нет и вся популяция будет отловлена за конечное время (стеллерова корова и т.

п.).Рис. . Уравнение отловаПри c = 1/4 имеется одно неустойчивое ẋ = (1 − x)x − cсостояние равновесия (A = B = 1/2). Отловс такой скоростью при достаточно большой начальной численностипопуляции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако сколь угодно малое колебание численности установившейся равновесной популяции вниз приводит к полному вылову популяции за конечное время.Итак, хотя теоретически допустимы любые квоты, вплоть домаксимальной (c ¶ 1/4), максимальная квота c = 1/4 приводитк неустойчивости и недопустима. Более того, практически недопустимы и близкие к 1/4 квоты, так как при них опасный порог Aблизок к установившемуся режиму B (небольшие случайные отклонения отбрасывают популяцию ниже порога A, после чего онапогибает).Оказывается, однако, что можно организовать отлов так, чтобыустойчиво получать улов со скоростью 1/4 за единицу времени(большего получить нельзя, так как 1/4 –– это максимальная скорость размножения необлавливаемой популяции)..

Пример: отлов с относительной квотой. Фиксируем вместо абсолютной скорости отлова относительную, т. е. фиксируем отлавливаемую заединицу времени долю наличной популяции: ẋ = (1 − x)x − px. Вид векторного поля и интегральные кривые (при Рис. . Уравнение отлова ẋ == (1 − x)x − pxp < 1) изображены на рис. .Глава . Основные понятияНижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке x == 0, второе положение равновесия B устойчиво при любом p, 0 << p < 1.После некоторого периода установления популяция выходит настационарный режим x = B.

Абсолютная скорость отлова устанавливается при этом равной c = pB. Это –– ордината точки пересеченияграфиков функций v = (1 − x)x и v = px (рис. , слева). Исследуемповедение этой величины c при изменении p. При малых относительных выловах (малых p) установившаяся скорость отлова такжемала; при p → 1 она тоже стремится к нулю (перелов). Наибольшеезначение абсолютной скорости c равно наибольшей ординате графика функции v = (1 − x)x. Оно достигается, когда прямая v = px проходит через вершину параболы (т. е.

при p = 1/2), и равно c = 1/4.Выберем p = 1/2 (т. е. назначим относительную квоту так, чтобыустановившаяся популяция составляла половину необлавливаемой).Мы достигли максимально возможной стационарной скорости облавливания c = 1/4, причем система остается устойчивой (возвращается к установившемуся состоянию при малых отклонениях начальной популяции от установившейся)..

Уравнения с многомерным фазовым пространством. В рассматривавшихся выше примерах фазовое пространство было одномерным. В более сложных случаях (например, при учете взаимодействия между несколькими популяциями) точка фазового пространства определяется несколькими числами (двумя для двух популяцийи т. д.). Определения дифференциального уравнения, решений и т. д.в этом случае аналогичны введенным выше. Повторим эти определения.Пусть v –– векторное поле в области U n-мерного фазового пространства.

Автономное дифференциальное уравнение, заданное полемv, –– это уравнениеẋ = v(x), x ∈ U ⊂ Rn .Решением такого уравнения называется гладкое отображение ϕ: I →→ U интервала оси времени в фазовое пространство, для которогоdϕ/dt = v(ϕ(t)) при всех t из I.Образ отображения ϕ называется фазовой кривой, а график ∗)отображения ϕ –– интегральной кривой. Интегральная кривая ле-∗)График отображения f : X → Y есть подмножество прямого произведения X × Y ,состоящее из всех пар вида (x, f (x)), где x ∈ X ; прямое произведение X × Y естьмножество всех упорядоченных пар (x, y), где x ∈ X , y ∈ Y .§ . Фазовые пространстважит в прямом произведении оси времени на фазовое пространство.Это прямое произведение называется расширенным фазовым пространством.

Расширенное фазовое пространство имеет размерностьn + 1.Пусть (t0 , x0 ) –– точка расширенного фазового пространства. Решение ϕ удовлетворяет начальному условию (t0 , x0 ), если ϕ(t0 ) = x0 ,т. е. если интегральная кривая проходит через точку (t0 , x0 ).Как и в случае одномерного фазового пространства, интегральные кривые можно описать при помощи поля направлений в расширенном фазовом пространстве. Тангенс угла наклона к оси абсциссзаменяется следующей конструкцией.Предположим, что дано поле направлений в области V прямогопроизведения R × Rn и что направление поля нигде не вертикально(не параллельно Rn ). Пусть t –– координата в R, x = (x1 , …, xn ) –– в Rn .Тогда в каждой точке существует (и единствен) вектор приложенного в этой точке направления, имеющий горизонтальную координату (t-компоненту), равную 1.

Таким образом, указанный векторимеет вид (1, v(t, x)), где v(t, x) –– вектор в Rn , зависящий от точки расширенного фазового пространства. Иными словами, невертикальное поле направлений в расширенном фазовом пространствеопределяет зависящее от времени векторное поле в фазовом пространстве.Каждая интегральная кривая данного поля направлений очевидно удовлетворяет дифференциальному уравнениюẋ = v(t, x),т. е. является графиком отображения ϕ интервала оси времени в фазовое пространство, для которого dϕ/dt = v(t, ϕ(t)) при всех t. Обратно, график всякого решения –– интегральная кривая этого поля.Решение удовлетворяет начальному условию (t0 , x0 ), если и только если интегральная кривая проходит через эту точку.Зàìå÷àíèå.

В координатной записи векторное поле в n-мерном пространстве задается n функциями n переменных. Наше дифференциальноеуравнение принимает поэтому вид «системы n уравнений первого порядка»:ẋ1 = v1 (t; x1 , …, xn ), …, ẋn = vn (t; x1 , …, xn ).Решение задается вектор-функцией (ϕ1 , …, ϕn ) переменной t, для которойdϕk /dt = vk (t; ϕ1 (t), …, ϕn (t)), k = 1, …, n, при всех t.

Характеристики

Список файлов книги