Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Качественная теория дифференциальных уравнений,или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем,является сейчас наиболее активно развивающейся и имеющей наиболее важные приложения в естествознании областью теории дифференциальных уравнений. Начиная с классических работ А. М. Ляпунова (––) по теории устойчивости движения в развитииэтой области большое участие принимают русские математики (упомяну работы А.

А. Андронова (––) по теории бифуркаций,А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина по структурной устойчивости,Н. М. Крылова ( ––) и Н. Н. Боголюбова по теории усреднения, А. Н. Колмогорова по теории возмущений условно-периодических движений). Разбор современных достижений, конечно, выходит за рамки настоящей книги (с некоторыми из них можно познакомиться, например, по книгам автора «Дополнительные главытеории обыкновенных дифференциальных уравнений», М., ;«Математические методы классической механики», М., ; «Теория катастроф», М., ).Автор благодарен всем читателям предыдущих изданий, сообщившим свои замечания, которые автор постарался учесть при переработке книги, а также Д. В.

Аносову, многочисленные замечаниякоторого способствовали улучшению настоящего издания. г.В. И. АрнольдПредисловие к первому изданиюПри отборе материала для этой книги автор стремился ограничиться строго необходимым минимумом. Центральное место вкурсе занимают два круга вопросов: теорема о выпрямлении векторного поля (эквивалентная обычным теоремам существования,единственности и дифференцируемости решений) и теория однопараметрических групп линейных преобразований (т. е.

теория линейных автономных систем). Автор позволил себе не касаться рядаболее специальных вопросов, обычно включаемых в курсы обыкновенных дифференциальных уравнений (элементарные приемыинтегрирования; уравнения, не разрешенные относительно производной; особые решения; теория Штурма––Лиувилля; уравненияс частными производными первого порядка). Часть из этих вопросов удобнее разобрать на упражнениях; последние же две темы естественнее относить к курсам уравнений с частными производнымиили вариационного исчисления.Более подробно, чем это обычно принято, разбираются приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к механике.Уравнение маятника появляется на одной из первых страниц; в дальнейшем эффективность вводимых понятий и методов каждый разпроверяется на этом примере. Так, в параграфе о первых интегралах появляется закон сохранения энергии, из теоремы о дифференцировании по параметру извлекается «метод малого параметра»,а теория линейных уравнений с периодическими коэффициентамиестественно приводит к исследованию качелей («параметрическийрезонанс»).Изложение многих вопросов в курсе сильно отличается от традиционного.

Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону изучаемых явлений. В соответствии с этим в кни-Предисловие к первому изданиюге много чертежей и нет ни одной сколько-нибудь сложной формулы. Зато появляется целый ряд фундаментальных понятий, которыепри традиционном, координатном изложении остаются в тени (фазовое пространство и фазовые потоки, гладкие многообразия и расслоения, векторные поля и однопараметрические группы диффеоморфизмов).

Курс значительно сократился бы, если бы можно было предполагать эти понятия известными. К сожалению, в настоящее время указанные вопросы не включаются ни в курсы анализа,ни в курсы геометрии. Поэтому автору пришлось излагать их достаточно подробно, не предполагая у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных элементарныхкурсов анализа и линейной алгебры.Основу настоящей книги составил годовой курс лекций, которыеавтор читал студентам-математикам второго курса Московскогоуниверситета в  –– гг.При подготовке лекций к печати большую помощь оказал Р.

И.Богданов. Автор благодарен ему и всем слушателям и коллегам,сообщившим свои замечания о ротапринтном тексте лекций (МГУ,). Автор благодарен рецензентам Д. В. Аносову и С. Г. Крейну завнимательное рецензирование рукописи. г.В. И. АрнольдНекоторые постоянно употребляемые обозначенияR –– множество (группа, поле) вещественных чисел.C –– множество (группа, поле) комплексных чисел.Z –– множество (группа, кольцо) целых чисел.x ∈ X ⊂ Y –– элемент x подмножества X множества Y .X ∩ Y , X ∪ Y –– пересечение и объединение множеств X и Y .f : X → Y –– отображение f множества X во множество Y .x 7→ y –– отображение переводит точку x в точку y.f ◦ g –– произведение отображений (применяется сначала g).∃; ∀ –– существует; для всякого.∗ –– не обязательная (более трудная) задача или теорема.Rn –– линейное пространство размерности n над полем R.Во множестве Rn могут рассматриваться и другие структуры (например, аффинная, евклидова или структура прямого произведенияn прямых).

Обычно это будет специально оговариваться («аффинное пространство Rn », «евклидово пространство Rn », «координатное пространство Rn » и т. п.).Векторами мы называем элементы линейного пространства.Векторы обычно обозначаются буквами полужирного шрифта (v, ξи т. п.). Векторы координатного пространства Rn отождествляютсяс наборами n чисел. Мы будем писать, например, v = (v1 , …, vn ) == v1 e1 + … + vn en ; набор n векторов ei называется координатнымбазисом в Rn .Нам часто будут встречаться функции вещественного переменного t, называемого временем.

Производная по t называется скоростью и обозначается чаще всего точкой наверху: ẋ = dx/dt.Глава Основные понятия§ . Фазовые пространстваТеория обыкновенных дифференциальных уравнений –– одно изосновных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Прежде чем дать точные математические определения, рассмотрим несколько примеров.. Примеры эволюционных процессов. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время.

Множествовсевозможных состояний процесса называется фазовым пространством.Так, например, классическая механика рассматривает движениесистем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы. Фазовое пространство механической системы –– это множество, элементом которого является набор положений и скоростейвсех точек данной системы.Движение частиц в квантовой механике не описывается детерминированным процессом. Распространение тепла –– полудетерминированный процесс: будущее определяется настоящим, а прошлое –– нет.Процесс называется конечномерным, если его фазовое пространство конечномерно, т.

е. если число параметров, нужных для описания его состояния, конечно. Так, например, ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твердыхтел относится к этому классу. Размерность фазового пространствасистемы из n материальных точек равна 6n, а системы из n твердыхтел –– 12n. Движения жидкости, изучаемые в гидродинамике, процессы колебаний струны и мембраны, распространение волн в оп-Глава . Основные понятиятике и акустике –– примеры процессов, которые нельзя описать с помощью конечномерного фазового пространства.Процесс называется дифференцируемым, если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия, а изменение состояния со временем описывается дифференцируемымифункциями.

Так, например, координаты и скорости точек механической системы меняются со временем дифференцируемым образом.Движения, изучаемые в теории удара, свойством дифференцируемости не обладают.Таким образом, движение системы в классической механике может быть описано при помощи обыкновенных дифференциальныхуравнений, тогда как квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теорияудара требуют иных средств.Еще два примера детерминированных конечномерных и дифференцируемых процессов: процесс радиоактивного распада и процесс размножения бактерий при достаточном количестве питательного вещества. В обоих случаях фазовое пространство одномерно:состояние процесса определяется количеством вещества или количеством бактерий.

В обоих случаях процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением.Заметим, что вид дифференциального уравнения процесса, а также самый факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости того или иного процесса можно установить лишьэкспериментально, следовательно –– только с некоторой степеньюточности. В дальнейшем мы не будем всякий раз подчеркивать этообстоятельство и будем говорить о реальных процессах так, как если бы они точно совпадали с нашими идеализированными математическими моделями..

Фазовые потоки. Точная формулировка изложенных выше общих принципов требует довольно абстрактных понятий: фазовогопространства и фазового потока. Чтобы освоиться с этими понятиями, рассмотрим пример, где уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу.Зàäà÷à  (Н. Н.

Характеристики

Список файлов книги