Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Кîíñòàíòèíîâ). Из города A в город B (рис. )ведут две не пересекающиеся дороги. Известно, что две машины,выезжающие по разным дорогам из A в B и связанные веревкойнекоторой длины, меньшей 2l, смогли проехать из A в B, не порвавверевки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза ра-§ . Фазовые пространстваРис.

. Начальное положение возовРис. . Фазовое пространствопары экипажейдиуса l, центры которых движутся по этим дорогам навстречу другдругу?Рåøåíèå. Рассмотрим квадрат (рис. )M = {x1 , x2 : 0 ¶ xi ¶ 1}.Положение двух экипажей (один на первой дороге, другой –– навторой) можно характеризовать точкой квадрата M: достаточнообозначить через xi долю расстояния от A до B по i-й дороге, заключенную между A и находящимся на этой дороге экипажем.Всевозможным положениям экипажей соответствуют всевозможные точки квадрата M. Этот квадрат называется фазовым пространством, а его точки –– фазовыми точками.

Таким образом, каждаяфазовая точка соответствует определенному положению пары экипажей, а всякое движение экипажей изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве.Например, начальное положение машин (в городе A) соответствует левому нижнему углу квадрата (x1 = x2 = 0), а движение машин из A в B изображается кривой, ведущей в противоположныйугол.Точно так же начальное положение возов соответствует правомунижнему углу квадрата (x1 = 0, x2 = 1), а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата.Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные парыпротивоположных вершин, пересекаются.

Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение,в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этотмомент расстояние между центрами возов будет меньше 2l. Итак,разминуться не удается.В рассмотренном примере не участвовали дифференциальныеуравнения, но ход рассуждений близок к тому, чем мы будем за-Глава . Основные понятияниматься дальше: описание состояний процесса как точек подходящего фазового пространства часто оказывается чрезвычайно полезным.Например, состояние процесса движения системы n материальных точек в классической механике описывается значениями координат и скоростей всех материальных точек. Следовательно, фазовое пространство такой системы имеет размерность 6n (по трикоординаты и три компоненты скорости на каждую материальнуюточку). Фазовое пространство системы трех точек (Солнце, Юпитер,Сатурн) 18-мерно.

Фазовое пространство системы n твердых телимеет размерность 12n (почему?).Движение всей системы описывается движением точки по кривой в фазовом пространстве. Скорость движения фазовой точки поэтой кривой определяется самой точкой. Таким образом, в каждойточке фазового пространства задан вектор –– он называется вектором фазовой скорости. Все векторы фазовой скорости образуют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет дифференциальное уравнение процесса (зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения).Основная задача теории дифференциальных уравнений состоитв определении или исследовании движения системы по векторномуполю фазовой скорости.

Сюда относятся, например, вопросы о виде фазовых кривых (траекторий движения фазовой точки): уходятли, скажем, фазовые кривые данного векторного поля в фазовомпространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области?В общем виде эта задача не поддается средствам современнойматематики и, видимо, в некотором смысле неразрешима (в частности это относится к упоминавшейся проблеме трех тел). В простейших частных случаях, с которых мы и начнем, задача решаетсяявно при помощи операции интегрирования.

Вычислительные машины позволяют приближенно находить решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа накачественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом. В дальнейшем, наряду с методами явного решения специальных дифференциальных уравнений, мы приведем также некоторые методы качественного исследования.Понятие фазового пространства сводит изучение эволюционныхпроцессов к геометрическим задачам о кривых, определяемых век-§ .

Фазовые пространстваторными полями. Мы начнем исследование дифференциальных уравнений соследующей геометрической задачи.. Интегральные кривые поля направлений. Предположим, что в каждой точке некоторой области на плоскости выбрана проходящая через эту точкупрямая. В таком случае говорят, что в об- Рис. . Поле направлений и еголасти задано поле направлений (рис.

). интегральная криваяЗàìå÷àíèå . Две гладкие кривые,проходящие через одну точку, задают в ней одинаковое направление, если они касаются. Таким образом, прямые в определении полянаправлений можно заменить произвольными гладкими кривыми:важна лишь касательная к кривой в точке. На рис.  изображеналишь маленькая часть прямой около каждой точки.Зàìå÷àíèå . Здесь и в дальнейшем все встречающиеся объекты (функции, отображения, ...) предполагаются гладкими, т. е. непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если не оговоренопротивное. Поле направлений называется непрерывным (гладким),если прямые поля непрерывно (гладко) зависят от точки приложения.Зàìå÷àíèå .

Аналогичным образом определяется поле направлений (прямых) в n-мерном пространстве (а также на любом гладком многообразии).Оïðåäåëåíèå. Линия, которая в каждой своей точке касаетсяимеющегося в этой точке направления поля, называется интегральной кривой поля направлений.Название «интегральные кривые» объясняется тем, что в некоторых случаях эти кривые можно найти при помощи операции интегрирования.Пðèìåð.

Предположим, что непрерывноеполе направлений на плоскости переходитРис. . Поле, инвариантв себя при всех сдвигах вдоль некоторой пря- ное относительно вертимой и не содержит параллельных ей направ- кальных сдвиговлений (рис. ).Тåîðåìà. Задача отыскания интегральных кривых такого поляесть в точности задача интегрирования данной непрерывной функции.Глава . Основные понятияДîêàçàòåëüñòâî.

Выберем систему координат, в которой данная прямая –– вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальна. Интегральная кривая поля без вертикальных направлений является графиком функции. Производная этой функции равна тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс. График –– интегральнаякривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен тангенсу угланаклона прямой данного поля к оси абсцисс. Но этот последнийтангенс –– известная функция абсциссы (поскольку поле переходитв себя при сдвигax вдоль оси ординат). Следовательно, функция,графиком которой является интегральная кривая, имеет производной известную функцию и, значит, является ее первообразной, чтои требовалось доказать.Обозначим абсциссу буквой t, ординату –– буквой x, тангенс угла наклона прямой поля –– известная функция v(t), интегральнаякривая –– график неизвестной функции ϕ.

Кривая x = ϕ(t) интеdϕ≡ v(t). По теореме Барроу ∗) ϕ =гральная, если и только еслиdtR= v dt + C.В общем случае задача отыскания интегральных кривых не сводится к операции интегрирования: даже для очень просто задаваемых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых нельзя представить конечными комбинациями элементарных функций и интегралов ∗∗).. Дифференциальное уравнениеи его решения. Геометрическая задачаотыскания интегральных кривых аналитически записывается как задача отыскания решений дифференциального уравнеРис.

. График решения диф- ния. Предположим, что поле на плоскостиференциального уравнения(t, x) не содержит вертикальных направлений (не параллельно оси ординат, x(рис. )). Тогда тангенс v(t, x) угла наклона приложенной в точке(t, x) прямой поля к оси абсцисс конечен и интегральные кривыеявляются графиками функций x = ϕ(t).∗)И. Барроу,  ––, учитель Ньютона, посвятивший книгу взаимной обратности задач о касательных и о площадях.∗∗)Пример: таково поле, в котором тангенс угла наклона прямой, приложеннойв точке (t, x), с осью x равен x 2 − t (Лиувилль).§ .

Фазовые пространстваМы будем предполагать, что областью определения функции ϕявляется интервал I оси t. ОчевиднаТåîðåìà. Для того чтобы график функции ϕ был интегральнойкривой, необходимо и достаточно, чтобы при всех t из I выполнялось соотношениеdϕ= v(t, ϕ(t)).dt()Оïðåäåëåíèå. Функция ϕ называется решением дифференциального уравненияẋ = v(t, x),()если она удовлетворяет соотношению () (т. е. если «при подстановке ее в уравнение вместо x уравнение обращается в тождество»).Оïðåäåëåíèå. Решение ϕ удовлетворяет начальному условию(t0 , x0 ), если ϕ(t0 ) = x0 .Таким образом, решение –– это заданная на интервале функция,график которой –– интегральная кривая; решение удовлетворяет начальному условию (t0 , x0 ), если интегральная кривая проходит через данную точку (рис.

).Пðèìåð. Решение простейшего уравнения ẋ = v(t) с начальнымусловием (t0 , x0 ) дается формулой Барроу:ϕ(t) = x0 +Rtv(τ) dτ.t0Всякое дифференциальное уравнение () определяет поле направлений на плоскости: приложенная в точке (t, x) прямая имееттангенс угла наклона v(t, x). Это поле короче называется полемнаправлений v или полем направлений уравнения ().. Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством. Рассмотрим уравнениеẋ = v(x),x ∈ R.Это уравнение описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространством. Правая часть задает векторное поле фазовойскорости: в точке x приложен вектор v(x) (рис.

, слева). Такое уравнение, правая часть которого не зависит от t, называется автономным. Скорость эволюции автономной системы, т. е. системы, не взаимодействующей с другими, определяется одним лишь состояниемэтой системы: от времени законы природы не зависят.Глава . Основные понятияТочки, где v обращается в 0, называютсяположениями равновесия (также стационарными точками или особыми точками) векторного поля. Если a –– положение равновесия, то ϕ(t) ≡ a –– решение уравнения (проРис. .

Векторное поле цесс, начавшись в состоянии a, всегда в неми поле направлений дляостается). На рис.  видно одно положениеуравнения x = v(t)равновесия, a. Видно, что это положение равновесия неустойчиво: при малом отклоненииначального условия от равновесного фазовая точка с течением времени удаляется от положения равновесия.На рис.  изображено также поле направлений рассматриваемого уравнения. Поскольку v не зависит от t, поле переходит в себяпри сдвигах вдоль оси t.Согласно теореме п.

Характеристики

Список файлов книги