Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, задача построения интегральных кривыхэтого поля решается одним интегрированием (в области, где полене параллельно оси t, т. е. где нет равновесий, v(x) 6= 0). Предположим, что функция v непрерывна и нигде не обращается в 0. Выпишем явную формулу, определяющую интегральные кривые.Тангенс угла наклона нашего поля к оси x равен 1/v(x). Следовательно, поле направлений уравнения dx/dt = v(x) совпадает с полемнаправлений уравнения dt/dx = 1/v(x). Значит, совпадают и интегральные кривые этих уравнений. Но интегральная кривая второгодается формулой Барроу; в данном случае она имеет видt − t0 =Rx dξx0v(ξ).()Таким образом доказанаТåîðåìà.
Решение x = ϕ(t) уравнения ẋ = v(x) с непрерывной и необращающейся в 0 правой частью, удовлетворяющее начальномуусловию (t0 , x0 ), дается формулой (). Обратно, функция x = ϕ(t),определяемая формулой (), является решением и удовлетворяетначальному условию.Зàìå÷àíèå. «Мнемонический» способ запоминания формулы ()состоит в следующем. Запишем исходное уравнение в виде dx/dt == v(x). Хотя в курсах анализа при введении производной учат, чтоdx/dt не дробь, а единый символ, будем обращаться с этим символом как с дробью и перепишем уравнение, собрав все x слева, а все t§ .
Фазовые пространствасправа, в виде dx/v(x) =Rdt. Интегрируя левую и правую части, получаем соотношение t = dx/v(x), т. е. ().В действительности этот способ, конечно, больше, чем мнемоническоеправило. Лейбниц не стал бы вводить сложное обозначениеdx, если бы неdtимел в виду самой настоящей дроби: dx деленноена dt. Дело в том, что dx и dt –– вовсе не таинственные «бесконечно малые» величины, а вполне конечные числа, точнее –– функции вектора.Рассмотрим (рис. ) приложенный в какой-либо точке вектор A скорости движения на плоскости, на которой фиксированы координаты (t, x).Скорость изменения координаты t при этом движеРис.
. Числитель и знании является функцией этого вектора. Она линейменатель дроби dx/dtна. Эта линейная функция вектора и обозначается dt. Например, значение этой функции на векторе A с компонентами (10, 20) есть dt(A) = 10. Точно так же определяетсяdx(A) = 20 –– скорость изменения координаты x при движении с векторомскорости A, так что A имеет компоненты dt(A), dx(A). ОчевидноПðåäëîæåíèå . Для любого вектора A, касающегося графика гладкойфункции x = ϕ(t), отношение dx(A)/dt(A) равно производной dx/dt функции ϕ в соответствующей точке.Таким образом, уравнение dx/v(x) = dt есть соотношение между линейными функциями от вектора, касающегося интегральной кривой.Функции приложенного вектора, линейные при фиксированной точкеприложения, называются дифференциальными 1-формами.Всякая дифференциальная 1-форма на плоскости (t, x) может быть записана в виде ω = a dt + b dx, где a и b –– функции на плоскости.Дифференциальные формы можно интегрировать вдоль ориентированных отрезков кривых.
Выберем на отрезке Γ кривой на плоскости ориентирующий параметр u, т. е. представим Γ в виде образа гладкого отображения γ: I → R2 (рис. ) отрезкаоси u в плоскость. Интеграл формы ω вдоль Γ определяется как числоRRω = ω(γ′ ) du, где γ′ = dγ/du.ΓIРис. . Определение ин-Иными словами,интеграл –– это предел интеграль- теграла 1-формыPных сумм ω(Ai ), где Ai =γ′ (ui )∆i ; здесь ui –– точкиделения отрезка I на отрезки длин ∆i =ui+1 −ui . Вектор Ai касается Γ и лишьмалыми высшего порядка относительно ∆i отличается от вектора хорды,соединяющей последовательные точки деления на Γ (рис. ).Глава .
Основные понятияИз теоремы о замене переменной в определенном интеграле ∗) вытекаетПðåäëîæåíèå . Интеграл 1-формы по ориентированному отрезкукривой не зависит от выбора параметра, согласованного с ориентацией(при изменении ориентации интеграл меняет знак).ОчевидноПðåäëîæåíèå . Интеграл 1-формы f (x) dx по отрезку кривой, на котором x можно принять за параметр, совпадает с обычным определенныминтегралом функции f .Вернемся к доказательству формулы ().Значения дифференциальных форм dx/v(x) и dt на векторах, касающихся интегральной кривой, совпадают. Значит, их интегралы вдоль отрезкакривой равны.
Согласно предложению , интеграл первой формы равенправой, а второй –– левой части формулы ().. Пример: уравнение нормального размножения. Предположим, что величина биологической популяции (например, количество бактерий в чашке Петри или рыб в пруду) равна x и чтоскорость прироста пропорциональна наличному количеству особей.(Это предположение приближенно выполняется,пока пищи достаточно много.)Наше предположение выражается дифференциальным уравнением нормального размноженияẋ = kx,k > 0.Рис. . Уравнениеразмножения ẋ = kxПо смыслу задачи x > 0, так что поле направлений задано в полуплоскости; оно изображено нарис. . Из вида поля направлений ясно, что x растет с ростом t, но неясно, будут ли бесконечные значения x достигнуты за конечное время (вертикальная асимптота у интегральнойкривой) или же решение остается конечным при всех t? Нарядус будущим неясно также и прошлое: будет ли интегральная криваястремиться к оси x = 0 при стремлении t к конечному отрицательному пределу или к бесконечному?К счастью, уравнение размножения решается явно по предыдущей теореме: согласно формуле (),t − t0 =∗)Rx dξx0kξ,k(t − t0 ) = ln(x/x0),x = ek(t−t0) x0 .Эта теорема открыта Барроу именно при решении простейших дифференциальных уравнений, теперь называемых уравнениями с разделяющимися переменными.§ .
Фазовые пространстваСледовательно, решения уравнения нормального размножения экспоненциально растут при t → +∞ и экспоненциально убывают приt → −∞; ни бесконечные, ни нулевые значения x при конечных t недостигаются. Для удвоения количества населения согласно уравнению нормального размножения требуется, таким образом, всегдаодно и то же время, независимо от его количества (период удвоениянаселения Земли сейчас порядка лет). Наука до середины ХХ векатакже росла экспоненциально (рис. ).Рис. . Рост числа оригинальных и реферативных научных журналов (покниге В.
В. Налимова и З. М. Мульченко «Наукометрия» (М.: Наука, ))То же самое дифференциальное уравнение с отрицательным kописывает радиоактивный распад. Для уменьшения количества радиоактивного вещества вдвое требуется время T = k −1 ln 2, независимо от начального количества вещества. Это время называется периодом полураспада. Период полураспада широко известного изотопа радия- –– лет, а наиболее распространенного изотопаурана- –– 4,5 · 109 лет.То же уравнение встречается и в большом числе других задач(в дальнейшем мы увидим, что это не случайность, а проявлениезакона природы, по которому «всякая» функция локально приближенно линейна).Зàäà÷à . На какой высоте плотность воздуха вдвое меньше, чем наповерхности Земли? Температуру считать постоянной, кубометр воздуха наповерхности Земли весит 1250 г.Ответ.
8 ln 2 км ≈ 5,6 км –– высота Эльбруса.Глава . Основные понятия. Пример: уравнение взрыва. Предположим теперь, что скорость прироста пропорциональна не количеству особей, а количеству пар:ẋ = kx 2.()В этом случае при больших x прирост идет гораздо быстрее нормального, а при малых –– гораздо медленнее (эта ситуация встречаетсяскорее в физико-химических задачах, где скорость реакции пропорциональна концентрациям обоих реагентов; впрочем, в настоящеевремя китам некоторых видов так трудно найти себе пару, что размножение китов подчиняется уравнению (), причем x мало).Поле направлений на вид мало отличается от такового для случая обычного размножения (рис.
), но вычисления показывают,что интегральные кривые ведут себя совершенно по-другому. Предположим для простоты, что k = 1. По формуле Барроу находимR dx1при+ C, т. е. x = −решение t =2xt−Ct < C. Интегральные кривые –– половины гипербол (рис. ). Гипербола имеет вертикальнуюасимптоту.Итак, если прирост населения пропорционален числу пар, то количество населения становится бесконечно большим за конечное время.Рис. . УравнениеФизически этот вывод соответствует взрывообвзрыва ẋ = x 2разному характеру процесса. (Разумеется, при t,слишком близком к C, идеализация, принятаяпри описании процесса дифференциальным уравнением, неприменима, так что реальное количество населения за конечное времябесконечных значений не достигает.)Интересно отметить, что вторая половина гиперболы x = (C − t)−1 также является интегральной кривой нашего уравнения (если продолжить егос полуоси x > 0 на всю ось x).
Решения, соответствующие обеим половинамгиперболы, даются одной и той же формулой, но никак не связаны междусобой. Связь между этими решениями восстанавливается, если считать время комплексным или если компактифицировать аффинную ось x до проективной прямой (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
