Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Вырожденные циклы, возникающие при слиянии двух невырожденных, представляют интерес потому, что они всегда встречаются на границеобласти существования колебательного режима в пространстве параметров.Например, на рис.  изображены диаграммы Ламерея при трех очень близких значениях параметра(кривые ,  и ). Диаграмма  пересекает биссектрисув двух точках; в этом случае в системе имеется двапредельных цикла, устойчивый внутри неустойчивого (рис.

). Положение равновесия неустойчиво; всяРис. . Перестройка область внутри неустойчивого цикла является обладиаграмм Ламереястью притяжения («бассейном») устойчивого цикла:при начальных условиях в этой области (исключаялишь положение равновесия) в системе устанавливаются автоколебания,изображаемые устойчивым циклом.Кривая  соответствует критическому значению параметра: устойчивый цикл сливается с неустойчивым и становится вырожденным. Фазовыекривые, начинающиеся в ограниченной циклом области, стремятся к циклу при возрастании времени. Однако устанавливающийся при этом колебательный режим неустойчив: сколь угодно малое случайное изменениеспособно выбросить фазовую точку за пределы цикла.При дальнейшем изменении параметра (кривая ) цикл исчезает вовсе.Таким образом, слияние циклов приводит к скачкообразному изменениюповедения системы: устойчивый автоколебательный режим с конечной об-§ .

Векторные поля на прямойРис. . Перестройка фазового портрета и поведения решенийластью притяжения внезапно исчезает. Движения с начальным условиемв бассейне исчезающего цикла уходят после его исчезновения в другие области фазового пространства (рис. ). В нашем примере после переходапараметра через критическое значение в популяциях хищников и жертвсколь угодно малое отклонение начальных условий от равновесных приводит к неограниченному нарастанию колебаний и, следовательно, к вымиранию.Перестройки качественной картины движения при изменении параметров изучает теория бифуркаций (бифуркация = раздвоение), а приложения теории бифуркаций к исследованию скачкообразных реакций механических, физических, химических, биологических, экономических и иных систем на плавное изменение внешних условий получили в последнее времяназвание теории катастроф.Из рисунка  видно, что когда значение параметра отличается от критического значения на малую величину∆, расстояние между устойчивымpи неустойчивым циклами порядка ∆.

Следовательно, скорость сближенияциклов при изменении параметра быстро растет по мере приближения параметра к критическому значению: в самый момент катастрофы оба цикладвижутся навстречу друг другу с бесконечной скоростью. Это объясняет, почему так трудно предотвратить грозящую катастрофу потери устойчивостисистемы, когда уже сделались заметными ее признаки.Зàäà÷à . Исследовать бифуркации циклов при изменении параметра c в системе, заданной в полярных координатах уравнениямиṙ = cr − r 3 + r 5 ,ϕ̇ = 1.Оòâåò. При c = 0 из положения равновесия r = 0 рождается устойчивыйpцикл радиуса порядка c; при c = 1/4 он исчезает, слившись с неустойчивым.Глава . Основные понятияЗàìå÷àíèå.

Можно показать, что рождение или смерть цикла в положении равновесия, как и рождение или смерть пары циклов –– типичноеявление, встречающееся при изменении параметра в общих однопараметрических семействах дифференциальных уравнений.Устойчивые предельные циклы описывают установившиеся периодические колебания системы, находящейся в стационарных внешних условиях.Колебания, описываемые устойчивыми циклами, называются автоколебаниями, в отличие от вынужденных колебаний, вызванных периодическимивнешними воздействиями и от колебаний типа свободных колебаний маятника. Возникновение автоколебаний само по себе довольно удивительно,но они встречаются, например, в таких системах, как часы, паровая машина, электрический звонок, сердце, радиопередатчик, переменные звездытипа цефеид –– работа каждого из этих устройств описывается предельнымциклом в соответствующем фазовом пространстве.Однако не следует думать, что все колебательные процессы описываются предельными циклами: в многомерном фазовом пространстве возможногораздо более сложное поведение фазовых кривых.

Примерами могут служить прецессия гироскопа, движение планет и их спутников и их вращениевокруг своих осей (непериодичность этих движений ответственна за сложность календаря и трудность предвычисления приливов), а также движениезаряженных частиц в магнитных полях (ответственное за возникновениеполярных сияний). Мы рассмотрим простейшие движения этого рода в § и § , п.

. В системах с многомерным фазовым пространством фазовыекривые могут даже вместо цикла приближаться к множеству, на которомвсе близкие траектории быстро расходятся друг от друга (рис. ). Такиепритягивающие множества получили в последнее время название странных аттракторов: они связаны с явлениями типа турбулентности и ответственны, например, за невозможность долгосрочного прогноза погоды.Рис. . Аттрактор с разбеганием фазовых кривых на нем§ . Линейные уравнения§ .

Линейные уравненияЛинейные уравнения описывают влияние малых изменений начальных условий или правых частей произвольных уравнений на ихрешения. Здесь явно решаются и исследуются линейные однородные и неоднородные уравнения с одним зависимым переменным:появляются оператор монодромии, δ-функция, функция Грина и вынужденные колебания.. Линейные однородные уравнения.Оïðåäåëåíèå. Линейным однородным уравнением первого порядка называется уравнениеdy/dx = f (x) y,()правая часть которого –– линейная (однородная) функция одномерного зависимого переменного y.Это частный случай уравнения с разделяющимися переменными.Решая его по общему правилу, находим dy/ y = f (x) dx, ln( y/ y0 ) =Rx= f (ξ) dξ. Из этого вытекаетx0Тåîðåìà.

Всякое решение уравнения () продолжается на весьинтервал определения функции f ; решение с начальным условием xR(x0 , y0 ) дается формулой y = y0 expf (ξ) dξ .x0Зàìå÷àíèå . Пусть y = ϕ(x) –– решение уравнения (). Тогда для любой константы c функцияy = cϕ(x) –– тоже решение. Сумма двух (определенных на всем интервале определения f ) решений уравнения () тоже является решением. Поэтому все такие решения линейного однородногоуравнения () образуют линейное пространство.Размерность этого линейного пространства рав- Рис. .

Интегральна 1 (почему?).ные кривые линейЗàìå÷àíèå . Растяжения расширенного фа- ного уравнениязового пространства (x, y) вдоль оси y переводятполе направлений линейного однородного уравнения () в себя. Поэтому интегральные кривые под действием растяжений оси y переходят друг в друга; все они могут быть получены из одной из нихтакими растяжениями (рис.

).Глава . Основные понятияЛинейные уравнения занимают в теории дифференциальныхуравнений особое место, потому что, согласно одной из основныхидей анализа, всякая гладкая функция в окрестности каждой точки хорошо аппроксимируется линейной функцией. Возникающая таким образом операциялинеаризации и приводит к линейным уравнениям в качестве первого приближения при исследовании произвольного уравнения вблизикакого-либо решения.Рассмотрим, например, автономную системус двумерной фазовой плоскостью (x, y), имеющуюпредельный цикл (рис. ). Введем в окрестностицикла координаты (X mod T, Y ) так, чтобы уравнение цикла приняло вид Y = 0, а обход цикла в направлении фазовой скорости соответствовал бы увеличению X на T . Тогда фазовые кривые исходнойсистемы при отображении (x, y) 7→ (X , Y ) перейдут в интегральные кривыеуравнения видаРис. .

Система координат вблизи циклаdY /dX = a(X , Y ),гдеa(X , 0) ≡ 0,a(X + T , Y ) ≡ a(X , Y ).()Линеаризация этого уравнения по Y в точке Y = 0 приводит к линейномууравнениюdY /dX = f (X )Y , где f (X ) = ∂a/∂Y |Y =0 .Заметим, что функция f имеет период T.Мы приходим таким образом к задаче об исследовании линейного уравнения с периодическим коэффициентом f .. Линейные однородные уравнения первого порядка с периодическими коэффициентами.Оïðåäåëåíèå. Линейными однородными уравнениями первого порядка сT-периодическими коэффициентами называются уравненияdY /dX = f ( X )Y ,где f ( X + T) ≡ f ( X ).()Решения уравнения () определяютРис.

. Оператор монодромиилинейное отображение оси Y в себя, сопоставляющее значению ϕ(0) при X = 0значение ϕ(T) того же решения при X = T > 0. Это отображениеA : R → R называется монодромией (рис. ). (Мы собираемся использовать аналогичный оператор и в многомерном случае.)§ . Линейные уравненияТåîðåìà. Оператор монодромии A : R → R линейного уравнения() линейный и является оператором умножения на положительноечисло λ. Если это число λ (называемое мультипликатором) больше 1, то все ненулевые решения стремятся к бесконечности приX → +∞, а если меньше 1, то к нулю; если λ = 1, то все решенияограничены.Дîêàçàòåëüñòâî.

Линейность A вытекает из того, что растяжения по оси Y переводят интегральные кривые в интегральныекривые; λ > 0, т. е. ось X –– интегральная кривая. Сдвиги на T вдольоси X также переводят интегральные кривые в интегральные кривые (ввиду периодичности f ). Из этого следует, что значения решения с начальным условием ϕ(0) = Y при X = T, 2T , 3T, … равны λY , λ2 Y , λ3 Y , …; поэтому ϕ(NT) → ∞ при N → +∞, если λ > 1,и ϕ(NT ) → 0 при N → +∞, если λ < 1. Кроме того, сдвигая расширенное фазовое пространство на NT вдоль оси X , находимϕ(NT + S) = λn ϕ(S),откуда следуют все доказываемые утверждения (почему?).Зàìå÷àíèå.

Из теоремы п.  следует формула для мультипликатораRTln λ = f (ξ) dξ.0Таким образом, мультипликатор больше единицы или меньшеединицы, в зависимости от того, положительно или отрицательносреднее значение функции f .В первом случае нулевое решение линейного уравнения () неустойчиво, а во втором –– устойчиво (более того, решения с близкимик 0 начальными условиями стремятся к 0); в случае λ = 1 решенияс ненулевыми начальными условиями периодичны (рис. ).Возникает естественный вопрос, какое отношение наша теорема о решениях линеаризованного уравнения () имеет к исходной задаче о поведе-Рис.

Характеристики

Список файлов книги