Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Касательные векторы при отображениях g : M → N движутся вперед (т. е. под действием g касательный вектор v к M переходит в касательный вектор g∗x v к N). Функции при отображенияхg : M → N движутся назад, т. е. функция f на N порождает функциюна M (ее значение в точке x из M равно значению f в образе точки x;эта функция обозначается g∗ f ; звездочка сверху символизирует движение назад).Векторные поля не отображаются, вообще говоря, ни вперед, ниназад. Действительно, при отображении две точки прообраза могутперейти в одну и принести туда разные векторы, поэтому поле в прообразе не переносится на образ.
Кроме того, многие касательныевекторы в одной точке прообраза могут иметь общий образ, поэтому поле в образе не переносится в прообраз.Оïðåäåëåíèå. Образом векторного поля при диффеоморфизмена называется векторное поле, значение которого в каждой точке§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поляявляется образом вектора исходного поля в прообразе данной точки.Образ поля v при диффеоморфизме g обозначается g∗ v.Иначе говоря, образ g∗ v поля v в M при диффеоморфизме g области M на N –– это поле w в N, определенное формулой (рис.
)w( y) = (g∗x )v(x), где x = g−1 y.Рис. . Действие диффеоморфизма на векторное полеЗàäà÷à . Найти образ поля v(x) = 1 на прямой под действием диффеоморфизма g(x) = 2x.Оòâåò. (g∗ v)( y) = 2.Векторное поле на оси x, единственная компонента которогоравна v, часто обозначается ∗) символом v ∂/∂x. Удобство этого обозначения состоит в том, что при растяжениях оси ∂/∂x ведет себякак 1/x. Например, решение предыдущей задачи можно записатьтак:∂∂∂=2 .=∂x∂( y/2)∂yВ этих обозначениях формула действия диффеоморфизма прямойна векторное поле принимает вид следующей формулы замены переменной: если y = g(x), то∂1 ∂∂== ′ . Таким образом,∂y∂(g(x))g ∂xобозначение ∂/∂x автоматизирует вычисление действия диффеоморфизмов на поля.Зàäà÷à . Найти образ поля x ∂/∂x под действием диффеоморфизмаy = ex .Оòâåò.
y ln y ∂/∂ y.Если (x1 , …, xn ) –– фиксированная система координат в Rn , то базисные векторные поля (с компонентами (1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1))обозначаются ∂/∂x1, …, ∂/∂xn. Поле с компонентами (v1 , …, vn ) обозначается поэтому v1 ∂/∂x1 + … + vn ∂/∂xn.∗)В сущности, v ∂/∂x –– это оператор дифференцирования по направлению поля v(см.
§ ), но так как оператор v ∂/∂x и поле v однозначно определяют друг друга, ихчасто отождествляют между собой.Глава . Основные понятияЗàäà÷à . Найти образы «эйлерова поля» v = x1 ∂/∂x1 + x2 ∂/∂x2 на плоскости под действием следующих диффеоморфизмов: ) поворот вокруг 0;) гиперболический поворот; ) любое линейное преобразование.Оòâåò. v.Зàäà÷à . Докажите, что диффеоморфизм, переводящий векторное поле v в поле w, переводит фазовые кривые поля v в фазовые кривые поля w.Верно ли обратное?Оòâåò. Нет, пример: v = x ∂/∂x, w = 2x ∂/∂x..
Замена переменных в уравнении. Пусть w –– образ векторного поля v в M при диффеоморфизме g области M на область N,т. е. w = g∗ v.Тåîðåìà. Дифференциальные уравненияẋ = v(x),x∈M()ẏ = w( y),y∈N()иэквивалентны в том смысле, что если ϕ : I → M –– решение первого,то g ◦ ϕ : I → N –– решение второго уравнения, и обратно.Иными словами: замена переменных y = g(x) превращает уравнение () в уравнение ().
Или еще: подстановка g(x) вместо y превращает уравнение () в уравнение ().Дîêàçàòåëüñòâî. Это очевидно. Иными словами, последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, определение решения ϕ и определение поля g∗ v, находимdg ◦ ϕ = g∗x ϕ̇(t) = g∗x v(x) = w( y),dtгде x = ϕ(t), y = g(ϕ(t)), что и требовалось доказать.Зàäà÷à . Решить уравнение малых колебаний маятникаẋ1 = x2 ,ẋ2 = −x1 ,перейдя к полярным координатам ∗) подстановкой x1 = r cos θ , x2 = r sin θ .Рåøåíèå. Выполнив подстановку, находим ṙ = 0, θ̇ = −1, откуда x1 == r0 cos(θ0 − t), x2 = r0 sin(θ0 − t).∗)Разумеется, необходимы обычные оговорки, связанные с неоднозначностью полярных координат: отображение (r, θ ) 7→ (x1 , x2 ) не является диффеоморфизмомплоскости на плоскость.
Например, можно рассмотреть заданный этим отображением диффеоморфизм области r > 0, 0 < θ < 2π на плоскость без положительнойполуоси x1 и отдельно –– области r > 0, −π < θ < π на плоскость без отрицательнойполуоси x1 .§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поляЗàäà÷à . Исследовать фазовые кривые системыẋ1 = x2 + x1 (1 − x12 − x22 ),ẋ2 = −x1 + x2 (1 − x12 − x22 ).Рåøåíèå. Перейдя к полярным координатам, получаемṙ = r(1 − r 2 ),θ̇ = −1.Фазовые кривые этой системы на плоскости(r, θ ) совпадают с интегральными кривымиуравнения dr/dθ = r(r 2 − 1).
Нарисовав эти кривые (рис. ) и возвращаясь к декартовым координатам, получаем рис. . Единственная особая точка –– начало координат. Начинающиесявблизи нее фазовые кривые наматываются с ростом времени изнутри на окружность x12 + x22 == 1. Эта окружность является замкнутой фазовой кривой (предельным циклом). Снаружи нанее также наматываются фазовые кривые.Переход к полярным координатам позволяет и явно проинтегрировать исходную систему.Рис. . Интегральные кривые на плоскости (r, θ )Рис.
. Фазовые кривые наплоскости (x1 , x2 ). Действие диффеоморфизма на поле направлений. Пустьg –– диффеоморфизм области M на область N, и пусть в области Mзадано поле направлений. Тогда в области N также возникает поленаправлений. Оно называется образом исходного поля под действием диффеоморфизма g и определяется так.Рассмотрим какую-либо точку y области N (рис. ). Она имеетв M единственный прообраз, x = g−1 M. Рассмотрим направлениеданного поля в точке x.
Это –– прямая в касательном пространствеTx M. Возьмем любой ненулевой вектор этой прямой. Его образ поддействием g есть ненулевой вектор в касательном пространствеTy N (так как g –– диффеоморфизм). Прямая, определенная этимРис. . Действие диффеоморфизма на поле направленийГлава . Основные понятиявектором, не зависит от выбора вектора исходной прямой (так какg∗x –– линейный оператор). Эта новая прямая и есть прямая новогополя направлений в точке y. ОчевиднаТåîðåìà. Интегральные кривые исходного поля направлений в Mпереходят при диффеоморфизме g : M → N в интегральные кривыеполя направлений в N, полученного действием g на исходное поле.Для доказательства достаточно достроитьданное поле направлений (в окрестности каждой точки области M) до векторного поля, векторы которого лежат на прямых заданного поля направлений и отличны от нуля, а затемприменить теорему п.
.Рис. . Поле направлений, не достраиваемоедо векторного поляЗàäà÷à . Всякое ли гладкое поле направленийв области на плоскости можно достроить до гладкого векторного поля?Оòâåò. Нет, если область неодносвязна (см.рис. ).Сформулированная выше теорема показывает, что для решениядифференциального уравненияdx/dt = v(t, x)достаточно построить диффеоморфизм, приводящий поле направлений к полю направлений уравнения, которое мы уже умеемрешать –– например, уравнения с разделяющимися переменными.Иными словами, достаточно подобрать замену переменных, сводящую уравнение к уже решенному.Зàäà÷à . Подобрать замену переменных так, чтобы в уравнении2=2x −tпеременные разделились.x 2 + t2dx=dtОòâåò. Годятся полярные координаты.Зàäà÷à .
Найти диффеоморфизм, превращающий все интегральныекривые уравнения dx/dt = x − 1 в параллельные прямые.Рåøåíèå. Решаем однородное уравнение: x = Cet . Находим частное решение неоднородного: Ċet = −1, C = e−t , x = 1.Следовательно, каждое решение неоднородного уравнения имеет видx = 1 + aet . Отображение, переводящее (t, x) в (t, a), –– искомый диффеоморфизм (a = e−t (x − 1)), так как вдоль интегральных кривых a –– константа.Дðóãîå ðåøåíèå. Сопоставим точке (t, x) точку (t, y), где y –– ордината точки пересечения интегральной кривой, проходящей через точку (t, x)с осью ординат (рис. ).§ .
Действие диффеоморфизмов на векторные поляРис. . Выпрямлениеинтегральных кривыхРис. . Невыпрямляемое поле направлений на плоскостиЗàäà÷à . Всякое ли гладкое поле направлений, заданное на всей плоскости, превращается в поле параллельных прямых при подходящем диффеоморфизме?Оòâåò. Нет, см. рис. .Зàäà÷à . Можно ли диффеоморфизмом плоскости превратить в полепараллельных прямых поле направлений дифференциального уравненияẋ = x 2 ?Оòâåò. Можно, хотя явную формулу написать нелегко.. Действие диффеоморфизма на фазовый поток. Пусть {g t :M → M} –– однопараметрическая группа диффеоморфизмов, и пустьf : M → N –– еще один диффеоморфизм на.Оïðåäåëåíèå. Образом потока {g t } под действием диффеоморфизма f называется поток {ht : N → N}, где ht = fg t f −1 .Иными словами, диаграммаMgt// MffNht// Mкоммутативна при любом t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
