Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Соотношение Эйлера получается дифференцированием определения () однородной функции по s при s = 0.Соотношение () получается из соотношения Эйлера интегрированием дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, задаваемого соотношением Эйлера на каждой орбите группырастяжений: df /dx = rf /x.Для того чтобы поле направлений уравнения dy/dx = F(x, y) было однородным, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была однородной функцией степени 0.
Например, годится отношениелюбых двух однородных многочленов одинаковой степени.Зàìå÷àíèå. Переход от координат (x, y) к координатам (x, v = y/x)в области x 6= 0 и к координатам (u = x/ y, y) в области y 6= 0 называетсясигма-процессом или раздутием точки 0.§ . СимметрииЭта конструкция имеет простой геометрический смысл: она означаетпереход от плоскости к поверхности, получающейся из нее выкидываниемначала координат и вклеиванием вместо него целой проективной прямой.Вот как это делается. Рассмотрим отображение (расслоение) α: (R2 \ 0) →→ RP1 , определяющее проективную прямую ∗).Отображение α сопоставляет точке плоскости прямую, соединяющую еес нулем.
График отображения α (рис. ) представляет собой поверхность Sв пространстве (R2 \ 0) × RP1 . ВложениеR2 \ 0 в R2 вкладывает этот график в произведение M = R2 × RP1 (диффеоморфноевнутренности баранки).Зàäà÷à . Доказать, что замыкание графика в M представляет собой гладкую поверхность.Уêàçàíèå. Уравнения y = vx, x = uyопределяют гладкие поверхности.Рис. .
Сигма-процессЭта поверхность Σ (замыкание графика) состоит из самого графика и линии0 × RP1 (диффеоморфной окружности). Проектирование M на первый сомножитель, R2 , определяет гладкое отображение поверхности Σ на плоскость. Это отображение называется сдуванием. Оно переводит всю окружность 0 × RP1 в точку 0 и диффеоморфно отображает остальную часть Σ(т. е. график) на плоскость без точки.Зàäà÷à . Доказать, что поверхность Σ диффеоморфна листу Мёбиуса.Всевозможные геометрические объекты, имеющие особенность в точке 0, можно поднять с плоскости без точки на Σ, пользуясь указанным вышедиффеоморфизмом. При этом оказывается, что при переходе наверх (на Σ)особенности упрощаются.Повторяя процедуру раздутия, можно, как говорят, разрешать особенности. Например, можно превратить любую алгебраическую кривую с особенностью в точке 0 в кривую, не имеющую особенностей, кроме точек обычного самопересечения.Зàäà÷à .
Разрешить особенность полукубической параболы x 2 = y 3 .Рис. . Разрешение особенностиОòâåò. См. рис. .При исследовании векторных полейи полей направлений также полезно раздутие с центром в особой точке.∗)Проективной прямой называется множество всех проходящих через 0 прямыхна плоскости. Вообще, проективное пространство RP m−1 есть множество прямых,проходящих через 0 в Rm .Глава . Основные понятияВыше мы видели, что в случае однородного поля направлений первое жераздутие приводит к уравнению с разделяющимися переменными.Зàäà÷à .
Докажите, что гладкое векторное поле на плоскости, равное 0 в начале координат, поднимается на поверхность Σ в виде поля,гладко продолжающегося на вклеиваемую при сигма-процессе окружность.. Квазиоднородные уравнения. Зафиксируем на плоскости систему линейных координат (x, y) и зафиксируем два вещественныхчисла α и β.Оïðåäåëåíèå. Группой квазиоднородных растяжений плоскости называется однопараметрическая группа линейных преобразованийg s (x, y) = (eαs x, eβ s y).Числа α и β называются весами переменных x и y. (Наряду с «квазиоднородный» употребляются термины взвешенно-однородный, обобщенно-однородный.) Обозначение: α = deg x, β = deg y.Если α = β = 1, то {g s } –– обычная группа растяжений.Оïðåäåëåíèå. Уравнение называется квазиоднородным (с весами α, β), если задающее его поле направлений на плоскости инвариантно относительно группы квазиоднородных растяжений.Зàäà÷à .
Подобрать веса так, чтобы поле направлений уравнениябыло квазиоднородным.Оòâåò. α = 2, β = 1.dy/dx = −x/ y 3Тåîðåìà. Квазиоднородное уравнение dy/dx = F(x, y) с весамиdeg x = α, deg y = β приводится к уравнению с разделяющимися переменными переходом к координатам (x, y α /x β ) в области x > 0.Дîêàçàòåëüñòâî. Орбитами группы квазиоднородных растяжений являются половины «парабол» y α = Cx β (рис. ). Выберем в качестве линии Γ (п. ) прямую x = 1 с параметром y на ней. Квазиоднородные растяжения переводят параллельные Γ прямые в параллельные.
Поэтому теорема вытекает из леммы п. и замечания к ней.Выясним теперь, как узнать по правой части уравнения, квазиоднородно ли оно.Оïðåäåëåíèå. Функция f называется квазиоднородной (степени r), если она удовлетворяет тождеству f (eαs x, eβ s y) ≡ ers f (x, y).Иными словами, f –– общий собственный вектор операторов(g s )∗ (где g s –– квазиоднородное растяжение) с собственными числами ers .§ .
СимметрииПðèìåð. Многочлен квазиоднороден степени r (при весах α, β),если и только если показатели входящих в него мономов x p y q лежатна диаграмме Ньютона αp + β q = r (рис. ).Квазиоднородная степень квазиоднородного многочлена называется также весом. Например, вес x равен α, вес y равен β, вес x 2 y 3равен 2α + 3β и т. д. Приписывание весов называется также градуированием.Рис. . Диаграмма Нью-Зàäà÷à . Подобрать веса переменных так,тона квазиоднороднойчтобы многочлен x 2 y + y 4 был квазиоднородным функциистепени 1.Оòâåò.
deg y = 1/4, deg x = 3/8.Зàäà÷à . Докажите, что функция f переменных xi весов αi квазиоднороднаP степени r, если и только если она удовлетворяет соотношению Эйлера αi xi ∂ f /∂xi = rf .PЗàìå÷àíèå. Векторное поле αi xi ∂ f /∂xi называется квазиоднороднымэйлеровым полем (это –– поле фазовой скорости группы квазиоднородныхрастяжений). Соотношение Эйлера означает, что f –– собственный вектороператора дифференцирования вдоль эйлерова поля, с собственным числом r.Тåîðåìà. Для того чтобы поле направлений уравнения dy/dx == F(x, y) было квазиоднородным, необходимо и достаточно, чтобыправая часть была квазиоднородной и ее квазиоднородная степеньбыла равна разности степеней y и x:deg F = deg y − deg x = β − α.Дîêàçàòåëüñòâî.
Под действием квазиоднородных растяженийg s величина y и, следовательно, dy увеличивается в eβ s раз, а x (и,следовательно, dx) –– в eαs раз. Чтобы поле направлений перешлопри таком растяжении в себя, нужно, чтобы значение F в новойточке было во столько же раз больше, чем в старой, во сколько разувеличивается отношение dy/dx (или y/x), т. е.
в e(β −α)s раз, чтои требовалось.Зàìå÷àíèå. Таким образом, при вычислении весов можно обращаться с dy/dx, как с дробью, считая d «множителем» веса нуль.Тогда вес dx есть α, вес dy есть β, вес dy/dx есть β − α.Условие квазиоднородности уравнения состоит в том, что весалевой и правой частей одинаковы.Глава . Основные понятияЗàäà÷à . Подобрать веса переменных так, чтобы дифференциальное уравнение фазовых кривых уравнения Ньютона ẍ = Cx k было квазиоднородным.Рåøåíèå. Уравнение фазовых кривых dy/dx = Cx k / y. Следовательно,2β = (k + 1)α.. Соображения подобия и размерностей. Квазиоднородныеуравнения с фазовыми пространствами любой размерности определяются аналогично тому, как это сделано выше для двумерногослучая. Квазиоднородные векторные поля определяются условиемdeg ∂/∂xi = − deg xi . Например, эйлерово поле имеет степень 0.Зàäà÷à .
Доказать, что если f –– квазиоднородная функция степени r,а v –– квазиоднородное поле степени s, то производная f вдоль v –– квазиоднородная функция степени r + s.Зàäà÷à . Пусть ẋ = P, ẏ = Q, где P и Q –– однородные многочлены степени m. Докажите, что если какая-либо из фазовых кривых замкнута и проходится за время T, то при растяжении в es раз из нее получится замкнутаяфазовая кривая с периодом обращения es(1−m) T.Зàäà÷à . Пусть ẋ = v(x), где v –– квазиоднородное поле степени r. Докажите, что если T –– период обращения по замкнутой кривой γ и g s –– квазиоднородное растяжение, то g s γ –– тоже замкнутая фазовая кривая и периодобращения –– e−sr T.Зàäà÷à .
Как зависит от амплитуды xmax период колебаний «мягкогомаятника», ẋ = y, ẏ = −x 3 ?Оòâåò. Обратно пропорционален амплитуде.При применении соображений подобия часто встречаются нетолько первые, но и вторые производные. Посмотрим, как они ведутсебя при квазиоднородных растяжениях. ОчевиднаТåîðåìà.
При квазиоднородном растяжении (x, y)7→(eαs x, eβ s y)график функции y = ϕ(x) преобразуется в график функции y = Φ(x),для которойdk ϕdk Φ(в новой точке) = e(β −kα)s k (в старой точке).kdxdxИными словами, d k y/(dx)k преобразуется как y/x k (чем и объясняется удобство обозначения Лейбница). Следовательно, чтобыузнать, квазиоднородно ли уравнение, включающее высшие производные, достаточно приписать букве d вес нуль и потребовать одинаковости весов левой и правой частей.Зàäà÷à . Докажите, что если частица в силовом поле с однороднойстепени m силой проходит траекторию γ за время T, то та же частицаxпройдет гомотетичную траекторию λγ за время T ′ = λ(1−m)/2 T .§ . СимметрииРåøåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
