Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ясно, что f переводит орбиты группы{g t } в орбиты группы {ht }.Если рассматривать диффеоморфизм f как «замену переменных», то преобразование ht –– это просто преобразование g t , «записанное в новых координатах».Зàìå÷àíèå. Потоки {g t } и {ht } называются иногда эквивалентными(или подобными, или сопряженными), а диффеоморфизм f ––эквивалентностью (или сопрягающим диффеоморфизмом).Глава . Основные понятияЗàäà÷à . Докажите, что {ht } –– однопараметрическая группа диффеоморфизмов.Зàäà÷à . Сопряжены ли однопараметрические группы вращений плоскости и ее гиперболических поворотов?Пусть v –– векторное поле фазовой скорости однопараметрической группы {g t }, а w –– группы {ht }, в которую ее переводит диффеоморфизм f .ОчевиднаТåîðåìà.
Диффеоморфизм f переводит поле v в поле w; обратно,если диффеоморфизм переводит v в w, то он переводит {g t } в {ht }.Зàäà÷à . Переводятся ли друг в друга диффеоморфизмами векторныеполя на прямой, задающие следующие пять дифференциальных уравнений:ẋ = sin x, 2 sin x, sin2 x, sin 2x, 2 sin x + sin2 x.Оòâåò. Второе переводится в четвертое и в пятое.§ . СимметрииЗдесь решаются однородные и квазиоднородные дифференциальные уравнения.
Их решение основано на использовании однопараметрических групп симметрий векторных полей и полей направлений, которые мы прежде всего и изучим.. Группы симметрий.Оïðåäåëåíèå. Диффеоморфизм g : M → Mназывается симметрией векторного поля v в M,если он переводит поле в себя: g∗ v = v. Говоряттакже, что поле v инвариантно относительносимметрии g.Пðèìåð. Поворот плоскости вокруг нуля является симметрией эйлерова поля x1 ∂/∂x1 +Рис. . Эйлерово поле + x2 ∂/∂x2 (вектор которого в точке x естьv(x) = x, рис. ).Фазовые кривые поля переходят под действием симметрии полядруг в друга.Зàäà÷à . Пусть диффеоморфизм переводит фазовые кривые векторного поля друг в друга.
Является ли он симметрией поля?Оòâåò. Не обязательно.Оïðåäåëåíèå. Диффеоморфизм g : M → M называется симметрией поля направлений в M, если он переводит это поле направле-§ . Симметрииний в себя; поле тогда называется инвариантным относительно симметрии.
Интегральные кривые поля переходят под действием симметрии друг в друга.Пðèìåð. Поле направлений уравнения ẋ = v(t) в расширенномфазовом пространстве инвариантно относительно сдвигов вдольоси x (рис. на с. ), а уравнения ẋ = v(x) –– вдоль оси t (рис. на с. ).Зàäà÷à . Пусть диффеоморфизм переводит интегральные кривые поля направлений друг в друга. Является ли он симметрией поля направлений?Оòâåò. Да.Поле называется инвариантным относительно группы диффеоморфизмов, если оно инвариантно относительно каждого преобразования группы. В таком случае говорят, что поле допускает даннуюгруппу симметрий.Пðèìåð. Эйлерово поле на плоскости допускает, среди других,следующие четыре группы симметрий: однопараметрическая группа растяжений (x 7→ et x), однопараметрическая группа вращенийна угол t, однопараметрическая группа гиперболических поворотов,группа всех линейных преобразований плоскости, GL(2, R).Все симметрии данного поля образуют группу (докажите!).Зàäà÷à .
Найти группу всех симметрий эйлерова поля на плоскости.Оòâåò. GL(2, R).. Применение однопараметрической группы симметрий дляинтегрирования уравнения.Тåîðåìà. Пусть известна однопараметрическая группа симметрий поля направлений на плоскости. Тогда можно явно проинтегрировать уравнение, заданное этим полем направлений, в окрестности каждой не стационарной точки группы симметрий.Точка называется нестационарной для группы преобразований,если не все преобразования группы оставляют ее на месте.Если группа состоит из сдвигов вдоль прямой, то уравнение с такой группой симметрий решено в § , с. (формула Барроу). Мыпокажем, что общий случай сводится к этому подходящим диффеоморфизмом (т.
е. разумным выбором локальных координат на плоскости).Лåììà. В окрестности любой нестационарной точки действияоднопараметрической группы диффеоморфизмов на плоскости мож-Глава . Основные понятияно выбрать координаты (u, v) так, что данная однопараметрическая группа диффеоморфизмов запишется в виде группы сдвигов:g s (u, v) = (u + s, v)при достаточно малых |u|, |v|, |s|.Эта формула означает, что координата v нумерует орбиты данной группы, а координата u на каждой орбите есть просто времядвижения (отсчитываемое от некоторой линии на плоскости).Дîêàçàòåëüñòâî.
Проведем через данную точку O линию Γ, пересекающую трансверсально (под ненулевым углом) проходящуючерез нее фазовую кривую {g s O} (рис. ).Пусть v –– координата точки γ(v) на этойлинии, отсчитываемая от точки O. Рассмотрим отображение Φ плоскости (u, v) нанашу плоскость, переводящее точку с координатами (u, v) в g u γ(v). Это отображеРис. . Выпрямление од- ние –– диффеоморфизм окрестности точкинопараметрической группы (0, 0) на окрестность точки O. Поэтомудиффеоморфизмов(u, v) –– локальные координаты. В координатах (u, v) действие g s принимает нужs uный вид, поскольку g g = g s+u.Теорема следует из леммы, так как в системе координат (u, v)наклон данного поля направлений не зависит от u.Зàìå÷àíèå. Приведенное доказательство дает также метод явного интегрирования уравнения; в координатах леммы оно принимает вид dv/du = w(v) (линию Γ нужно взять не касательной направлению данного поля в O). Практически не всегда удобно пользоваться именно этими координатами.
Достаточно, чтобы линии v = constбыли орбитами данной однопараметрической группы диффеоморфизмов; в качестве другой координаты вместо u можно взять любуюфункцию от u, скажем z. Важно лишь, чтобы преобразования g s переводили линии z = const друг в друга. В системе координат (z, v)исходное поле направлений определит уравнение с разделяющимися переменными dv/dz = w(v) f (z), где f (z) = du/dz.Зàäà÷à . Пусть известна однопараметрическая группа симметрий поля направлений в n-мерной области. Свести задачу интегрирования соответствующего дифференциального уравнения к нахождению интегральныхкривых поля направлений в области размерности n − 1.Уêàçàíèå. Пространство орбит группы симметрий имеет размерностьn − 1.§ .
Симметрии. Однородные уравнения.Оïðåäåëåíèå. Уравнение называется однородным, если его поле направлений на плоскости однородно, т. е. инвариантно относительно однопараметрической группы растяжений, g s (x, y) = e s (x, y)(рис. ).Область определения такого поля –– не обязательно вся плоскость: достаточно, чтобы это поле было задано в какой-либо области, инвариантной относительно растяжений (например, в угле).Рис. .
Поле направлений однородного уравненияРис. . Координатыдля решения однородного уравненияРис. . Интегральные кривые однородного уравненияЗàäà÷à . Какие из уравнений dy/dx = y/x, x/ y, ln x − ln y (x > 0, y > 0)однородны?Оòâåò. Все три.Тåîðåìà. Однородное уравнение dy/dx = F(x, y) приводится куравнению с разделяющимися переменными подстановкой y = vx(т. е. переходом к координатам (x, v)) в области x > 0.Дîêàçàòåëüñòâî. Орбиты группы растяжений –– это лучи проходящих через 0 прямых (рис.
). В качестве линии Γ возьмем прямую x = 1 с обычным параметром y на ней. Указанные в лемме координаты u и v –– это u = ln x и v = y/x.По замечанию п. в координатах (x, v) переменные разделяются.Зàäà÷à . Решить уравнение dy/dx = y/x + y 2 /x 2 , x > 0.Рåøåíèå. dy =v dx + x dv, dy/dx =v + x dv/dx, x dv/dx =v 2 , −1/v =ln x ++C, y = −x/(ln x + C).Если K –– интегральная кривая однородного уравнения, то гомотетичная ей кривая e s K тоже интегральная (рис.
). Таким обра-Глава . Основные понятиязом, для исследования всех интегральных кривых однородного уравнения достаточно нарисовать одну кривую в каждом секторе плоскости.Зàäà÷à . Нарисовать интегральные кривые уравнения dy/dx = 2 y/x ++ y 2 /x 2 .Оòâåò. См. рис. .Оïðåäåëåíèå. Функция f называется однородной степени r, если она удовлетворяет тождественному соотношениюf (e s x) ≡ ers f (x).()Иными словами, однородная функция степени r –– это общий собственный вектор всех линейных операторов (e s )∗ , с собственнымичислами ers .Оператор g∗ (действие диффеоморфизма g на функции) определен в § , с.
.Пðèìåð.Нарисуем на плоскости p, q прямую p + q = r. МногоPчлен a pq x p y q однородный степени r, если и только если показатели всех входящих в него с ненулевыми коэффициентами одночленовлежат на этой прямой (называемой диаграммой Ньютона).Тåîðåìà (Эéëåðà). Чтобы функция f была однородной степени r, необходимоP и достаточно, чтобы она удовлетворяла соотношению Эйлераxi ∂ f /∂xi = rf .Соотношение Эйлера означает, что f –– собственный вектор оператора дифференцирования вдоль изображенного на рис. эйлерова поля (поля фазовой скорости группы растяжений, e s ) с собственным числом r.Дîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
