Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Уравнение Ньютона d2 x/dt 2 = F(x), в котором F однороднастепени m, переходит в себя при подходящих квазиоднородных растяжениях: нужно взять веса α (для x) и β (для t) так, чтобы α − 2β = mα. Беремα = 2, β = 1 − m. Растяжению x ′ = λx соответствует T ′ = λ(1−m)/2 T .Зàäà÷à . Докажите, что квадраты времени прохождения подобныхтраекторий в поле тяготения относятся как кубы линейных размеров ∗).Рåøåíèå.
Из предыдущей задачи при m = −2 (закон всемирного тяготения) получаем T ′ = λ3/2 T .Зàäà÷à . Выясните, как зависит от амплитуды период колебаний в случае возвращающей силы, пропорциональной отклонению («линейный осциллятор») и кубу отклонения («мягкая» сила).Оòâåò. Для линейного маятника период не зависит от амплитуды, а длямягкого обратно пропорционален ей.Зàäà÷à . Уравнение теплопроводности имеет вид∂u∂2 u= a 2 (t –– вре∂t∂xмя, x –– расстояние, u –– температура). Известно, что вследствие годовыхколебаний температуры земля в некоторой местности промерзает на метр.На какую глубину она промерзала бы вследствие суточных колебаний температуры такой же амплитуды?Рåøåíèå.
Уравнение переходит в себя при квазиоднородных растяжениях (t, x) 7→ (e2s t, es x). Следовательно, уменьшениепериода в 365 раз влеpчет уменьшение глубины промерзания в 365 раз.Оòâåò. На глубину 5 см.Использование соображений подобия восходит к Галилею, который объяснял ими ограничение роста земных животных. Вес растетпропорционально кубу линейного размера, а прочность костей ––квадрату. Для водных животных этого ограничения нет, и киты достигают гораздо больших размеров, чем, скажем, слоны. Многочисленные применения этих соображений в разных областях естествознания носят названия: теория подобия, теория размерностей, скейлинг, автомодельность и др.. Методы интегрирования дифференциальных уравнений.Есть еще несколько приемов, иногда позволяющих явно решитьдифференциальное уравнение.
Например, рассмотрим уравнениеdyP(x, y).=Q(x, y)dx∗)Это частный случай -го закона Кеплера, в котором подобие траекторий непредполагается. Закон всемирного тяготения был найден из двух предыдущих задач,закон Кеплера был известен раньше.Глава . Основные понятияПерепишем его в видеQ dy − P dx = 0(1-форма равна 0 на векторах, касающихся интегральных кривых).Если форма является полным дифференциалом функции,Q dy − P dx = dF,то вдоль каждой интегральной кривой функция F постоянна.Зная линии уровня функции F, можно найти интегральные кривые. Достаточно даже, чтобы форма Q dy − P dx становилась полнымдифференциалом после умножения на подходящую функцию (ведьодновременное умножение P и Q на одну и ту же функцию не меняет исходного уравнения).
Такая функция называется интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель всегда существует(в окрестности точки, где Q отлично от нуля), но найти его не легче,чем решить исходное уравнение.Основной метод решения и изучения дифференциальных уравнений –– подбор диффеоморфизмов (замен переменных), приводящихк простейшему виду соответствующее поле направлений, векторноеполе или фазовый поток.
Например, для однородных и квазиоднородных уравнений такие замены переменных указаны выше.Существует ряд приемов отыскания замен переменных для интегрирования дифференциальных уравнений специального вида.Списки таких уравнений и приемов имеются в задачниках (см., например, «Сборник задач по дифференциальным уравнениям» А. Ф.Филиппова, § , , , , , ) и в справочниках (см., например, книгу Э. Камке «Справочник по дифференциальным уравнениям», содержащую около 1600 уравнений). Каждый может расширить этисписки следующим образом: взять любое уже решенное уравнениеи сделать в нем любую замену переменных. Мастера интегрирования дифференциальных уравнений (например, Якоби) достигалиэтим способом значительных успехов в решении конкретных прикладных задач. В последнее десятилетие мы являемся свидетеляминеожиданного возрождения интереса к некоторым специальнымточно интегрируемым уравнениям, которые оказались связаннымис тонкими вопросами алгебраической геометрии с одной стороныи физики частицеобразных решений уравнений в частных производных (солитонов, инстантонов и т.
п.) –– с другой.Однако все эти методы интегрирования имеют два принципиальных недостатка. Во-первых, уже такое простое уравнение, как§ . Симметрииdx/dt = x 2 − t, не решается в квадратурах, т. е. решение не выражается в виде конечной комбинации элементарных и алгебраических функций и интегралов от них ∗). Во-вторых, громоздкая формула, дающая решение в явном виде, часто менее полезна, чем простаяприближенная формула. Например, уравнениеx 3 − 3xÆ= 2apможноÆp332явно решить по формуле Кардано x = a + a − 1 + a − a2 − 1.Однако если мы хотим решить уравнение при a = 0,01, то полезнеезаметить, что оно имеет при малых a корень x ≈ −(2/3)a –– обстоятельство вовсе не очевидное с точки зрения формулы Кардано.
Точно так же уравнение маятника ẍ + sin x = 0 решается в явном виде при помощи интегралов (эллиптических). Однако большинствовопросов о поведении маятника проще решить, исходя из приближенного уравнения малых колебаний ( ẍ + x = 0) и из качественныхсоображений, не использующих явную формулу (см. § ).Точно решаемые уравнения бывают полезны в качестве примеров, так как на них можно иногда заметить явления, которые имеютместо и в более сложных случаях. Например, исследование точногорешения уравнения ẋ = kx позволяет доказать теорему единственности для самого общего уравнения с гладкой правой частью (см. § ,п. ). Другие примеры доставляют так называемые автомодельныерешения уравнений математической физики.Зàäà÷à .
Найти решения уравнения Лапласа ∗∗) в R2 и в R3 , зависящиетолько от расстояния точки до начала координат.Оòâåò. C ln 1/r + const, C/r + const (ньютоновские потенциалы; строгоговоря, ∆(ln 1/r) = −2πδ в R2 , ∆(1/r) = −4πδ в R3 (почему?)).Всякий раз, когда найдена точно решаемая задача, открываетсявозможность приближенно исследовать близкие задачи методамитеории возмущений.∗)Доказательство этой теоремы Лиувилля близко к доказательству неразрешимости уравнений степени 5 в радикалах (Руффини––Абель––Галуа): оно выводится изнеразрешимости некоторой группы.
В отличие от обычной теории Галуа, речь идетздесь не о конечной группе, а о неразрешимой группе Ли. Наука, занимающаясяэтими вопросами, называется дифференциальной алгеброй.∗∗)nОператоромP Лапласа в евклидовом пространстве R называется оператор∆ = div grad = ∂2 /∂xi2 (xi –– декартовы координаты). Уравнение Лапласа имеет вид∆u = 0. Решения этого уравнения называются гармоническими функциями. Например, установившееся распределение температуры задается гармонической функцией. Оператор Лапласа измеряет отличие среднего значения функции в малом шаре отее значения в центре шара. Среднее гармонической функции по любому шару точноравно ее значению в центре шара (докажите!).Глава .
Основные понятияОднако опасно распространять результаты, полученные при изучении точно решаемой задачи, на близкие задачи общего вида:нередко точно интегрируемое уравнение потому и интегрируется,что его решения ведут себя проще, чем у близких неинтегрируемыхзадач. Например, уравнение фазовых кривых модели Лотки––Вольтерра удается проинтегрировать (п.
§ ) лишь благодаря тому, чтовсе эти кривые замкнуты (в то время как у большинства близкихнеинтегрируемых моделей большинство фазовых кривых –– незамкнутые спирали).Глава Основные теоремыВ этой главе формулируются теоремы о существовании и единственности решений и первых интегралов, о зависимости решенийот начальных данных и от параметров. Доказательства изложеныв гл. , здесь лишь обсуждается связь этих результатов друг с другом.§ .
Теоремы о выпрямленииЗдесь формулируется основная теорема о выпрямлении поля направлений, и из нее выводятся теоремы существования, единственности и дифференцируемой зависимости решения от параметрови начальных условий, теоремы о продолжении и о локальных фазовых потоках.. Выпрямление поля направлений.Рассмотрим гладкое поле направленийв области U n-мерного пространства.Оïðåäåëåíèå. Выпрямлением полянаправлений называется диффеоморфизм, переводящий его в поле парал- Рис. . Выпрямление поля налельных направлений (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
