Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Решение ϕ с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 продолжается вперед (назад) до границы компакта K, если существуетрешение с тем же начальным условием, принимающее значения изграницы компакта K при некотором t ¾ t0 (t ¶ t0 ).Из следствия очевидно вытекаетСëåäñòâèå . Решение с начальным значением из данного компакта K в фазовом пространстве продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы компакта K.Пðèìåð. Решение уравнения маятника ẋ1 = x2 , ẋ2 = −x1 с начальным условием x1 = 1, x2 = 0 не продолжается до границы компакта x12 + x22 ¶ 2.§ . Теоремы о выпрямленииДîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ . Рассмотрим отрезок ∆ = [a, b]оси t, содержащий t0 .
Цилиндр ∆ × K в расширенном фазовом пространстве (рис. ) компактен. По предыдущей теореме решениепродолжается до его границы. Эта граница состоит из двух «торцов»(a × K и b × K) и «боковой поверхности» ∆ × (∂K) (по формуле Лейбница, ∂(∆ × K) = (∂∆) × K + ∆ × (∂K)). Если при любом b > t0 интегральная кривая пересечет торец b × K, то решение продолжаетсявперед неограниченно; если же при каком-либо b она пересечетбоковую поверхность –– то до границы компакта.Рис. .
Продолжение до границы фазового компактаРис. . Выпрямление векторного поляСëåäñòâèå . Решение автономного уравнения ẋ = v(x) с начальным значением из любого компакта фазового пространства продолжается вперед (назад) либо неограниченно, либо до границы этогокомпакта.Ибо цилиндр R × K принадлежит расширенному фазовому пространству автономного уравнения для любого компакта K в фазовом пространстве.Зàäà÷à . Докажите, что векторное поле v определяет фазовый поток,если все решения уравнения ẋ = v(x) продолжаются неограниченно..
Выпрямление векторного поля. Рассмотрим гладкое векторное поле v в области U.Выпрямлением поля называется диффеоморфизм, превращающий его в поле параллельных векторов одинаковой длины в евклидовом пространстве (рис. ).Из основной теоремы о выпрямлении легко вытекаетСëåäñòâèå . Всякое гладкое векторное поле локально выпрямляемо в окрестности каждой неособой точки (точки, где векторполя отличен от нуля).Дîêàçàòåëüñòâî. Векторы поля в окрестности неособой точкиотличны от нуля и, значит, определяют поле направлений в этойобласти фазового пространства.
По основной теореме это поле вы-Глава . Основные теоремыпрямляемо. Выполним выпрямляющий диффеоморфизм. Этим мыдобьемся параллельности векторов поля, но их длины будут, вообщеговоря, зависеть от точки. В выпрямляющих координатах уравнение, заданное нашим полем, примет видẋ1 = u(x),ẋ2 = … = ẋn = 0,причем u(0) 6= 0.Введем вместо x1 новую координату ξ, определив ξ(x) как времядвижения от плоскости x1 = 0 до точки x (рис. ). Решая уравнение, находим это время по формуле НьюRx1dη. В координатахтона: ξ(x) =0u(η; x2 , …, xn )(ξ, x2 , …, xn ) уравнение принимает вид ξ̇ = 1,ẋ2 = … = ẋn = 0, т.
е. поле выпрямлено.Зàìå÷àíèå. Теорема о выпрямлении векРис. . Построение вы- торного поля –– еще одна переформулировкапрямляющих координат теоремы о выпрямлении поля направлений(чтобы вывести вторую из первой, достаточновыбрать по вектору, гладко зависящему от точки, на прямых данного поля направлений, что локально всегда легко сделать).Вот еще две очевидные переформулировки следствия :Сëåäñòâèå . Любые два гладких векторных поля в областяходинакового числа измерений переводятся друг в друга диффеоморфизмами в достаточно малых окрестностях любых неособых точек.Сëåäñòâèå .
Всякое дифференциальное уравнение ẋ = v(x) может быть записано в нормальной форме ẋ1 = 1, ẋ2 = … = ẋn = 0 приподходящем выборе координат в достаточно малой окрестностилюбой неособой точки поля.Иными словами, всякое уравнение ẋ = v(x) локально эквивалентно простейшему уравнению ẋ = v (v 6= 0 не зависит от x) в окрестности любой неособой точки.Зàäà÷à . Выпрямить векторное поле фазовой скорости маятникаx2 ∂/∂x1 − x1 ∂/∂x2 в окрестности точки x1 = 1, x2 = 0.Рåøåíèå. Годятся полярные координаты.
Пусть x1 = r cos θ , x2 = −r sin θ(r > 0, |θ | < π). В этих координатах уравнение имеет вид ṙ = 0, θ̇ = 1, поэтому поле выпрямлено: оно имеет вид ∂/∂θ .Зàäà÷à . Выпрямить поля) x1 ∂/∂x1 + 2x2 ∂/∂x2 при x1 > 0;) ∂/∂x1 + sin x1 ∂/∂x2 ;) x1 ∂/∂x1 + (1 − x12 ) ∂/∂x2 при x12 < 1.§ . Применения к уравнениям выше первого порядка§ . Применения к уравнениям выше первого порядкаОсновные теоремы о системах любого числа уравнений любогопорядка выводятся здесь из аналогичных теорем для систем уравнений первого порядка..
Эквивалентность уравнения n-го порядка и системы n уравнений первого порядка.Оïðåäåëåíèå. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнениеdxdn−1 x dn x, …, n−1 ,n = F t; x,dtdtdt()где F –– дифференцируемая (класса C r , r ¾ 1) функция, заданная в области U пространства размерности 1 + n (время t и производныенеизвестной функции порядков от 0 до n − 1 включительно).Решением уравнения () называется C n -отображение ϕ : I → R интервала вещественной оси в вещественную ось, для которого) точка с координатами (τ, ϕ(τ), …, ϕ (n−1) (τ)) принадлежит области U при любом τ из I;) при любом τ из Idn ϕ = F(τ; ϕ(τ), …, ϕ (n−1) (τ)).dt n t=τПðèìåð. Решением уравнения малых колебаний маятника, ẍ == −x, является функция ϕ(t) = sin t, а также функция ϕ(t) = cos t(рис.
). Следовательно, графики решений уравнения второго порядка могут пересекаться(в отличие от графиков решений уравнения первого порядка, т. е. интегральных кривых, которые по теореме единственности либо не пересекаются, либо совпадают на целом интервале).Фазовым пространством уравнения маятни- Рис. . Графики двухка является плоскость с координатами (x, ẋ): решений уравнениязадание этих двух чисел в начальный момент второго порядкаопределяет все движение маятника. Рассмотрим вопрос о размерности фазового пространства для общего уравнения n-го порядка (): сколько чисел нужно задать в начальныймомент, чтобы однозначно определить решение во все моменты времени?Глава .
Основные теоремыТåîðåìà. Уравнение n-го порядка () эквивалентно системе nуравнений первого порядкаẋ1 = x2 ,…,ẋn−1 = xn ,ẋn = F(t; x1 , …, xn−1 )()в том смысле, что если ϕ –– решение уравнения (), то вектор изпроизводных (ϕ, ϕ̇, …, ϕ (n−1) ) –– решение системы (), а если (ϕ1 , ……, ϕn ) –– решение системы (), то ϕ1 –– решение уравнения ().Доказательство очевидно.Итак, фазовое пространство процесса, описываемого дифференциальным уравнением порядка n, имеет размерность n: все течениепроцесса ϕ описывается заданием в начальный момент времени t0набора n чисел –– значений производных ϕ порядка меньше n в точке t0 .Зàìå÷àíèå.
Причина, по которой для однозначного определения решения уравнения n-го порядка нужно задать в начальный момент n начальных условий, становится, быть может, понятнее, еслирассмотреть дифференциальное уравнение как предел разностных.Зафиксируем число h > 0 (называемое шагом). Первой разностью данной функции ϕ с шагом h называется функция, значениекоторой в точке t равно ϕ(t + h) − ϕ(t).
Первая разность обозначается ∆ϕ. Вторая разность ∆2 ϕ определяется как ∆(∆ϕ).Зàäà÷à . Доказать, что (∆2 ϕ)(t) = ϕ(t + 2h) − 2ϕ(t + h) + ϕ(t).Аналогично определяется n-я разность ∆n ϕ = ∆(∆n−1 ϕ).Зàäà÷à . Доказать, что ∆n ϕ ≡ 0, если и только если ϕ(t + kh) –– многочлен степени меньше n от k ∈ Z.Например, если выписать подряд значения k2 , строчкой ниже –– их разности, затем разности разностей, то в третьей строке будет всюду стоятьчисло 2; если начать с k3 , то в четвертой строке –– всюду 6, и т. д.:14395216722592187271912643718612561246Разностное уравнение первого порядка –– это уравнение видаϕ(t + h) − ϕ(t)∆ϕ=∆t= v(t, ϕ(t)).
Из такого уравнения, зная= v(t, ϕ), т. е.hодно число ϕ(t0 ), можно найти ϕ(t0 + h), по нему ϕ(t0 + 2h), и т. д.При h → 0 разностное уравнение переходит в дифференциальное.Поэтому неудивительно, что и для дифференциального уравнения§ . Применения к уравнениям выше первого порядкапервого порядка решение определяется значением в начальный момент одного числа.Разностное уравнение второго порядка имеет вид∆ϕ ∆2 ϕ,= F t; ϕ,2(∆t)∆tт.
е.ϕ(t + 2h) − 2ϕ(t + h) + ϕ(t)ϕ(t + h) − ϕ(t) .= F t; ϕ(t),2hhЗная значения ϕ в два разделенных интервалом h момента времени, мы можем найти из этого уравнения значение ϕ еще черезвремя h. Итак, все значения ϕ(t0 + kh) определяются двумя первыми из них.При h → 0 разностное уравнение второго порядка переходит вдифференциальное. Поэтому неудивительно, что и для дифференциального уравнения второго порядка решение определяется заданием в начальный момент двух чисел (n чисел для уравнения n-гопорядка).
Теорема на с. как раз и обосновывает возможностьперехода к пределу при h → 0.Зàäà÷à . Доказать, что уравнению dn x/dt n = 0 удовлетворяют все многочлены степени меньше n и только они.Зàäà÷à . Найти размерность многообразия решений уравнения Гельмгольца∂2 u∂2 u+ 2 + u = 0 в области x 2 + y 2 > 0, зависящих только от расстоя∂x 2∂yния до начала координат.Рåøåíèå. Искомая функция от r должна удовлетворять уравнению второго порядка, следовательно, решения определяются двумя числами.. Теоремы существования и единственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
