Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В следствии  и в дальнейшем x –– точка фазовогопространства любой (конечной) размерности m. Это следствие называется теоремой существования и единственности решений системы m уравнений первого порядка.. Теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости решений от начального условия. Рассмотрим значение решения ϕ дифференциального уравнения ẋ = v(t, x) с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 в момент времени t как функцию Φ от (t0 , x0 ; t) созначениями в фазовом пространстве.Глава . Основные теоремыИз основной теоремы  о выпрямлении вытекаетСëåäñòâèå . Решение уравнения с гладкой правой частью гладко зависит от начальных условий.Это означает, что указанная выше функция Φ определена, непрерывна и гладка в окрестности каждой точки (t0 , x0 ; t0 ) (класса C r ,если v –– класса C r ).Дîêàçàòåëüñòâî. Для простейшего уравнения (v ≡ 0) это очевидно (Φ ≡ x0 ).

Общее уравнение сводится к нему диффеоморфизмом (подробности оставляются читателю).Зàìå÷àíèå. Теорема о дифференцируемости по начальному условию доставляет весьма эффективный метод исследования влияния малого возмущения начального условия на решение. Если прикаком-либо начальном условии решение известно, то для определения отклонения решения с близким начальным условием от данного «невозмущенного» решения получается в первом приближениилинейно однородное уравнение (уравнение в вариациях).

Возникающая таким образом «теория возмущений» –– просто один из вариантов метода рядов Ньютона.Зàäà÷à . Найти производную решения ϕ уравнения ẋ = x 2 + x sin t поначальному значению ϕ(0) = a при a = 0.Рåøåíèå. По следствию  решение разлагается по a по формуле Тейлора, ϕ = ϕ0 + aϕ1 + … (многоточие –– малая порядка выше первого относительно a). Здесь ϕ0 –– невозмущенное решение (с нулевым начальным условием), ϕ1 –– искомая производная. Для нашего уравнения ϕ0 ≡ 0.Подставляя ряд в уравнение и приравнивая в левой и правой части членыс одинаковыми степенями a (на основании единственности ряда Тейлора),получаем для ϕ1 уравнение в вариациях ϕ̇1 = ϕ1 sin t с начальным условиемϕ1 (0) = 1 (почему?).Оòâåò.

e1−cos t .Зàäà÷à . Найти близкий к оси x отрезок фазовой кривой обобщеннойсистемы Лотки––Вольтерра ẋ = x(1 − ya(x, y)), ẏ = y(x − 1), проходящей через точку x = 1, y = ǫ (с погрешностью порядка ǫ 2 ).Рåøåíèå. Уравнение фазовых кривых: dy/dx = y(x − 1)/(x(1 − ya)).Невозмущенное решение: y ≡0. Уравнение в вариациях: dy/dx = y(x −1)/x.Оòâåò. y = ǫe x−1 /x, независимо от вида функции a.Зàäà÷à . Найти производную решения уравнения маятника θ̈ =− sin θс начальным условием θ (0) = a, θ̇ (0) = 0 по a при a = 0.Рåøåíèå. Для применения следствия  уравнение нужно записать в виде системы. Получающаяся система уравнений в вариациях может быть записана в виде одного уравнения второго порядка.

Удобно выписывать не§ . Теоремы о выпрямлениисистемы и их решения, а только эквивалентные им уравнения второго порядка и их решения. Невозмущенное решение: θ = 0. Уравнение в вариациях –– это уравнение малых колебаний маятника, θ̈ = −θ .Оòâåò. cos t.Пðåäîñòåðåæåíèå. Пользуясь приближенными формулами длявозмущенного решения, полученными при помощи уравнения в вариациях, не следует забывать, что они дают хорошее приближениепри фиксированном t и малом отклонении ǫ начального условия отневозмущенного: погрешность при фиксированном t есть O(ǫ 2 ), нонеравномерно по t → ∞ (константа в O растет вместе с t).Например, полученная в задаче  формула дала бы неверноепредставление о виде фазовых кривых обычной модели Лотки––Вольтерра, если бы мы стали применять ее для описания вида этихкривых в целом (как мы знаем из § , эти кривые замкнуты; далекаяот оси x часть кривой отнюдь не описывается ответом задачи ).Точно так же решение полного уравнения маятника с начальным условием (a, 0) близко к решению уравнения малых колебаний(с тем же начальным условием) при фиксированном t: их разностьпорядка O(a3 ) (почему?).

Однако при любом фиксированном a 6= 0погрешность растет с ростом t и при достаточно больших t приближенное решение теряет связь с возмущенным (из-за различия периодов малых и истинных колебаний). Переставлять между собойпредельные переходы t → ∞ и a → 0 нельзя!Зàäà÷à . Найти первый (линейный по a) член разложения в ряд Тейлора решения уравнения мягкого маятника ẍ = −x 3 с начальным условиемx(0) = 0, ẋ(0) = a.Рåøåíèå. Невозмущенное решение: x ≡0. Уравнение в вариациях: ϕ̈1 ==0. Начальное условие: ϕ1 (0) = 0, ϕ̇1 (0) = 1 (почему?).Оòâåò.

x ≈ at.Из теоремы о дифференцируемости следует, что ошибка этой приближенной формулы не превосходит O(a2 ) при каждом фиксированном t. Однако при любом фиксированном a 6= 0 приближение становится совершеннонеудовлетворительным при достаточно больших t. Это видно, например, изтого, что приближенное решение неограниченно растет, а настоящее описывает периодические колебания малой вместе с a амплитуды (величинаpамплитуды порядка a, по соображениям подобия).Для оценки области применимости приближений формулы можно сосчитать следующие приближения: x = at + a2 ϕ2 + a3 ϕ3 + … Подставляя вуравнение, получаем a2 ϕ̈2 + a3 ϕ̈3 + … = −a3 t 3 + … Значит, ϕ2 ≡ 0, ϕ̈3 = −t 3 ,ϕ̇3 = −t 4 /4, ϕ3 = −t 5 /20, x ≈ at − a3 t 5 /20 + … Второй член мал по сравне-Глава .

Основные теоремынию с первым, если a2 t 4 /20 ≪ 1, т. е. t ≪ a−1/2 . Иными словами, значениеприближенного решения должно быть малым по сравнению с амплитудойpистинного колебания, at ≪ a.Зàäà÷à . Доказать, что при указанном условии относительная погрешность приближенного решения действительно мала.Рåøåíèå. Это следует из соображений подобия.

Квазиоднородные растяжения X = es x, T = e−s t переводят уравнение ẍ = −x 3 в себя. Решениес начальным условием (0, a) переходит в решение с начальным условием(0, A = e2s a). Приближенное решение x ≈ at переходит в X ≈ AT. Выберем sтак, чтобы A = 1. При A = 1 решение X ≈ T имеет малую относительнуюпогрешность, пока T ≪ 1. Но растяжения не меняют относительных погрешностей. Значит, и относительная погрешность приближения x ≈ at малапри T ≪ 1.

Но T = e−s t, a = e−2s . Значит, T ≪ 1 при t ≪ a−1/2 . Таким образом,при малых a приближение дает малую относительную погрешность, дажепри очень больших t, лишь бы t было мало по сравнению с большим числомp1/ a.В приложениях теории дифференциальных уравнений всегда приходится иметь дело с большим числом величин, некоторые из которых «оченьмалы», а некоторые «очень велики». Разобраться, что велико по сравнениюс чем (т.

е. в каком порядке делать предельные переходы), не всегда легко;исследование этого вопроса –– порой полдела.. Преобразование за время от t0 до t. Рассмотрим дифференциальное уравнение ẋ = v(t, x) с правой частью, задающей гладкоеполе направлений в области расширенного фазового пространства(любой конечной размерности 1 + m).Оïðåäåëåíèå. Преобразованием за времяот t0 до t называется отображение области фазового пространства в фазовое пространство,сопоставляющее начальному условию в момент t0 значение решения с этим начальнымусловием в момент t (рис.

).Это преобразование обозначается gtt0 .Рис. . ПреобразоваВ обозначениях следствия ние за время от t0 до tgtt0 x0 = Φ(t0 , x0 ; t).Из основной теоремы о выпрямлении вытекаетСëåäñòâèå . Преобразования за время от t0 до t для уравненияс гладкой правой частью) определены в окрестности каждой фазовой точки x0 для t, достаточно близких к t0 ;§ . Теоремы о выпрямлении) являются локальными диффеоморфизмами (класса C r , еслиправая часть класса C r ) и гладко зависят от t и от t0 ;) для s и t, достаточно близких к t0 , имеет место тождествоtgt0 x = gst gts0 x (для всех x из достаточно малой окрестности точки x0 );) при фиксированном ξ функция ϕ(t) = gtt ξ есть решение урав0нения ẋ = v(t, x), удовлетворяющее начальному условию ϕ(t0 ) = ξ.Следствие  с очевидностью вытекает из предыдущих следствий.Можно также воспользоваться выпрямлением, не меняющим времени.

Для выпрямленного уравнения ( ẏ = 0) все преобразованияза время от t0 до t тождественны, поэтому свойства )–– ) выполнены.Рассмотрим, в частности, случай автономного уравнения ẋ == v(x). В этом случае имеет место очевиднаяТåîðåìà. Отображение за время от t0 до t для автономногоуравнения зависит только от интервала времени t − t0 и не зависит от начального момента t0 .Дîêàçàòåëüñòâî. Сдвиг расширенного фазового пространстваавтономного уравнения вдоль оси t переводит в себя поле направлений, а значит, переводит друг в друга интегральные кривые. Присдвиге на s решение ϕ с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 переходитв решение ψ с начальным условием ψ(t0 + s) = x0 .

При любом t, что и утверждаимеем ψ(t + s) = ϕ(t). Следовательно, gtt0 ≡ gtt+s0 +sлось.t +τОбозначим отображение gt00 короче: gτ . Отображения gτ) определены при достаточно малых |τ| в окрестности избранной точки фазового пространства;) являются диффеоморфизмами этой окрестности в фазовоепространство и гладко зависят от τ;) при всех достаточно малых |s| и |t| и при всех x из некоторой окрестности избранной точки выполняется групповое свойствоg s g t x = g s+t x;) при фиксированном ξ функция ϕ(t) = g t ξ есть решение уравнения ẋ = v(x) с начальным условием ϕ(0) = ξ.Семейство {g t } называется локальным фазовым потоком векторного поля v.Зàäà÷à . Предположим, что уравнение ẋ = v(t, x) имеет T -периодические коэффициенты (v(t + T, x) ≡ v(t, x)) и что все отображения за времяот t0 до t для него определены всюду.

Докажите, что преобразования заГлава . Основные теоремывремена, кратные T , образуют группу: g0kT = Ak при любом целом k. Какоеиз двух следующих соотношений верно: g0kT +s = Ak g0s , g0kT +s = g0s Ak ?Оòâåò. Второе.. Теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости от параметра. Предположим, что правая часть данного уравнения ẋ = v(t, x; α) гладко зависит от параметра α, пробегающегонекоторую область A пространства Ra .Из основной теоремы  о выпрямлении вытекаетСëåäñòâèå .

Значение в момент t решения с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 гладко зависит от начального условия, времени и параметра α.Обозначим это значение через Φ(t0 , x0 ; α; t). Следствие утверждает, что функция Φ (со значениями в фазовом пространстве) определена, непрерывна и гладка в окрестности каждой точки (t0 , x0 ; t0 ; α0 )произведения расширенного фазового пространства на ось времении на область изменения параметра (класса C r , если правая частькласса C r ).Дîêàçàòåëüñòâî. Здесь полезна маленькая хитрость.

Характеристики

Список файлов книги