Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В отсутствие сопротивления камень внутри шахты в однородной Земле подчинялся бы закону Гука (сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию до центра Земли), но сам Гук вряд ли мог об этомзнать. Орбита камня в этом случае –– эллипс (в невращающейся с Землейсистеме координат), с центром в центре Земли и малой полуосью около400 км (почему?); орбита проходится за то же время, за которое облетаетЗемлю близкий спутник, т. е. за полтора часа (почему?).Зàäà÷à . Из газет известно, что космонавт Леонов, выйдя в открытыйкосмос, бросил к Земле заглушку от кинокамеры.
Куда она полетела?Рåøåíèå. Это задача о влиянии малого возмущения начального условия на решение. Уравнение движения по закону всемирного тяготения мож-Глава . Основные теоремыно записать в виде r̈ = −γr/r 3 . Движение и космонавта, и заглушки происходит в плоскости круговой орбиты, поэтому можно считать, что r ∈ R2 . Запишем уравнение движения в полярных координатах.
Для этого введем ортыer = r/r и перпендикулярный ему eϕ , направленный вперед вдоль круговойорбиты. Ясно, что ėr = ϕ̇eϕ , ėϕ = −ϕ̇er . Дифференцируя величину r = rer ,мы находим ṙ = ṙer + r ϕ̇eϕ , r̈ = r̈er + 2ṙ ϕ̇eϕ + r ϕ̈eϕ − r ϕ̇ 2 er . Следовательно,уравнение Ньютона в полярных координатах принимает вид системы двухуравнений второго порядкаr̈ − r ϕ̇ 2 = −γr 2 ,r ϕ̈ + 2ṙϕ̇ = 0.r̈1 = 3r1 + 2ϕ̇1 ,ϕ̈1 + 2ṙ1 = 0.Выберем за единицу длины радиус круговой орбиты станции (≈ 6400 км).Единицу времени выберем так, чтобы угловая скорость движения по орбитебыла равна единице. Тогда движение по орбите описывается формуламиr = 1, ϕ = t, и, значит, γ = 1. Начальные условия для станции (и космонавта) r(0) = 1, ṙ(0) = 0, ϕ(0) = 0, ϕ̇(0) = 1.
Начальные условия для заглушки отличаются лишь тем, что ṙ(0) = −v –– скорость броска, т. е. начальнаяскорость заглушки относительно космонавта. Предположим, что скоростьброска, скажем, 10 м/с. Тогда v ≈ 1/800 (так как наша единица скоростиблизка к первой космической скорости, т. е. составляет примерно 8 км/с).Величина 1/800 мала по сравнению с 1, поэтому мы должны исследовать влияние малого изменения начального условия на невозмущенноерешение r = 1, ϕ = t. По теореме о дифференцируемости по начальномуусловию, решение, близкое к невозмущенному, ищем в виде r = 1 + r1 + …,ϕ = t + ϕ1 + …, где точки означают малые порядка v 2 . Подставляя этивыражения в уравнения Ньютона с γ = 1 и отбрасывая малые порядка v 2 ,получаем уравнения в вариацияхРешение уравнений в вариациях с начальными условиями заглушки(r1 (0) = ϕ1 (0) = ϕ̇1 (0) = 0, ṙ1 (0) = −v) легко найти, заметив, что ϕ̇1 + 2r1 ≡ 0и, значит, r̈1 = −r1 .
Это решение имеет вид r1 = −v sin t, ϕ1 = 2v(1 − cos t).По теореме о дифференцируемости, истинное решение уравнений Ньютона отличается от найденного малыми порядка v 2 (при не слишкомбольших t). Следовательно, заглушка описываетотносительно космонавта эллипс (рис. ) с полуосями v и 2v. Наша единица длины –– радиусРис. . Движение заглуш- орбиты, а v ≈ 1/800. Значит, длины полуосей эллипса составляют около 8 и 16 км.ки относительно станцииВначале заглушка движется вниз (к Земле),но затем начинает обгонять космонавта и уходит на 32 км вперед по орбите: наконец, она возвращается сверху, описав примерно стокилометровыйэллипс как раз за время одного оборота станции по орбите.§ .
Применения к уравнениям выше первого порядкаРазумеется, в этом расчете мы пренебрегли величинами порядка v 2 ,и на самом деле движение заглушки относительно космонавта не будетпериодическим (виток не замкнется, причем погрешность будет порядка1/800 от размера эллипса, т. е. заглушка пролетит на расстоянии порядка10 м от станции). Мы пренебрегли также многими эффектами (световымдавлением, отличием направления броска от вертикали, отличием орбитыстанции от круговой и т. д.), дающими бо́льшие погрешности.В. В. Белецкий, из увлекательной книги которого «Очерки о движениикосмических небесных тел» (М.: Наука, ) заимствована задача о заглушке, замечает, что заглушка вряд ли была видна на расстоянии больше километра, а первый километр эллипса очень близок к прямой, поэтому Леоновувидел, как брошенная им заглушка полетела прямо к Земле..
Терминологические замечания. Рассмотренные выше уравнения и системы иногда называют нормальными или разрешеннымиотносительно старших производных. В этом курсе никакие другиеуравнения и системы не рассматриваются, так что термин уравнение или система всегда означает нормальную систему или систему, эквивалентную нормальной (как, например, система уравненийНьютона ()).Функции, входящие в правую часть системы, могут задаватьсяразными способами: явно, неявно, параметрически и т. п.Пðèìåð. Запись ẋ 2 = x есть сокращенное обозначение двух разppных дифференциальных уравнений, ẋ = x и ẋ = − x, фазовымпространством каждого из которых служит полупрямая x ¾ 0. Этиуравнения задаются двумя разными векторными полями, гладкимипри x > 0 (рис.
).Рис. . Интегральные кривые двух уравнений, объединенных записью ẋ 2 = xПри неявном задании правой части следует внимательно относиться к выяснению ее области определения и остерегаться двусмысленных обозначений.Глава . Основные теоремыПðèìåð. Уравнением Клеро называется уравнение x = ẋt − f ( ẋ).Уравнение Клероx = ẋt − ẋ 2 /2()есть краткая запись двух разных дифференциальных уравнений,заданных при x ¶ t 2 /2.
Каждое из них удовлетворяет теореме существования и единственности в области под параболой, x < t 2 /2(рис. ). Через каждую точку этой области проходят две касатель-Рис. . Интегральные кривые двух уравнений, записанныхвместе в виде уравнения Клероные к параболе. Каждая касательная состоит из двух полукасательных. Каждая полукасательная –– интегральная кривая одного из двухуравнений, объединенных формулой ().Зàäà÷à . Исследовать уравнение Клеро x = ẋt − ẋ 3 .Зàìå÷àíèå. При исследовании уравнений, правая часть которых задана неявно, т. е. уравнений вида F(t, x, ẋ) = 0, часто бываетполезно рассматривать заданное этим уравнением поле направлений не на плоскости с координатами (t, x), а на поверхности Eв трехмерном пространстве с координатами (t, x, p), заданной уравнением F(t, x, p) = 0 (рис.
).Это трехмерное пространство называют пространством 1-струй ∗)функций. Его точки –– это всевозможные невертикальные (т. е. непараллельные оси x) направления во всех точках плоскости (t, x).Точка (t, x, p) –– это направление прямой dx = p dt в точке (t, x).1-форма α = dx − p dt задает описанную ниже контактную структуру в многообразии 1-струй. Векторы, приложенные в точке трехмерного пространства струй, на которых эта форма обращается∗)k-струей функции называется ее многочлен Тейлора степени k.§ . Применения к уравнениям выше первого порядкаРис. .
Поверхность E и следы контактных плоскостей на нейв нуль, составляют плоскость. Она называется контактной плоскостью. Контактная плоскость вертикальна (содержит направление оси p). Все контактные плоскости образуют поле контактныхплоскостей в пространстве струй, оно и называется контактнойструктурой.Предположим, что поверхность E, задающая уравнение, гладкая (это условие выполнено для уравнений F = 0 с F общего положения).
Рассмотрим проектирование поверхности E на плоскость с координатами (t, x) параллельно p-направлению. Точкана поверхности называется регулярной, если в ней касательнаяплоскость поверхности не вертикальна (т. е. не содержит прямуюp-направления). В окрестности регулярной точки проектирование –– диффеоморфизм (по теореме о неявной функции), а поверхность –– график гладкой функции p = v(t, x).
Эта функция задаетдифференциальное уравнение ẋ = v(t, x) (в окрестности проекциирассматриваемой регулярной точки). В ту же точку плоскости могутпроектироваться другие точки поверхности, регулярные или нет.Каждой регулярной точке соответствует свое поле направленийна плоскости и свое дифференциальное уравнение; в уравненииF = 0 объединены все эти различные дифференциальные уравнения.Рассмотрим в регулярной точке поверхности E контактную плоскость.
Она пересекает касательную плоскость по прямой. Таким об-Глава . Основные теоремыразом, в окрестности регулярной точки на E возникает гладкое поленаправлений –– поле следов контактных плоскостей. ОчевиднаТåîðåìà. При проектировании поверхности E, заданной уравнением p = v(t, x), на плоскость (t, x) вдоль оси p поле следов контактных плоскостей на E переходит в поле направлений уравненияdx/dt = v(t, x) на плоскости.Сëåäñòâèå.
Указанное проектирование переводит интегральные кривые поля следов на E в интегральные кривые уравнения наплоскости.Касательная плоскость поверхности E в нерегулярных точкахвертикальна. Но она все равно может пересекаться с контактнойплоскостью по прямой (для поверхности E общего положения полное совпадение касательной плоскости с контактной будет лишьв отдельных исключительных точках).В окрестности неисключительной нерегулярной точки на поверхности E следы контактных плоскостей задают гладкое поленаправлений. Таким образом, поле следов контактных плоскостейна поверхности E продолжается в неисключительные нерегулярныеточки.
Продолженное поле называется полем направлений уравнения F = 0 на E, его интегральные кривые называются интегральными кривыми уравнения F = 0 на E.Проекции кусков этих кривых между нерегулярными точками наплоскость (t, x) локально являются интегральными кривыми соответствующих уравнений dx/dt = v(t, x) (в целом это неверно, дажеесли нерегулярных точек нет!).Переход от плоскости к поверхности Eчасто бывает полезен как для исследования, так и для решения уравнения.Зàäà÷à .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
