Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Рассмотрим некоторые свойства этого отображения:) Lv ( f + g) = Lv f + Lv g;) Lv ( fg) = f Lv g + gLv f ;) Lu+v = Lu + Lv ;) L f u = f Lu ;) Lu Lv = Lv Lu( f и g –– гладкие функции, u и v –– гладкие векторные поля).Зàäà÷à . Докажите свойства  ––, кроме того из них, которое неверно.Тåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Алгебраисты называют отображение (коммутативного) кольца в себя дифференцированием, если оно обладает свойствами  и  отображения L v . Все дифференцирования кольца образуют модуль над этим кольцом (модуль надкольцом –– обобщение линейного пространства над R: элементымодуля можно складывать между собой и умножать на элементыкольца).Векторные поля в U образуют модуль над R-алгеброй F функцийв U. Свойства  и  означают, что операция L, переводящая поле vв дифференцирование Lv , –– гомоморфизм F-модуля полей в F-модуль всех дифференцирований алгебры F.

Свойство , если оно имеет место, означает, что дифференцирования Lu и Lv коммутируют.Зàäà÷à *. Является ли гомоморфизм L изоморфизмом?Аналитики называют отображение Lv линейным однородным дифференциальным оператором первого порядка. Это название объясняется тем, что, согласно  и , оператор Lv : F → F R-линеен. В координатах этот оператор записывается так: Lv = v1 ∂/∂x1 + … + vn ∂/∂xn .Выше мы и само векторное поле v обозначили таким же символом(с.

): поле часто отождествляют с оператором дифференцирования вдоль него.Аналогичный Lv оператор производной Ли вдоль векторного поля v можно определить не только для функций, но для произвольныхдифференциально-геометрических объектов, переносимых диффеоморфизмами (векторных полей, форм, тензоров), –– производнаякаждого объекта будет объектом той же природы. Французы называют оператор Lv производной рыбака: рыбак сидит на месте и дифференцирует объекты, проносимые мимо него фазовым потоком.Глава . Основные теоремы. Алгебра Ли векторных полей.

Свойство  для векторныхполей u и v выполнено не всегда. Например, для полей u = ∂/∂xи v = x ∂/∂x на оси x имеемLu Lv = ∂/∂x + x ∂2 /∂x 2,Lv Lu = x ∂2 /∂x 2 .Зàäà÷à . Докажите, что дифференциальный оператор La Lb − Lb La –– невторого порядка, как это кажется на первый взгляд, а первого: La Lb − Lb La == Lc , где c –– некоторое векторное поле, зависящее от полей a и b.Оïðåäåëåíèå. Поле c называется коммутатором или скобкой Пуассонаполей a и b и обозначается [a, b].Зàäà÷à . Докажите три свойства коммутатора:) [a, b + λc] = [a, b] + λ[a, c], λ ∈ R (линейность);) [a, b] + [b, a] = 0 (кососимметричность);) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0 (тождество Якоби).Оïðåäåëåíèå. Линейное пространство с бинарной операцией, обладающей свойствами ,  и , называется алгеброй Ли.Итак, векторные поля с операцией коммутирования образуют алгебруЛи.

Эта операция столь же фундаментальна для всей математики, как сложение и умножение.Зàäà÷à . Докажите, что трехмерное ориентированное евклидово пространство становится алгеброй Ли, если определить операцию как векторное произведение.Зàäà÷à . Докажите, что пространство квадратных матриц порядка nстановится алгеброй Ли, если определить операцию как AB − BA.Зàäà÷à . Образуют ли алгебру Ли симметричные матрицы с такой жеоперацией? Кососимметрические?Зàäà÷à . Зная компоненты полей a и b в некоторой системе координат, найти компонентыP их коммутатора.Оòâåò. [a, b]i = a j ∂bi /∂x j − b j ∂ai /∂x j = La bi − Lb ai .Зàäà÷à . Пусть {gt } –– фазовый поток поля a, {hs } –– поля b. Докажите,что потоки коммутируют (gt hs ≡ hs gt ) тогда и только тогда, когда коммутатор полей равен нулю.Зàäà÷à .

Пусть aω –– поле скоростей точек тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг точки 0 в R3 . Найти коммутатор полей aα , aβ .Оòâåò. [aα , aβ ] = aγ , где γ –– векторное произведение α и β.. Первые интегралы. Пусть v –– векторное поле в области U,f : U → R –– дифференцируемая функция.Оïðåäåëåíèå. Функция f называется первым интегралом уравнения ẋ = v(x), если ее производная по направлению поля v равнанулю: Lv f ≡ 0.§ . Производная по направлению векторного поляСтранное наименование первый интеграл осталось от тех времен, когда пытались решить все дифференциальные уравнения путем интегрирования.

В те времена интегралом (или частным интегралом) называли также то, что мы теперь называем решением.Следующие два свойства первого интеграла очевидно эквивалентны соотношению Lv f ≡ 0 и могли бы быть приняты за его определение.. Функция f постоянна вдоль каждого решения ϕ : I → U, т. е.каждая функция f ◦ ϕ постоянна.. Каждая фазовая кривая поля v принадлежит одному и толькоодному множеству уровня функции f (рис.

).Рис. . Фазовая кривая целиком лежитна одной поверхности уровня интегралаРис. . Система безпервых интеграловПðèìåð. Рассмотрим систему, фазовым пространством которойявляется вся плоскость, ẋ1 = x1 , ẋ2 = x2 . Фазовые кривые (лучи) изображены на рис. . Покажем, что эта система не имеет ни одногопервого интеграла, отличного от постоянной. Действительно, первый интеграл –– непрерывная на всей плоскости функция, постоянная на каждом луче, выходящем из начала координат, следовательно –– постоянная.Зàäà÷à .

Докажите, что в окрестности предельного цикла всякий первый интеграл постоянен.Зàäà÷à . При каких k система уравнений ẋ1 = x1 , ẋ2 = kx2 на всей плоскости имеет непостоянный первый интеграл?Оòâåò. При k ¶ 0 (см. рис.  на с. ).Зàäà÷à . Докажите, что множество всех первых интегралов данногополя образует алгебру: сумма и произведение первых интегралов –– первыйинтеграл.Непостоянные первые интегралы встречаются редко.

Зато в техслучаях, когда они есть и когда их удается найти, награда бываетвесьма значительной.Глава . Основные теоремыПðèìåð. Пусть H –– дифференцируемая (r ¾ 2 раз) функция 2nпеременных (p1 , …, qn ). Система 2n уравнений ṗi = −∂H/∂qi , q̇i == ∂H/∂pi называется системой канонических уравнений Гамильтона.

(Гамильтон показал, что дифференциальные уравнения большого числа задач механики, оптики, вариационного исчисления и других областей естествознания можно записать в таком виде.) Функция H называется функцией Гамильтона (в механике это обычнополная энергия системы).Тåîðåìà (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè). Функция Гамильтонаявляется первым интегралом системы канонических уравнений Гамильтона.Дîêàçàòåëüñòâî.Lv H =n €P∂Hi=1∂piṗi +n ”P∂H € ∂H Š ∂H ∂H —∂H Šq̇i =−+= 0,∂qi∂pi∂qi∂qi ∂pii=1что и требовалось..

Локальные первые интегралы. Отсутствие непостоянныхпервых интегралов связано с топологическим устройством фазовыхкривых. В общем случае фазовые кривые не укладываются в целомна поверхности уровня никакой функции, поэтому непостоянногопервого интеграла и нет. Однако локально, в окрестности неособойточки, фазовые кривые устроены просто и непостоянные первыеинтегралы существуют.Пусть U –– область в n-мерном пространстве, v –– дифференцируемое векторное поле в U, x0 –– неособая точка поля (v(x0 ) 6= 0).Тåîðåìà. Существует такая окрестность V точки x0 , что уравнение ẋ = v(x) в V имеет n − 1 функционально независимый первыйинтеграл, f1 , …, fn−1 , причем любой первый интеграл уравнения в Vесть функция от f1 , …, fn−1 .(Набор m функций функционально независим в окрестности точки x0 , если ранг производной в точке x0 отображения f : U → Rm ,заданного этими функциями, равен m (см., например, Г.

М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. –– М.:Наука, . –– Т. , гл. ).)Дîêàçàòåëüñòâî. Для стандартного уравнения ẏ1 = 1, ẏ2 = …… = ẏn = 0 в Rn это очевидно: первые интегралы –– любые гладкиефункции от y2 , …, yn . То же верно для этого уравнения в любой выпуклой области (область называется выпуклой, если вместе с любыми точками она содержит соединяющий их отрезок). В выпуклой об-§ . Производная по направлению векторного поляласти любой интеграл стандартного уравнения сводится к функцииот y2 , …, yn . Всякое уравнение в подходящей окрестности неособойточки записывается в подходящих координатах y в стандартномвиде.

Окрестность эту можно считать выпуклой в координатах y(если это не так, заменим меньшей выпуклой).Остается заметить, что как свойство функции быть первым интегралом, так и функциональная независимость, от системы координат не зависят.Зàäà÷à . Приведите пример области, в которой стандартное уравнение имеет первый интеграл, не сводящийся к функции от y2 , …, yn .. Первые интегралы, зависящие от времени. Пусть f –– дифференцируемая функция на расширенном фазовом пространстве уравнения ẋ = v(t, x), вообще говоря, неавтономного.Составим автономную систему, фазовые кривые которой будутинтегральными кривыми исходного уравнения.

Для этого расширим уравнение, добавив к данному уравнению тривиальное уравнение ṫ = 1:Ẋ = V(X), X = (t, x), V(t, x) = (1, v).Оïðåäåëåíèå. Функция f называется зависящим от временипервым интегралом уравнения ẋ = v(t, x), если она является первыминтегралом расширенного автономного уравнения (рис. ).Иными словами: каждая интегральная кривая исходного уравнениялежит в одном множестве уровняфункции.Векторное поле V в нуль не обращается. По теореме п.  в окрестности Рис. . Интегральные кривые накаждой точки расширенного фазово- поверхности уровня первого инго пространства уравнение ẋ = v(t, x) теграла, зависящего от времениимеет столько функционально независимых первых интегралов (зависящих от времени), какова размерность фазового пространства (число компонент вектора x); причем каждый (зависящий от времени) первый интеграл выражаетсячерез эти специальные в указанной окрестности.В частности, автономное уравнение с n-мерным фазовым пространством имеет в окрестности любой (не обязательно неособой)точки n зависящих от времени функционально независимых пер-Глава .

Основные теоремывых интегралов. Первым интегралом дифференциального уравнения (или системы) любого порядка называется первый интегралэквивалентной системы первого порядка.Зàäà÷à . Докажите, что система уравнений Ньютона r̈ = −r/r 3 имеетпервый интеграл, который в полярных координатах записывается в видеr 2 ϕ̇ (r ∈ R2 ).Этот интеграл, называемый секториальной скоростью, открыл Кеплериз наблюдений за движением Марса («второй закон Кеплера»).Зàäà÷à .

Докажите, что секториальная скорость является первым интегралом уравнения r̈ = ra(r) при любом виде функции a.Силовое поле вида ra(r) называется центральным. Предыдущая задачапоказывает, почему из второго закона Кеплера нельзя извлечь закона всемирного тяготения: нужен третий.Зàäà÷à . Докажите, что при движении в любом центральном полев трехмерном пространстве каждая из компонент векторного произведения [r, ṙ] является первым интегралом («закон сохранения момента количества движения»).Зàäà÷à . Докажите, что если функция Гамильтона не зависит от qi , тоpi –– первый интеграл уравнений Гамильтона.Зàäà÷à .

Характеристики

Список файлов книги