Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В этом случае линии уровня энергии –– гомотетичныегиперболы с центром в 0 и пара ихpасимптот: x2 = ± −k x1 . Эти асимптоты называются также сепаратрисами, так как они отделяют друг от друга гиперболы разныхтипов.Зàìå÷àíèå . В окрестности невырожденной критической точки приращение функции является квадратичной формой, если только надлежащим образом выбрать координату.Точка 0 является критической точкой дифференцируемой функции f , если f ′ (0)=0. Критическая точка 0 невырождена, если f ′′ (0)6=6= 0. Предположим, что f (0) = 0.Лåììà Мîðñà ∗).
В окрестности невырожденной критическойточки 0 можно выбрать координату y так, что f =Cy 2 , C =sgn f ′′ (0).pТакой координатой будет, конечно, y = sgn x | f (x)|. Утверждение состоит в том, что соответствие x 7→ y в окрестности точки 0диффеоморфно.Для доказательства удобно воспользоваться следующим предложением:Лåììà Аäàìàðà ∗).
Пусть f –– дифференцируемая (класса C r )функция, равная в точке x = 0 нулю. Тогда f (x) = xg(x), где g –– дифференцируемая (класса C r−1 в окрестности точки x = 0) функция.∗)Обе леммы можно распространить на функции многих переменных.Глава . Основные теоремыДîêàçàòåëüñòâî. Имеемf (x) =R1 df (tx)0функция g(x) =R1dtdt =R1f ′ (tx)x dt = x0R1f ′ (tx) dt;0f ′ (tx) dt класса C r−1 , и лемма доказана.0Применим лемму Адамара к функции f леммы Морса дважды.pНаходим f = x 2 ϕ(x), где 2ϕ(0) = f ′′ (0) 6= 0. Итак, y = x |ϕ(x)|.
Лемpма Морса доказана, так как функция |ϕ(x)| в окрестности точкиx = 0 дифференцируема (r − 2 раза, если f класса C r ).Таким образом, линии уровня энергии в окрестности невырожденной критической точки превращаются либо в эллипсы, либов гиперболы при диффеоморфном изменениисистемы координат (x1 , x2 ).Зàäà÷à .
Найти касательные к сепаратрисамотталкивающей особой точки (U ′′ (ξ) < 0).pОòâåò. x2 = ± |U ′′ (ξ)|(x1 − ξ) (рис. ).. Продолжение решений уравненияНьютона. Пусть потенциальная энергия определена на всей оси x. Из закона сохраненияэнергии непосредственно вытекаетТåîðåìà. Если потенциальная энергия Uвсюду положительна ∗), то каждое решение уравненияРис. . Касательные ксепаратрисам отталкивающей особой точкиẍ = −dUdx(1 )продолжается неограниченно.Пðèìåð .
Пусть U = −x 4 /2. Решение x = 1/(t − 1) нельзя продолжитьдо t = 1.Установим сначала следующее утверждение, называемое априорной оценкой:Лåììà. Если решение существуетпри |t| < τ, тоp оно удовлетвоpряет неравенствам |ẋ(t)| ¶ 2E0 , |x(t) − x(0)| < 2E0 |t|, где E0 ==ẋ(0)2+ U(x(0)) –– начальное значение энергии.2∗)Разумеется, изменение потенциальной энергии U на константу не меняет уравнения (1 ).
Существенно лишь, что U ограничена снизу.§ . Консервативная система с одной степенью свободыДîêàçàòåëüñòâî. Согласно закону сохранения энергииẋ 2 (t)+ U(x(t)) = E0 ,2и поскольку U > 0, первое неравенство доказано. Второе неравенRtство вытекает из первого, так как x(t) − x(0) = ẋ(θ ) dθ . Леммадоказана.Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Пусть T ––произвольное положительное число.Рассмотрим прямоугольник Π (рис.
)на фазовой плоскостиpp|x1 − x1 (0)| ¶ 2 2E0 T , |x2 | ¶ 2 2E0 .0Рис. . Прямоугольник, от-Рассмотрим в расширенном фазовом про- куда фазовая точка не выйстранстве (x1 , x2 , t) параллелепипед |t| ¶ T, дет за время T(x1 , x2 ) ∈ Π. По теореме о продолжении решение можно продолжить до границы параллелепипеда. Из леммыследует, что решение может выйти лишь на те грани параллелепипеда, где |t| = T. Итак, решение можно продолжать до любого t = ±T и,следовательно, неограниченно.Зàäà÷à . Доказать неограниченную продолжаемость решений системы уравнений Ньютона mi m̈i = −∂U, i = 1, …, N, mi > 0, x ∈ R N , в случае∂xiположительной потенциальной энергии (U > 0)..
Некритические линии уровняэнергии. Предположим, что потенциальная энергия U определена на всейоси x. Пусть E –– некритическое значение энергии, т. е. E не равно значениюфункции U ни в одной из ее критических точек.Рассмотрим множество точек, где Рис. . Множество точек x, гдезначение U меньше E, {x : U(x) < E}. U(x) < EЭто множество (рис. ) состоит из конечного или счетного числа интервалов, так как функция U непрерывна (два из этих интервалов могут простираться в бесконечность). На концах интервалов U(x) = E, следовательно, U ′ (x) 6= 0(так как E –– некритическое значение).Глава . Основные теоремыКаждая точка множества {x : U(x) ¶ E} является по этой причинеконцом ровно одного интервала меньших значений. Поэтому всемножество {x : U(x) ¶ E} есть объединение не более чем счетногочисла попарно непересекающихся отрезков и, быть может, одногоили двух уходящих в бесконечность лучей, или же совпадает со всейосью x.Рассмотрим (рис.
) один из таких отрезков, a ¶ x ¶ b,U(a) = U(b) = E,U(x) < Eприa < x < b.x2Тåîðåìà. Уравнение 2 + U(x1 ) = E, a ¶ x1 ¶ b, задает на плос2кости (x1 , x2 ) гладкую кривую, диффеоморфную окружности. Этакривая является фазовой кривой системы ().Рис. . Фазовая кривая, диффеоморфная окружностиРис. . Фазовая кривая,диффеоморфная прямойАналогичным образом, луч a¶ x <∞ (или −∞< x ¶b), где U(x)¶ E,является проекцией фазовой кривой, диффеоморфной прямой линии,на ось x1 (рис. ). Наконец, в случае если U(x) < E на всей прямой,множество уровня E состоит из двух фазовых кривыхpx2 = ± 2(E − U(x1 )).Итак, множество некритического уровня энергии состоит из конечного или счетного числа гладких фазовых кривых..
Доказательство теоремы п. . Закон сохранения энергии позволяет явно решить уравнение Ньютона. Действительно, при фикси-§ . Консервативная система с одной степенью свободырованном значении полной энергии E величина (но не знак) скорости ẋ определяется положением x:p()x = ± 2(E − U(x)),а это –– уравнение с одномерным фазовым пространством, котороемы уже умеем решать.Пусть (x1 , x2 ) –– точка нашего множества уровня, причем x2 > 0(рис.
). Решение ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(t0 )=x1,ϕ̇(t0 ) = x2 ищем из соотношения ():t − t0 =для t, близких к t0 .ϕ(t)RРис. . Половину фазовой кривой(от a до b) фазовая точка проходитза конечное время T/2 = t2 − t1x1dξp2(E − U(ξ))()Рис.
. Продолжение решения уравнения Ньютона с помощью отраженийbЗаметим теперь, что интегралdξT Rсходится, так= p22(E − U(ξ))aкак U ′ (a) 6= 0, U ′ (b) 6= 0. Отсюда следует, что формула () задаетнепрерывную на некотором отрезке t1 ¶ t ¶ t2 функцию ϕ, причемϕ(t1 ) = a, ϕ(t2 ) = b. Эта функция везде удовлетворяет уравнениюНьютона (рис. ).Интервал (t1 , t2 ) имеет длину T/2. Продолжим ϕ на следующийинтервал длины T/2 из соображений симметрии: ϕ(t2 +τ)=ϕ(t2 −τ),0 ¶ τ ¶ T/2, и далее периодически: ϕ(t + T) = ϕ(t). Функция ϕ, построенная теперь на всей прямой, всюду удовлетворяет уравнениюНьютона.
Кроме того, ϕ(t0 ) = x1 , ϕ̇(t0 ) = x2 .Итак, мы построили решение системы () с начальным условием(x1 , x2 ). Оно оказалось периодическим, с периодом T. Соответствующая замкнутая фазовая кривая есть в точности часть множествауровня E над отрезком a ¶ x ¶ b.
Эта кривая диффеоморфна окружности, как всякая замкнутая фазовая кривая (см. § ).Глава . Основные теоремыСлучай, когда интервал простирается до бесконечности (в однусторону или в обе), проще рассмотренного и предоставляется читателю.. Критические линии уровня.
Критические линии уровня могут быть устроены более сложно. Заметим, что такая линия содержит неподвижные точки (x1 , x2 ) (где U ′ (x1 ) = 0, x2 = 0), каждая изкоторых уже является фазовой кривой. Если на отрезке a ¶ x ¶ bвсюду U(x) < E, кроме U(a) = U(b) = E, и оба конца –– критическиеpточки (U ′ (a) = U ′(b) = 0), то две открытые дуги x2 = ± 2(E − U(x1 )),a < x1 < b, являются фазовыми кривыми (рис. ). Время, затрачиваемое фазовой точкой на прохождение такой дуги, бесконечно(теорема продолжения из п. + единственность).Если U ′ (a) = 0, U ′ (b) 6= 0 (рис.
), то уравнениеx22+ U(x1 ) = E,2a < x1 ¶ b,определяет незамкнутую фазовую кривую. Наконец, если U ′ (a) 6= 0,U ′ (b) 6= 0 (рис. ), то часть множества критического уровня надотрезком a ¶ x ¶ b –– замкнутая фазовая кривая, как в случае некритического уровня E.Рис. . Разбиение критической линии уровня энергии на фазовые кривые. Пример.
Применим все сказанное к уравнению маятникаẍ = − sin x.Потенциальная энергия равна U(x) = − cos x (рис. ). Критические точки:x1 = kπ, k = 0, ±1, …Замкнутые фазовые кривые вблизи x1 = 0, x2 = 0 похожи на эллипсы.Этим фазовым кривым соответствуют малые качания маятника. Их период T мало зависит от амплитуды, пока она мала. При бо́льших значенияхпостоянной энергии получаются бо́льшие замкнутые кривые, пока энергияне достигнет критического значения, равного потенциальной энергии ма-§ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
