Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Линейные задачисамого пространства Rn (соответствие v ↔ ϕ̇ взаимно однозначное).Это отождествление зависит от структуры линейного пространства Rn и не сохраняется при диффеоморфизмах. Однако в линейных задачах, которыми мы будем теперь заниматься (например,в задаче об однопараметрических группах линейных преобразований), структура линейного пространства в Rn раз навсегда фиксирована.

Поэтому мы теперь впредь до возвращения к нелинейнымзадачам отождествляем Tx Rn ≡ Rn .Пусть {g t , t ∈ R} –– однопараметрическая группа линейных преобразований. Рассмотрим движение ϕ : R → Rn точки x0 ∈ Rn .Зàäà÷à . Докажите, что ϕ(t) –– решение уравненияẋ = Ax()с начальным условием ϕ(0) = x0 , где A : Rn → Rn –– линейный оператор(≡ R-эндоморфизм), заданный соотношениемdAx = (gt x) ∀x ∈ Rn .dtt=0Уêàçàíèå.

См. § , п. .Уравнение () называется линейным. Таким образом, для описания всех однопараметрических групп линейных преобразований достаточно исследовать решения линейных уравнений ().Мы увидим далее, что соответствие между однопараметрическими группами {g t } линейных преобразований и линейными уравнениями () взаимно однозначно: каждый оператор A : Rn → Rn задаетоднопараметрическую группу {g t }.Пðèìåð . Пусть n = 1, A –– умножение на число k. Тогда gt –– растяжение в ekt раз.Зàäà÷à . Найти поле скоростей точек твердого тела, вращающегосявокруг оси, проходящей через точку 0, с угловой скоростью ω.Оòâåò. v(x) = [ω, x]..

Линейное уравнение. Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор в вещественном n-мерном пространстве Rn .Оïðåäåëåíèå. Линейным уравнением называется уравнение сфазовым пространством Rn , заданное векторным полем v(x) = Ax:ẋ = Ax.()Полный титул уравнения (): система n линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.Глава . Линейные системыЕсли в Rn фиксирована система (линейных) координат xi , i=1, ……, n, то уравнение () записывается в виде системы n уравнений:nPaij x j , i = 1, …, n, где (aij ) –– матрица оператора A в рассматẋi =j=1риваемой системе координат.

Матрица эта называется матрицейсистемы.Решение уравнения () с начальным условием ϕ(0) = x0 даетсяв случае n = 1 экспонентой ϕ(t) = e At x0 .Оказывается, и в общем случае решение дается той же формулой: нужно только объяснить, что называется экспонентой линейного оператора. Этой задачей мы теперь и займемся.§ .

Показательная функцияФункцию e A , A ∈ R, можно определить любым из двух эквивалентных способов:A3A2++ …,2!3!Š€A ne A = lim E +nn→∞eA = E + A +()()(где E означает единицу).Пусть теперь A : Rn → Rn –– линейный оператор. Чтобы определить e A , прежде всего определим понятие предела последовательности линейных операторов..

Норма оператора. Зафиксируемpв Rn скалярное произведениеи будем обозначать через kxk = |x| = (x, x) (x ∈ Rn ) корень из скалярного квадрата x.Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор.Оïðåäåëåíèå. Нормой A называется числоkAk = supx6=0|Ax|.|x|Геометрически kAk означает наибольший «коэффициент растяжения» преобразования A.Зàäà÷à .

Докажите, что 0 ¶ kAk < ∞.Уêàçàíèå. kAk = sup |Ax|, сфера компактна, а функция |Ax| непрерывна.|x|=1Зàäà÷à . Докажите, что kλ Ak = |λ| kAk, kA + Bk ¶ kAk + kBk, kABk ¶¶ kAk kBk, где A и B : Rn → Rn –– линейные операторы, λ ∈ R –– число.§ . Показательная функцияЗàäà÷à .

Пусть (aij ) –– матрица оператора A в ортонормированном базисе. Покажите, чтоPPmax a2ij ¶ kAk2 ¶ a2ij .jii, jУêàçàíèå. См. Г. Е. Шилов. Введение в теорию линейных пространств. ––М.: ГИТТЛ, . –– § .. Метрическое пространство операторов. Множество L всехлинейных операторов A : Rn → Rn само является линейным пространством над полем R (по определению, (A + λB)x = Ax + λBx).Зàäà÷à . Найти размерность этого линейного пространства L.Оòâåò. n2 .Уêàçàíèå. Оператор задается своей матрицей.Определим расстояние между двумя операторами как норму ихразности ρ(A, B) = kA − Bk.Тåîðåìà. Пространство линейных операторов L с метрикой ρявляется полным метрическим пространством ∗).Проверим, что ρ –– метрика.По определению ρ > 0, если A 6= B, ρ(A, A) = 0, ρ(B, A) = ρ(A, B).Неравенство треугольника ρ(A, B) + ρ(B, C) ¾ ρ(A, C) вытекает изнеравенства kX + Y k ¶ kX k + kY k задачи  п.

 ( X = A − B, Y = B − C).Итак, метрика ρ превращает L в метрическое пространство. Его полнота тоже очевидна.. Доказательство полноты. Пусть {Ai } –– последовательность Коши,т. е. для всякого ǫ > 0 найдется такое N(ǫ), что ρ(Am , Ak ) < ǫ при m, k > N.Пусть x ∈ Rn . Составим последовательность точек xi ∈ Rn , xi = Ai x. Покажем,что {xi } –– последовательность Коши в пространстве Rn , снабженном евклидовой метрикой ρ(x, y) = |x − y|.

Действительно, по определению нормыоператора при m, k > N|xm − xk | ¶ ρ(Am , Ak )|x| ¶ ǫ|x|.∗)Метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Mи функции ρ : M × M → R, называемой метрикой, если) ρ(x, y) ¾ 0, (ρ(x, y) = 0) ⇔ (x = y);) ρ(x, y) = ρ( y, x) ∀x, y ∈ M;) ρ(x, y) ¶ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀x, y, z ∈ M.Последовательность xi точек метрического пространства M называется последовательностью Коши, если ∀ǫ > 0 ∃N: ρ(xi , x j ) < ǫ ∀i, j > N. Последовательность xiсходится к точке x, если ∀ǫ > 0 ∃N: ρ(x, xi ) < ǫ ∀i > N. Пространство называетсяполным, если всякая последовательность Коши сходится.Глава .

Линейные системыПоскольку |x| –– фиксированное (не зависящее от m, k) число, отсюдаследует, что {xi } –– последовательность Коши. Пространство Rn полно. Поэтому существует пределy = lim xi ∈ Rn .i→∞Заметим, что |xk − y| ¶ ǫ|x| при k > N(ǫ), причем N(ǫ) то же, что и выше, независящее от x число.Точка y зависит от точки x линейно (предел суммы равен сумме пределов). Мы получаем линейный оператор A : Rn → Rn , Ax = y, A ∈ L. Мы видим,что при k > N(ǫ)|x − y|¶ ǫ.ρ(Ak , A) = kAk − Ak = sup kx6=0Значит, A = lim Ak и пространство L полно.|x|k→∞Зàäà÷à . Докажите, что последовательность операторов Ai сходитсятогда и только тогда, когда сходится последовательность их матриц в фиксированном базисе. Выведите отсюда другое доказательство полноты..

Ряды. Пусть дано вещественное линейное пространство M,превращенное в метрическое полное пространство такой метрикой ρ, что расстояние между двумя точками M зависит лишь отих разности, причем ρ(λx, 0) = |λ|ρ(x, 0) (x ∈ M, λ ∈ R). Такое пространство называется нормированным, а функция ρ(x, 0) называется нормой x и обозначается kxk.Пðèìåð . Евклидово пространство M = Rn с метрикойpρ(x, y) = kx − yk = |x − y| = (x − y, x − y).Пðèìåð . Пространство L линейных операторов Rn → Rn с метрикойρ(A, B) = kA − Bk.Мы будем обозначать расстояние между элементами A и B из Mчерез kA − Bk.Поскольку элементы M можно складывать и умножать на числаи последовательности Коши в M имеют пределы, теория рядов видаA1 + A2 + …, Ai ∈ M, буквально повторяет теорию числовых рядов.Теория функциональных рядов также непосредственно переносится на функции со значениями в M.Зàäà÷à .

Докажите следующие две теоремы:∞Pfi функций fi : X → M маПðèçíàê Вåéåðøòðàññà. Если рядi=1жорируется сходящимся числовым рядом:∞Pai < ∞, ai ∈ R,k fi k ¶ ai ,i=1то он сходится абсолютно и равномерно на X .§ . Показательная функцияДèôôåðåíöèðîâàíèå ðÿäà. Если ряд∞Pi=1dffi функций fi : R → Mсходится и ряд из производных i сходится равномерно, то он схоdt∞d Pfi (t –– координата на прямой R).дится к производнойdti=1Уêàçàíèå.

Доказательство для случая M = R имеется в курсе анализа.На общий случай оно переносится дословно.. Определение экспоненты e A . Пусть A : Rn → Rn –– линейныйоператор.Оïðåäåëåíèå. Экспонентой e A оператора A называется линей∞PA2Akный оператор из Rn в Rn e A = E + A ++…=(где E –– тожде2!k=0k!ственный оператор, E x = x).Тåîðåìà. Ряд e A сходится при любом A равномерно на каждоммножестве X = {A : kAk ¶ a}, a ∈ R.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть kAk ¶ a. Тогда наш ряд мажорируетсячисловым рядом 1 + a +a2+ …, сходящимся к ea .

По признаку Вей2!ерштрасса ряд e A равномерно сходится при kAk ¶ a.Зàäà÷à . Вычислить матрицу e At , если матрица A имеет вид1)Оòâåò. )‹1 0,0 2et02)‹0 1,0 03)0 1 0.0014)0 0 01 t t 2 /2‹sin tt ., ) 0 1cos t0 01‹0 1,−1 0‹‹1 tcos t0, )2t , )0 1− sin te. Пример. Рассмотрим множество многочленов степени меньше n от одного переменного x с вещественными коэффициентами.Это множество имеет естественную структуру вещественного линейного пространства: многочлены можно складывать и умножатьна числа.Зàäà÷à . Найти размерность пространства многочленов степени меньше n.Оòâåò.

Характеристики

Список файлов книги