Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Линейные и квазилинейные уравненияОòâåò. См. рис. .Зàìå÷àíèå. При t ¾ π/2 гладкого решения не существует. Начиная с этого момента частицы сталкиваются, и предположение об отсутствии взаимодействия между ними становится физически нереалистическим. В этих условиях движение среды Рис.

. График решения получаописывают так называемые ударные вол- ется из графика начального услоны –– разрывные решения, удовлетворяю- вия действием фазового потокащие уравнению левее и правее разрываи удовлетворяющие на разрыве дополнительным условиям физическогопроисхождения (зависящим от характера взаимодействия при столкновении частиц).Зàäà÷à . Составить уравнение эволюции поля скоростей среды изневзаимодействующих частиц в силовом поле с силой F(x) в точке x.Оòâåò. ut + uu x = F.Зàäà÷à . Решить это уравнение с начальным условием u|t=0 = 0 длясилы F(x) = −x.Рåøåíèå.

Фазовый поток состоит из поворотов, поэтому график u(t, ·) ––прямая с углом наклона −t.Оòâåò. u(t, x) = −x tg t, |t| < π/2.Зàäà÷à . Найти максимальную ширину полосы 0 ¶ t < C, в которой существует решение уравнения ut + uu x = sin x с начальным условием u|t=0 = 0.Оòâåò. C = π/2.. Характеристики квазилинейного уравнения. Разобранныйпример показывает, как полезно перейти от уравнения с частнымипроизводными для поля скоростей кобыкновенным уравнениям движениячастиц среды. Нечто аналогичное можно сделать и в случае общего квазилинейного уравнения первого порядка.Уравнение La(x, u(x)) u = b(x, u(x))означает, что если точка x выходит изx0 со скоростью a0 = a(x0 , u0 ), где u0 == u(x0 ), то значение u(x) начинает Рис.

. Геометрический смыслменяться со скоростью b0 = b(x0 , u0 ) квазилинейного уравнения(рис. ). Иными словами, приложенный в точке (x0 , u0 ) вектор A0 прямого произведения x-пространства и оси u, с компонентами a0 и b0 , касается графика решения.Пусть A0 6= 0.Глава . Основные теоремыОïðåäåëåíèå. Прямая направления вектора A0 называется характеристическим направлением квазилинейного уравнения в точке (x0 , u0 ).Характеристические направления во всех точках области определения коэффициентов уравнения образуют поле направлений. Этополе называется характеристическим полем направлений уравнения. В координатной записи характеристические направления –– этонаправления векторов поляP∂∂A = ak (x, u)+ b(x, u) .∂xk∂uДифференциальное уравнение, заданное полем характеристических направлений, называется уравнением характеристик, а его интегральные кривые –– характеристиками.

Таким образом, характеристики являются фазовыми кривыми векторного поля A.Зàäà÷à . Найти характеристики уравнения среды из невзаимодействующих частиц, ut + uu x = 0.Рåøåíèå. ẋ = u, ṫ = 1, u̇ = 0. Характеристики –– прямые x = x0 + u0 t,u = u0 .Зàìå÷àíèå . Линейное уравнение –– частный случай квазилинейного, но характеристики линейного уравнения, рассматриваемого как квазилинейное, отличаются от его характеристик каклинейного уравнения: первые лежат в (x, u)-пространстве, а вторые –– их проекции в x-пространство.Зàìå÷àíèå .

Квазилинейные уравнения сохраняют квазилинейный вид при диффеоморфизмах x-пространства и даже при диффеоморфизмах пространства-произведения, где определены его коэффициенты a и b. Характеристики инвариантно связаны с уравнением: если такой диффеоморфизм переводит старое уравнениев новое, то характеристики старого переходят в характеристики нового. Более того, уравнение можно умножить на не обращающуюсяв нуль функцию от x и u –– при этом ни решения, ни характеристикине меняются (хотя векторное поле A меняется).Зàäà÷à . Докажите, что квазилинейное уравнение приводится подходящим локальным диффеоморфизмом пространства-произведения к стандартному виду ∂u/∂x1 = 0 в окрестности любой точки (x, u), в которой значение a ненулевое..

Интегрирование квазилинейногоуравнения. УравнениеPхарактеристик для уравненияak ∂u/∂xk = b принято записывать§ . Линейные и квазилинейные уравненияв так называемом симметричном видеdx1 /a1 = … = dxn /an = du/b,выражающем коллинеарность касательной к характеристике с характеристическим вектором (эти соотношения означают равенство1-форм на векторах, касающихся характеристики, если знаменатели отличны от нуля).Оïðåäåëåíèå. Поверхность называется интегральной поверхностью поля направлений, если направление поля в каждой точке лежит в ее касательной плоскости.Тåîðåìà.

Чтобы гладкая поверхность была интегральной поверхностью гладкого поля направлений, необходимо и достаточно,чтобы каждая интегральная кривая, имеющая с поверхностью общую точку, целиком на ней лежала.Дîêàçàòåëüñòâî. По теореме о выпрямлении поле можно диффеоморфизмом превратить в поле параллельных прямых.

Для такого поля теорема очевидна.Из определения характеристического направления вытекаетТåîðåìà. Функция u(x) тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график является интегральной поверхностью поля характеристических направлений.Из двух последних теорем непосредственно вытекаетСëåäñòâèå. Функция u(x) тогда и только тогда является решением квазилинейного уравнения, когда ее график содержит вместес каждой своей точкой интервал характеристики, проходящей через эту точку.Таким образом, нахождение решений квазилинейного уравнения сводится к нахождению его характеристик. Если характеристики известны, то остается лишь составить из них поверхность,являющуюся графиком функции: эта функция будет решением квазилинейного уравнения, и все решения получаются этим способом.Зàäà÷à .

Доказать, что задача Коши для квазилинейного уравненияпервого порядка имеет решение и притом только одно в достаточно малойокрестности такой точки x0 начальной гиперповерхности и для такого начального условия, что вектор a(x0 , u(x0 )) не касается начальной гиперповерхности.Зàìå÷àíèå. В отличие от линейного уравнения, для квазилинейногоуравнения нельзя говорить о характеристичности самих точек начальнойгиперповерхности: будет данная точка характеристической или нет, зависит также и от начального значения.Глава .

Основные теоремы. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка. Как и линейные или квазилинейные уравнения, нелинейные уравнения самого общего вида, F(x, ∂u/∂x, u) = 0, интегрируются при помощи характеристик. Но если характеристики линейного уравнения относительно функции в Rn лежат в Rn , а квазилинейного –– в (n + 1)-мерном пространстве Rn × R, то характеристикиобщего нелинейного уравнения являются кривыми в (2n + 1)-мерном пространстве 1-струй функций, на котором определена задающая уравнение функция F.Оïðåäåëåíèå. Пространством 1-струй функций от x = (x1 , ……, xn ) называется (2n + 1)-мерное пространство с координатами(x1 , …, xn ; p1 , …, pn ; y). 1-струя функции u в точке x –– это точкаэтого пространства с координатами (x, p = ∂u/∂x, y = u(x)). Множество 1-струй функции u во всех точках x ее области определенияназывается 1-графиком этой функции.Уравнение F(x, ∂u/∂x, u) = 0 определяет в пространстве 1-струйгиперповерхность E, где F(x, p, y) = 0.

Решение уравнения F = 0 ––это функция, 1-график которой принадлежит гиперповерхности E.Мы будем предполагать, что вектор производных Fp (с компонентами ∂F/∂pi ) отличен от нуля: без этого требования уравнение могло бы вовсе не содержать ∂u/∂x и не было бы дифференциальным.Из условия Fp 6= 0 вытекает, что гиперповерхность E –– гладкая (потеореме о неявной функции). Самая трудная часть теории нелинейного уравнения с частными производными первого порядка –– придумать следующееОïðåäåëåíèå. Характеристиками уравнения F = 0 называютсяфазовые кривые следующей трудно запоминаемой системы дифференциальных уравнений на гиперповерхности E в пространстве1-струй:ẋ = Fp , ṗ = −Fx − pF y , ẏ = pFp .Зàäà÷à .

Докажите, что фазовая кривая этой системы, начинающаясяна гиперповерхности E, целиком лежит на E.Рåøåíèå. Ḟ = Fx ẋ + Fp ṗ + F y ẏ = 0.Зàäà÷à . Докажите, что 1-график каждого решения уравнения F = 0 содержит вместе с каждой своей точкой интервал характеристики, проходящей через эту точку. Обратно, если 1-график функции состоит из целыххарактеристик, то функция –– решение.Рåøåíèå. Вдоль 1-графика решения dy = p dx и dp = (∂2 u/∂x2 ) dx.

Дляхарактеристического вектора первое условие очевидно выполнено, а вто-§ . Линейные и квазилинейные уравнениярое вытекает из равенства нулю сужения dF на 1-график: сужение Fx dx ++ Fp dp + F y dy на 1-график имеет вид(Fx + pF y ) dx + Fp ∂2 u/∂x2 dx.Доказательство обратного (а также геометрическую мотивировку странного определения характеристик) можно найти в книге В.

И. Арнольда «Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (М.: МЦНМО, ), § , или в книге В. И. Арнольда «Математическиеметоды классической механики» (М.: ), с.  ––: они основаны нагеометрии поля контактных плоскостей в пространстве струй.Результат задачи  сводит интегрирование нелинейного уравнения первого порядка (например, отыскание решения задачи Коши) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений –– уравнений характеристик.

По начальному условию строится подмногообразиепространства 1-струй, проходящие через него характеристики образуют1-график искомого решения.Зàäà÷à . Докажите, что характеристики нелинейного уравнения, являющегося квазилинейным, проектируются в характеристики этого квазилинейного уравнения при отображении (x, p, y) 7→ (x, y).Зàäà÷à *.

Характеристики

Список файлов книги