Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Найти интегральные кривыеуравнения ẋ 2 = t на поверхности p2 = t и ихпроекции на плоскость (t, x).Рåøåíèå. За координаты на E примемРис. . Проекции интегpиx. В этих координатах уравнение следовральных кривыхконтактных плоскостей (dx = p dt) принимаетвид dx = 2p2 dp. Интегральные кривые: x + C =3= 2p /3. Их проекции –– полукубические параболы (x + C)2 = 4t 3 /9 (рис. ).Нерегулярные точки образуют линию p = 0.
Все они неисключительные.Проекция линии нерегулярных точек на плоскость (t, x) называется дискриминантной кривой. В данном случае дискриминантная кривая –– ось x.§ . Применения к уравнениям выше первого порядкаТочка возврата делит полукубическую параболу на две части. Каждаяppиз них –– интегральная кривая одного из двух уравнений ẋ = t (или − t)в полуплоскости t > 0. Можно показать, что проекции на плоскость интегральных кривых на E для уравнения общего положения имеют в общейточке дискриминантной кривой точку возврата (более того, в окрестноститакой точки уравнение приводится к виду ẋ 2 = t диффеоморфизмом плоскости (t, x)).
Однако это верно не для всех уравнений.Зàäà÷à . Найти интегральные кривые уравнения Клеро x = t ẋ − f ( ẋ)на поверхности x = pt − f (p), их проекции на плоскость (t, x) и дискриминантную кривую.Рåøåíèå. За координаты на E принимаем p и t. Уравнение следов контактных плоскостей (dx = p dt) принимает вид t dp + p dt − f ′ dp = p dt или(t − f ′ ) dp = 0. Нерегулярные точки: t = f ′ .
Все они исключительные. Интегральные кривые на E: p = const (в области, где t 6= f ′ ). Это прямые. Ихпроекции на плоскость (t, x) –– также прямые: x = tC − f (C). Уравнение Клеро –– это просто уравнение семейства прямых, запараметризованных тангенсом угла наклона к оси абсцисс.Дискриминантная кривая параметрически задается уравнениями t == f ′ (C), x = tC − f (C). В окрестности точки, где f ′′ 6= 0, эти формулы задаютгладкую кривую, являющуюся графиком функции x = g(t).
Действительно,вблизи точки, где f ′′ 6= 0, можно выразить C через t и затем x через t.Прямая x = tC − f (C) касается дискриминантной кривой в такой точке(почему?). Итак, дискриминантная кривая уравнения Клеро является огибающей семейства прямых, описываемого этим уравнением.Переход от функции f к функции g называется преобразованием Лежандра. Преобразованием Лежандра функции g будет снова f (докажите). Поэтому функции f и g называются двойственными друг другу.Зàäà÷à .
Вычислить преобразование Лежандра функции |p|α /α (α>1).Оòâåò. |t|β /β, где α−1 + β −1 = 1.Геометрический смысл преобразования Лежандра состоит в следующем.Рассмотрим множество всех невертикальных (не параллельных оси x) прямых на плоскости (t, x). Прямая задается своим уравнением x = at − b. Таким образом, невертикальные прямые можно рассматривать как точки наплоскости с координатами (a, b). Эта плоскость называется двойственнойк исходной плоскости. Координаты a и b называются тангенциальными координатами прямой.Плоскость, двойственная к плоскости (a, b), есть исходная плоскость(t, x), ввиду полной симметрии уравнения x + b = at относительно замены(t, x) 7→ (a, b): прямая на плоскости прямых есть точка исходной плоскости.Рассмотрим на плоскости (t, x) гладкую кривую, x = g(t).
Касательнаяк этой кривой меняется при движении вдоль кривой. Соответствующая касательной точка двойственной плоскости описывает при этом некоторуюГлава . Основные теоремыкривую. Эта кривая называется двойственной к исходной кривой. Кривая,двойственная к построенной, –– исходная кривая. Если для исходной кривой g′′ 6= 0, то двойственная кривая является графиком функции b = f (a).Функции f и g –– преобразования Лежандра друг друга.Доказательство этих фактов (имеющих многочисленные обобщения иприложения во всех областях математики) оставляется любознательномучитателю в виде задачи.§ . Фазовые кривые автономной системыЗдесь рассматриваются простейшие геометрические свойствафазовых кривых автономных систем, т.
е. систем, правые части которых не зависят от времени.. Автономные системы.Оïðåäåëåíèå. Система дифференциальных уравнений называется автономной, если она переходит в себя при произвольных сдвигах вдоль оси времени.Иными словами, система называется автономной, если ее правая часть не зависит от времени. Например, автономное уравнениеn-го порядка –– это уравнениеx (n) = F(x, …, x (n−1) ).Зàìå÷àíèå. При описании эволюционных процессов дифференциальными уравнениями обычно возникают именно автономныесистемы: независимость правой части от t отражает независимостьот времени законов природы (без чего невозможно научное ее изучение).
Термин «автономный» означает «самостоятельный» и отражает независимость эволюции состояния рассматриваемой системы от всех других. Неавтономные системы возникают при описании природы чаще всего следующим образом. Предположим, чтомы рассматриваем часть I физической системы I + II. Тогда, хотязакон эволюции всей системы со временем и не меняется, влияниечасти II на часть I может привести к тому, что закон эволюции части I будет меняться со временем.Например, влияние Луны на Землю вызывает приливы. Математически это влияние выражается тем, что величина ускорения силытяжести, входящая в уравнение движения земных объектов, становится переменной.В таких случаях говорят, что выделенная часть I неавтономна.Поэтому и все системы, правая часть которых явно зависит от вре-§ . Фазовые кривые автономной системымени, называются неавтономными.
Разумеется, неавтономные системы могут получиться и в других случаях, например, в процессепреобразований при решении автономных систем. Пример: переход к неавтономному уравнению с разделяющимися переменнымипри интегрировании системы Лотки––Вольтерра (п. § ).Зàäà÷à . Автономно ли уравнение в вариациях для малого возмущения решения автономной системы при малом изменении начальных условий?Оòâåò.
Если невозмущенное решение –– состояние равновесия, то автономно, в общем случае –– нет.. Сдвиг по времени. Начнем с примера. Рассмотрим автономное уравнение n-го порядкаx (n) = F(x, ẋ, …, x (n−1) ).()Тåîðåìà. Предположим, что x = sin t –– решение уравнения (),тогда функция x = cos t –– тоже решение.Это сразу следует из следующего предложения.Тåîðåìà.
Пусть ϕ : R → U –– решение автономного уравненияẋ = v(x), заданного векторным полем v в фазовом пространстве U,и пусть h s : R → R –– сдвиг оси времени, h s (t) = s + t. Тогда ϕ ◦ h s прилюбом s тоже решение.Иными словами, если x = ϕ(t) –– решение, то x = ϕ(t + s) –– тожерешение.Дîêàçàòåëüñòâî. Это очевидно: поле направлений автономного уравнения переходит в себя при сдвигах вдоль оси времени, следовательно, интегральные кривые переходят при таких сдвигах винтегральные кривые.Сëåäñòâèå. Через каждую точку фазового пространства автономной системы проходит одна и только одна фазовая кривая.Зàìå÷àíèå.
Здесь и ниже всюду идет речь о максимальных фазовых кривых, т. е. о фазовых кривых, являющихся образами решений, не продолжаемых на более длинный интервал (решение ϕ : I →→ U может не продолжаться либо потому, что интервал I уже всяпрямая, либо потому, что ϕ(t) подходит к границе области U, когдаt подходит к концу интервала).Дîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ. Предположим, что через точку проходят две фазовые кривые –– образы решений ϕ и ψ, определенныхна всей прямой (случай, когда решения не продолжаются неограниченно, оставляется читателю). Тогда существуют такие моментыГлава . Основные теоремывремени a и b, что ϕ(a) = ψ(b) (так как обе кривые проходят черезодну точку).
Сдвигая одно из решений вдоль оси времени, мы получаем новое решение, ϕ ◦ ha−b . Это решение имеет с решением ψобщее начальное условие при t = b. Значит, они совпадают. Следовательно, ψ получается из ϕ сдвигом вдоль оси времени. Итак, образыотображений ϕ и ψ совпадают, что и требовалось доказать.Зàìå÷àíèå. Фазовые кривые неавтономной системы (образырешений в фазовом пространстве) могут пересекаться, не совпадая.Поэтому за решениями неавтономных систем лучше следить поинтегральным кривым.Зàäà÷à . Пусть через каждую точку фазового пространства системыẋ = v(t, x) проходит одна и только одна фазовая кривая.
Следует ли из этого,что система автономна?Оòâåò. Нет, пример: ẋ = 1 + t 2 .. Замкнутые фазовые кривые. Мы уже знаем, что разные фазовые кривые автономной системы не пересекаются. Посмотрим, может ли пересекать себя одна фазовая кривая. Иными словами, может ли решение автономной системы первого порядка несколькораз принимать одно и то же значение.Тåîðåìà. Максимальная фазовая кривая автономной системылибо не самопересекается, либо сводится к одной точке, либо является замкнутой фазовой кривой (диффеоморфной окружности).С примерами замкнутых фазовых кривых мы уже сталкивались(например, предельные циклы, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
