Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из теоремы п. и теорем существования и единственности для системы уравненийпервого порядка (§ ) вытекаетСëåäñòâèå. Пусть u = (u0 ; u1 , …, un ) –– точка области U определения правой части уравнения (). Решение ϕ уравнения () с начальным условиемϕ(u0 ) = u1 , …, ϕ̇(u0 ) = u2 , …, ϕ (n−1) (u0 ) = un()существует и единственно (в том смысле, что всякие два решенияс общим начальным условием совпадают на пересечении интерваловопределения).При записи начального условия уравнения () обычно вместо ϕпишут x.Глава . Основные теоремыПðèìåð. Решения cos t и sin t уравнения маятникаpẍ = −x удовлетворяютприt=π/4начальнымусловиямx(π/4)=2/2, ẋ(π/4) =ppp= − 2/2 и x(π/4) = 2/2, ẋ(π/4) = 2/2 соответственно (рис.
).Эти начальные условия различны, поэтому не удивительно, что графики решений пересекаются, не совпадая. Теорема единственностидля уравнения второго порядка запрещает несовпадающим графикам лишь иметь в точке пересечения общую касательную. Графикирешений одного уравнения третьего порядка могут касаться, но тогда обязаны иметь в точке касания разные кривизны и т. д.Зàäà÷à . Пусть известно, что уравнение () имеет решениями функции t и sin t. Найти порядок уравнения n.Рåøåíèå.
У функций t и sin t в нуле совпадают значения производныхпорядков 0, 1 и 2. Если бы они удовлетворяли общему уравнению третьегопорядка, они совпадали бы по теореме единственности. Уравнение порядка n ¾ 4, которому удовлетворяют обе функции, придумать несложно, например, x (n) + x (n−2) = 0.Оòâåò. n ¾ 4.Зàäà÷à . Могут ли графики двух решенийуравнения ẍ + p(t) ẋ + q(t)x =0 иметь изображенный на рис. вид?Рис. . Невозможное расРåøåíèå. Нет, так как решения cϕ1 и ϕ2 имеположение графиковют общее начальное условие и не совпадают.Зàäà÷à .
Рассмотрим уравнение 2x = t 2 ẍ.2Решения x ≡ 0 и x = t оба удовлетворяют начальному условию x = ẋ = 0при t = 0. Почему они не совпадают?Рåøåíèå. Теорема единственности относится к уравнениям вида (),т. е. уравнениям, разрешенным относительно старшей производной, а рассматриваемое уравнение нельзя записать в таком виде (в окрестности нуля).Зàäà÷à . Решить разностное уравнение ∆3 ϕ = 0 с начальным условием ϕ(0) = 0, (∆ϕ)(0) = 0, (∆2 ϕ)(0) = 2 при t, кратных шагу h = 1.Рåøåíèå. ϕ = a + bt + ct 2 , ∆ϕ = b + 2ct + c, ∆2 ϕ = 2c. Из начальных условий c = 1, b = −1, a = 0.Оòâåò. ϕ = t 2 − t.. Теоремы дифференцируемости и продолжения.
Посколькууже установлена эквивалентность уравнения n-го порядка системеуравнений первого порядка, мы заключаем, что решение уравненияn-го порядка гладко зависит от начальных условий и параметров(если правая часть гладко зависит от параметров); читатель легкосформулирует и теорему о продолжении.§ . Применения к уравнениям выше первого порядкаЗàäà÷à .
Найти в первом приближении по ǫ влияние малого сопротивления среды ǫF(x, ẋ) на движение падающего с высоты h тела.Рåøåíèå. Речь идет об уравнении ẍ = −g + ǫF(x, ẋ) и начальных условиях x(0) = h, ẋ(0) = 0.По теореме о дифференцируемости по параметру, решение имеет видϕ = ϕ0 + ǫϕ1 + …, где ϕ0 (t) = h − gt 2 /2. Подставляя x = ϕ(t) в уравнениеи приравнивая члены ряда по ǫ, находим ϕ̈1 = F(ϕ0 , ϕ̇0 ), откуда ϕ1 (t) =Rt Rs=F(ϕ0 (τ), ϕ̇0 (τ)) dτ ds. Например, если F = − ẋ, то ϕ1 = gt 3 /6. Значит,0 0отставание во времени падения в первом приближении пропорциональновысоте: −ǫϕ1 /ϕ̇0 = ǫt 2 /6 = ǫh/3g.Зàäà÷à .
Докажите, что все решения уравнения маятника θ̈ = − sin θпродолжаются неограниченно.Зàäà÷à . При каких натуральных k неограниченно продолжаются всерешения уравнения ẍ = x k ?Оòâåò. Только при k = 1.. Системы уравнений. Под системой дифференциальных уравнений мы будем понимать систему уравнений относительно n неизвестных функцийd ni x i= Fi (t; x, …),dt nii = 1, …, n,()где среди аргументов каждой из функций Fi находятся независимоепеременное t, зависимые переменные x j и их производные порядков меньше n j ( j = 1, …, n) соответственно.Решение системы определяется, как в п. . Следует подчеркнуть,что решением системы является векторная функция, заданная наинтервале. Таким образом, (ϕ1 , …, ϕn ) –– это не n решений, а однорешение системы n уравнений –– замечание, равно относящеесяк системам алгебраических и дифференциальных уравнений.Прежде всего выясним, какое фазовое пространство соответствует системе ().nPni уравнеТåîðåìà.
Система () эквивалентна системе N =i=1ний первого порядка.Иными словами: размерность фазового пространства системы() равна N.Для доказательства надо ввести в качестве координат в фазовомпространстве производные x j порядка меньше n j .Например, пусть n = n1 = n2 = 2. Тогда система имеет видẍ1 = F1 (t; x1 , ẋ1 , x2 , ẋ2 ),ẍ2 = F2 (t; x1 , ẋ1 , x2 , ẋ2 )Глава . Основные теоремыи эквивалентна системе из четырех уравненийẋ1 = x3 ,ẋ2 = x4 ,ẋ3 = F1 (t; x),ẋ4 = F2 (t; x),где x = (x1 , x3 , x2 , x4 ).Пðèìåð. Система n дифференциальных уравнений второго порядка механики Ньютонаmi q̈i = −∂U,∂qii = 1, …, n,()где U –– потенциальная энергия, mi > 0 –– массы, эквивалентна системе 2n уравнений Гамильтонаq̇i =∂H,∂piṗi = −∂H,∂qii = 1, …, n,P mi q̇i2 P pi2где pi = mi q̇i , а H = T + U –– полная энергия (T ==––22miкинетическая энергия).
Таким образом, размерность фазового пространства системы () равна 2n.Теоремы о существовании, единственности, дифференцируемости по начальным условиям и параметрам, а также теоремы о продолжении переносятся на системы вида () автоматически: для однозначного определения решения достаточно в начальный моментзадать производные xi порядка меньше ni . Например, для системыуравнений Ньютона () достаточно задать n координат и n скоростей в начальный момент.Зàäà÷à . На материальную точку массы m, движущуюся относительноЗемли со скоростью v, действует (в связанной с Землей системе координат) сила Кориолиса F = 2m[v, Ω], где Ω –– вектор угловой скорости Земли.
Камень брошен (без начальной скорости) в шахту глубиной 10 м нашироте Ленинграда (λ = 60◦ ). Насколько сила Кориолиса отклонит его отвертикали?Рåøåíèå. По условию ẍ = g + 2[ ẋ, Ω]. Величину угловой скорости Земли, Ω ≈ 7,3 · 10−5 c−1 , считаем малым параметром. По теореме о дифференцируемости, x = x0 + Ω y + O(Ω2 ), x0 = gt 2 /2. Подставляя x в уравнение, получаем Ω ÿ = 2[gt, Ω], y(0) = ẏ(0) = 0. Значит, Ω y = [g, Ω]t 3 /3. Следовательно,2t[Ω y] = |h||Ω| cos λ.3Оòâåò. Камень отклонится на восток на 0,3 мм.Зàìå÷àíèå.
Задача об отклонении камня сыграла выдающуюся рольв истории физики. Эффект отклонения камня на восток (а не на запад, какэто кажется на первый взгляд) был предсказан Ньютоном в письме к Гуку от ноября года: Ньютон просил Гука проделать эксперимент с камнемдля доказательства вращения Земли, тогда не общепризнанного.§ .
Применения к уравнениям выше первого порядкаВ ответном письме (от января года) Гук сформулировал законвсемирного тяготения. Ньютон в то время неточно представлял себе орбитукамня. Возникшая дискуссия заставила Ньютона отказаться от его намерения оставить занятия наукой и послужила поводом написания «Математических начал натуральной философии» –– знаменитых «Principia», с которыхначалась современная физика.В письме Гука правильно указан показатель −2 в законе тяготения(в «Principia» Ньютон пишет, что Врен, Гук и Галлей независимо друг отдруга нашли, что третий закон Кеплера соответствует именно этому показателю). Кроме закона Кеплера, Гук ссылается на наблюдения Галлея оботставании маятниковых часов при поднятии на гору Св.
Елены. В письмеГука явно сказано, что камень движет та же сила, которая заставляет планеты двигаться по кеплеровым эллипсам; критикуя нарисованную Ньютономспираль, Гук утверждал, что орбитой камня в отсутствие сопротивлениявоздуха будет «эксцентрический эллиптоид».Ньютон истолковал эллиптоид как эллипс и заинтересовался, как Гукнашел орбиту. После больших трудов ему удалась доказать, что орбита действительно эллипс (как при падении на Землю, так и внутри шахты). Доказательство было (и остается) столь трудным математически, что Ньютонпришел к заключению, что Гук «утверждал больше, нежели знал». В дальнейшем он никогда не ссылался на письмо Гука. В письме к Галлею о своейдискуссии с Гуком Ньютон дал описание разницы между подходами математика и физика к естествознанию, остающееся актуальным и сегодня: «Математики, которые все открывают и устанавливают и проделывают всю работу, должны довольствоваться ролью сухих вычислителей и чернорабочих;другой, который всего лишь все схватывает и на все претендует, присваивает себе все изобретения как своих последователей, так и своих предшественников».Гук бросал стальные шары с высоты 10 м и утверждал, что наблюдалсистематическое отклонение на юго-восток (что практически невозможноиз-за крайней малости этого отклонения по сравнению с аэродинамическими эффектами).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
