Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Доказать, что характеристики нелинейного уравнения F =0инвариантно связаны с уравнением: при диффеоморфизмах x-пространства или даже произведения x-пространства на ось значений функции производные преобразуются так, что характеристики старого уравнения переходят в характеристики нового; при умножении F на не обращающуюсяв нуль функцию характеристики не меняются.Зàìå÷àíèå.

В действительности связь между гиперповерхностью Eи характеристиками на ней инвариантна относительно еще более широкойгруппы диффеоморфизмов пространства струй, перепутывающей аргументы не только со значениями, но и с производными: важно лишь, чтобыдиффеоморфизм пространства струй сохранял поле контактных плоскостей(заданных уравнением dy = p dx). Такие диффеоморфизмы называются контактными и образуют контактную группу, фундаментальную для теории уравнений с частными производными первого порядка и длягеометрической оптики.Оïðåäåëåíèå. Уравнением Гамильтона––Якоби на- Рис.

. Решениеуравнения Гамильзывается уравнение с частными производными первоготона–– Якобипорядка, в которое явно не входит значение неизвестной функции, т. е. уравнение вида H(x, ∂u/∂x) = 0.Зàäà÷à . Доказать, что расстояние от точки плоскости до гладкой кривой(рис. ) удовлетворяет уравнению Гамильтона––ЯкобиP па плоскости(∂u/∂xi )2 = 1 в окрестности этой кривой (исключая саму кривую).Глава . Основные теоремыЗàäà÷à . Доказать, что расстояние от точки евклидова пространствадо гладкого подмногообразия (любой размерности)в этом пространствеPудовлетворяет уравнению Гамильтона––Якоби (∂u/∂xi )2 = 1 в окрестности подмногообразия (исключая само подмногообразие).P Зàäà÷à2 .

Доказать, что всякое решение уравнения Гамильтона––Якоби(∂u/∂xi ) = 1 в достаточно малой окрестности любой точки евклидовапространства является суммой расстояния до некоторой гладкой гиперповерхности и константы.Зàäà÷à . Доказать, что характеристики уравнения Гамильтона––Якоби H = 0 проектируются на пространство (x, p) в виде фазовых кривых уравнений Гамильтона ẋ = H p , ṗ = −H x , лежащих на поверхности нулевого уровня функции Гамильтона.§ .

Консервативная системас одной степенью свободыВ качестве примера применения первого интеграла к исследованию дифференциального уравнения мы рассмотрим здесь механическую систему с одной степенью свободы, без трения.. Определения. Консервативной системой с одной степенью свободы называется система, описываемая дифференциальным уравнениемẍ = F(x),()где F –– дифференцируемая на некотором интервале I вещественнойоси x функция.Уравнение () эквивалентно системеẋ1 = x2 ,ẋ2 = F(x1 ),(x1 , x2 ) ∈ I × R.()В механике принята следующая терминология:I –– конфигурационное пространство;x1 = x –– координата;x2 = ẋ –– скорость;ẍ –– ускорение;I × R –– фазовое пространство;() –– уравнение Ньютона;F –– силовое поле;F(x) –– сила.Рассмотрим еще следующие функции на фазовом пространстве:T=x2ẋ 2= 2 –– кинетическая энергия;22§ .

Консервативная система с одной степенью свободыU =−RxF(ξ) dξ –– потенциальная энергия;x0E = T + U –– полная механическая энергия.dUОчевидно, F(x) = − , так что потенциальная энергия определяdxет систему.Рис. . Потенциальная энергия маятникаПðèìåð . Для маятника §  (рис. ) ẍ = − sin x, x –– угол отклонения, F(x) = − sin x, U(x) = − cos x.

Для уравнения малых колебаний маятника ẍ = −xF(x) = −x,U(x) =x2.2Для уравнения малых колебаний перевернутого маятника ẍ = xF(x) = x,U(x) = −x22(рис. ).Рис. . Потенциальная энергия маятника вблизи нижнего и верхнегоположения равновесия. Закон сохранения энергии.Тåîðåìà. Полная энергия E является первым интегралом системы ().Глава . Основные теоремыДîêàçàòåëüñòâî. Имеем2Šd € x2 (t)+ U(x1 (t)) = x2 ẋ2 + U ′ ẋ1 = x2 F(x1 ) − F(x1)x2 = 0,dt2что и требовалось доказать.Доказанная теорема позволяет исследовать и явно «в квадратурах» решать уравнения вида (), например уравнение маятника.. Линии уровня энергии. Изучим фазовые кривые системы ().Каждая из них целиком лежит на одном множестве уровня энергии.Исследуем эти множества уровня.Тåîðåìà.

Множество уровня энерги試x2(x1 , x2 ) : 2 + U(x1) = E2является гладкой кривой в окрестности каждой своей точки, исключая лишь положения равновесия, т. е. точки (x1 , x2 ), гдеF(x1 ) = 0,x2 = 0.Дîêàçàòåëüñòâî. Воспользуемся теоремой о неявной функции.Имеем∂E∂E= −F(x1 ),= x2 .∂x1∂x2Если одна из производных отлична от 0, то в окрестности рассматриваемой точки множество уровня E является графиком дифференцируемой функции вида x1 = x1 (x2 ) или x2 = x2 (x1 ). Теорема доказана.Заметим, что исключенные выше точки (x1 , x2 ), где F(x1 ) = 0и x2 = 0, –– это в точности стационарные точки (положения равновесия) системы () и особые точки векторного поля фазовойскорости.

Далее, эти же точки являются критическими точками ∗)полной энергии E(x1 , x2 ). Наконец, точки x1 , где F(x1 ) = 0, –– этокритические точки потенциальной энергии U.Чтобы нарисовать линии уровня энергии, полезно представлятьсебе шарик, катающийся в «потенциальной яме» U (рис. ).Зафиксируем значение полной энергии E. Заметим, что кинетическая энергия неотрицательна. Поэтому потенциальная энергияне превосходит полной. Значит, линия уровня энергии E проектируется на конфигурационное пространство (на ось x1 ) в множество∗)Критической точкой функции называется точка, в которой полный дифференциал функции равен нулю.

Значение функции в такой точке называется критическимзначением.§ . Консервативная система с одной степенью свободыне превосходящих E значений потенциальной энергии {x1 ∈ I : U(x1 ) ¶ E} (шарик не может подняться выше уровня Eв потенциальной яме).Далее, скорость тем больше (по абсолютной величине), чемp меньше потенциальная энергия: |x2 | = 2(E − U(x1 )) (скатываясь в яму, шарик набирает скорость,а поднимаясь, теряет ее). В «точках поворота», где U(x1) = E, скорость равна 0.Из четности энергии по отношениюк x2 следует, что линия уровня энергиисимметрична относительно оси x1 (ша- Рис.

. Шарик в потенциальрик проходит каждую точку туда и обрат- ной яме и фазовая криваяно с одинаковой скоростью).Этих простых соображений достаточно, чтобы рисовать линииуровня энергии систем с разнообразными потенциалами U. Рассмотрим сначала простейший случай (бесконечно глубокая потенциальная яма с одним притягивающим центром ξ), когда F(x) монотонно убывает, F(ξ) = 0, I = R (рис. ).Если значение полной энергии E1 меньше минимума потенциальной E2 , то множество уровня E = E1 пусто (движение шарика физически невозможно).

Множество уровня E = E2 состоит из однойточки (ξ, 0) (шарик покоится на дне ямы).Если значение E3 полной энергии больше критического значения E2 = U(ξ), то множество уровня E = E3 –– гладкая замкнутая симметричная кривая, окружающая положение равновесия (ξ, 0) на фазовой плоскости (шарик катается в яме взад и вперед; он поднимается до высоты E3 , в этот момент его скорость обращается в 0, и онскатывается обратно в яму, проходит ξ, в этот момент его скоростьмаксимальна, поднимается с другой стороны и т.

д.).При исследовании более сложных случаев следует поступать подобным же образом, последовательно увеличивая значения полнойэнергии E и останавливаясь на значениях E, равных критическимзначениям потенциальной энергии U(ξ) (где U ′ (ξ) = 0), следя каждый раз за кривыми со значениями E, немного меньшими и немного большими критических.Пðèìåð . Пусть потенциальная энергия U имеет три критические точки: ξ1 (минимум), ξ2 (локальный максимум), ξ3 (локальныйГлава .

Основные теоремыминимум). На рис.  показаны линии уровня E1 = U(ξ1 ), U(ξ1 ) <<E2 <U(ξ3 ), E3 = U(ξ3 ), U(ξ3 ) < E4 < U(ξ2 ), E5 = U(ξ2 ), E6 > U(ξ2 ).Рис. . Линии уровня энергииЗàäà÷à . Нарисовать линия уровня энергии для уравнения маятникаẍ = − sin x и для уравнений маятника вблизи нижнего и верхнего положений равновесия ( ẍ = −x и ẍ = x).Зàäà÷à . Нарисовать линии уровня энергии для задачи Кеплера ∗) U =1x=− +Cи для потенциалов, представленных на рис.

.x2Рис. . Нарисуйте линии уровня энергии. Линии уровня энергии вблизи особой точки. При исследовании поведения линий уровня вблизи критического значения энергии полезно помнить о следующих обстоятельствах.Зàìå÷àíèå . Если потенциальная энергия –– квадратичная форма U = kx 2 /2, то линии уровня энергии –– кривые второго порядка2E = x22 + kx12 .∗)Уравнением Ньютона с таким потенциалом описывается изменение расстоянияпланет и комет от Солнца.§ .

Консервативная система с одной степенью свободыВ случае притяжения k > 0 (т. е. критическая точка 0 –– минимумпотенциальной энергии U (рис. )). В этом случае линии уровняэнергии –– гомотетичные эллипсы с центром в 0.Рис. . Линии уровня энергии для притягивающего и отталкивающегоквадратичных потенциаловВ случае отталкивания k < 0 (т. е. критическая точка 0 –– максимум потенциальной энергии (рис. )).

Характеристики

Список файлов книги