Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Положим A =dtt=0t→0tМы уже доказали, что движение ϕ(t) = g t x0 –– это решение уравнения () с начальным условием ϕ(0) = x0 . Согласно () g t x0 = etA x0 ,что и требовалось.Оператор A называют производящим оператором группы {g t }.Зàäà÷à . Докажите, что производящий оператор определен группойоднозначно.Зàìå÷àíèå. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными дифференциальными уравнениями ()и их фазовыми потоками {g t }; при этом фазовый поток состоит излинейных диффеоморфизмов.. Второе определение экспоненты.Тåîðåìà. Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор. ТогдаA m.()e A = lim E +mm→∞Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим разность∞ PCk A m1eA − E +− mk Ak .=mk=0k!mA m–– многочлен, а ряд e A сходится.)(Ряд сходится, так как E +mЗаметим, что коэффициенты разности неотрицательны:m(m − 1)…(m − k + 1) 11¾.m·m·…·mk!k!Глава .
Линейные системыПоэтому, полагая kAk = a, находим∞ PCk a m1e A − E + A m ¶− mk ak = ea − 1 +.mk=0k!mmПоследняя величина стремится к 0 при m → ∞, и теорема доказана.. Пример: формула Эйлера для e z . Пусть C –– комплексная прямая. Мы можем рассматривать ее как вещественную плоскость R2 ,а умножение на комплексное числоz –– как линейный оператор A : R2 → R2 .Оператор A есть поворот на угол arg zс растяжением в |z| раз.Зàäà÷à .
Найти матрицу умножения наz = u + iv в базисе e1 = 1, e2 = i.Оòâåò.Рис. . Комплексное число1 + z/nuv−v.uНайдем теперь e A . По формуле () наAдо вначале составить оператор E + . Это –– умножение на числоnzzz1 + , т. е. поворот на угол arg 1 +с растяжением в 1 + разnnn(рис. ).Зàäà÷à . Докажите, что при n → ∞1zz= Im + o,arg 1 +nnn() 1 + z = 1 + Re z + o 1 .nnnA nzесть поворот на угол n arg 1 +с растяжеОператор E +nnnzнием в 1 + раз. Из формул () находим пределы угла поворотаnи коэффициента растяжения:z nz= Im z, lim 1 + = eRe z .lim n arg 1 +n→∞nn→∞nТем самым доказанаТåîðåìà. Пусть z = u + iv –– комплексное число, A : R2 → R2 –– оператор умножения на z.
Тогда e A есть оператор умножения на комплексное число eu (cos v + i sin v).Оïðåäåëåíèå. Комплексное числоz neu (cos v + i sin v) = lim 1 +n→∞n§ . Свойства экспонентыназывается экспонентой комплексного числа z = u + iv и обозначаетсяez = eu (cos v + i sin v).()Зàìå÷àíèå. Если не отличать комплексное число от оператораумножения на это число, то определение превращается в теорему,поскольку экспонента оператора уже определена.Зàäà÷à . Найти e0 , e1 , ei , eπi , e2πi .Зàäà÷à . Докажите, что ez1 +z2 = ez1 ez2 (z1 ∈ C, z2 ∈ C).Зàìå÷àíèå.
Поскольку экспонента определяется также рядом,имеемez = 1 + z +z2+ …,2!z∈C()(ряд сходится абсолютно и равномерно в каждом круге |z| ¶ a).Зàäà÷à . Сравнивая этот ряд с формулой Эйлера (), вывести рядыТейлора для sin v, cos v.Зàìå÷àíèå. Обратно, зная ряды Тейлора sin v, cos v, eu , можнобыло бы доказать формулу (), приняв формулу () за определение ez .. Ломаные Эйлера. Соединяяформулы () и (), мы получаем метод приближенного решения дифференциального уравнения (), называемый методом ломаных Эйлера.Рассмотрим дифференциальноеуравнение с линейным фазовым пространством Rn , заданное векторнымполем v.
Чтобы найти решение ϕуравнения ẋ = v(x), x ∈ Rn , с начальРис. . Ломаная Эйлераным условием x0 , поступим следующим образом (рис. ). Скоростьв точке x0 нам известна: это v(x0 ). Будем двигаться с постояннойскоростью v(x0 ) из x0 в течение времени ∆t = t/N. Попадем в точкуx1 = x0 + v(x0 )∆t. В течение следующего отрезка времени ∆t будемдвигаться со скоростью v(x1 ), и т. д.:xk+1 = xk + v(xk )∆t,k = 0, 1, …, N − 1.Обозначим через X N (t) последнюю точку, x N .
Заметим, что график,изображающий движение с кусочно-постоянной скоростью, –– этоГлава . Линейные системыломаная линия из N звеньев в расширенном фазовом пространствеR × Rn . Эта ломаная и называется ломаной Эйлера. Естественноожидать, что при N → ∞ последовательность ломаных Эйлера сходится к интегральной кривой, так что последняя точка X N будет прибольших N близка к значению решения ϕ с начальным условиемϕ(0) = x0 в точке t.Тåîðåìà. Для линейного уравнения () lim X N (t) = ϕ(t).N→∞Дîêàçàòåëüñòâî.
По определению ломаной Эйлера при v(x) =tA Nx0 . Поэтому lim X N = etA x0 (см. ()).= Ax имеем X N = E +NN→∞Итак, lim X N = ϕ(t) (см. ()).N→∞Зàäà÷à . Докажите, что не только конец ломаной Эйлера стремитсяк ϕ(t), но и вся последовательность кусочно-линейных функций ϕ n : I → Rn ,графиками которых служат ломаные Эйлера, равномерно сходится к решению ϕ на отрезке [0, t].Зàìå÷àíèå. Ломаная Эйлера в общем случае (когда векторноеполе v зависит от x нелинейно) также может быть записана в видеtA NXN = E +x0 , где A –– нелинейный оператор, переводящий точNку x в точку v(x). В дальнейшем мы увидим, что и в этом случаепоследовательность ломаных Эйлера сходится к решению, по крайней мере при достаточно малых |t| (§ , п.
). Таким образом, выражение (), в котором экспонента определена формулой (), даетрешение вообще всех дифференциальных уравнений ∗).Эйлерова теория экспоненты, единообразная во всех своих вариантах от определения числа e, формулы Эйлера для ez , формулы Тейлора, формулы () для решения линейных уравнений и до методаломаных Эйлера, имеет много других применений, выходящих зарамки нашего курса.§ . Определитель экспонентыЕсли оператор A задан своей матрицей, вычисление матрицыоператора e A может требовать длинных выкладок.
Однако опреде∗)Практически приближенно решать уравнение с помощью ломаных Эйлеранеудобно, так как приходится брать очень малый шаг ∆t, чтобы получить заданнуюточность. Чаще пользуются различными усовершенствованиями этого метода, в которых интегральная кривая аппроксимируется не отрезком прямой, а отрезком параболы той или иной степени. Наиболее часто используются методы Адамса, Штермераи Рунге. С ними можно познакомиться по учебникам приближенных вычислений.§ . Определитель экспонентылитель матрицы e A можно, как мы сейчас увидим, вычислить оченьлегко.. Определитель оператора.
Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор.Оïðåäåëåíèå. Определителем оператора A называется определитель матрицы оператора A в каком-нибудь базисе e1 , …, en ; обозначение: det A.Определитель матрицы оператора A не зависит от базиса. Действительно, если (A) –– матрица оператора A в базисе e1 , …, en , томатрицей оператора A в другом базисе будет (B)(A)(B−1), иdet(B)(A)(B−1 ) = det(A).Определитель матрицы –– это ориентированный объем параллелепипеда ∗), ребра которого задаются столбцами матрицы.x x Например, при n = 2 (рис.
) определитель 1 2 есть плоy1y2щадь параллелограмма, натянутого на векторы ξ1 , ξ2 с компонентами (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ), взятая со знаком плюс, если упорядоченнаяпара векторов (ξ1 , ξ2 ) задает туже ориентацию R2 , что и базиснаяпара векторов (e1 , e2 ), и со знакомминус в противном случае.Столбец с номером i в матрице оператора A в базисе e1 , …, enсоставлен из координат образабазисного вектора Ae i .
Поэтомуопределитель оператора A –– этоориентированный объем образа Рис. . Определитель матрицы равенединичного куба (параллелепипе- ориентированной площади параллелограмма, натянутого на ее столбцыда с ребрами e1 , …, en ) при отображении A.Зàäà÷à . Пусть Π –– параллелепипед с линейно независимымиребрами. Докажите, что отношение (ориентированного) объема образа параллелепипеда AΠ к (ориентированному) объему Π не зависит от Π и равно det A.∗)Параллелепипед с ребрами ξ1 , …, ξn ∈ Rn есть подмножество Rn , состоящее извсех точек вида x1 ξ1 + … + xn ξn , 0 ¶ xi ¶ 1. При n = 2 параллелепипед называетсяпараллелограммом.
Если вы знакомы с каким-либо определением объема, то легкодокажете выделенное утверждение. Если же нет, то можете принять его за определение объема параллелепипеда.Глава . Линейные системыЗàìå÷àíèå. Читатель, знакомый с теорией измерения объемовв Rn , может заменить Π любой фигурой, имеющей объем.Итак, определитель оператора A –– это коэффициент измененияориентированного объема: при применении A ориентированный объем любой фигуры меняется в det A раз.
Геометрически вовсе не очевидно, что растяжение объема для всех фигур одинаково (даже в случае плоскости), ведь форма фигуры при линейном преобразованиисильно меняется.. След оператора. Следом матрицы A называется сумма ее диагональных элементов. След обозначается tr (от английского «trace»)nPили Sp (от немецкого «Spur»): tr A = aii .i=1След матрицы оператора A : Rn → Rn не зависит от базиса, нолишь от самого оператора A.Зàäà÷à . Докажите, что след матрицы равен сумме всех n ее собственных чисел, а определитель –– их произведению.Уêàçàíèå.
Примените формулу Виета к многочленуnPdet(A − λE) = (−λ)n + (−λ)n−1 aii + …i=1Собственные числа уже не зависят от базиса. Это позволяет датьследующее определение.Оïðåäåëåíèå. Следом оператора A называется след его матрицы в каком-нибудь (и тогда в любом) базисе.. Связь определителя и следа.
Пусть A : Rn → Rn –– линейныйоператор, ǫ ∈ R. Легко доказываетсяТåîðåìà. При ǫ → 0 det(E + ǫ A) = 1 + ǫ tr A + O(ǫ 2 ).Дîêàçàòåëüñòâî. Определитель оператора E + ǫ A равен произведению собственных чисел. Собственные числа оператора E + ǫ A(с учетом кратностей) равны 1 + ǫλi , где λi –– собственные числа A.nnPQПоэтому det(E + ǫ A) = (1 + ǫλi ) = 1 + ǫ λi + O(ǫ 2 ), что и требоi=1i=1валось доказать.Вòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ясно, что ϕ(ǫ) = det(E + ǫ A) –– многочлен относительно ǫ, причем ϕ(0) = 1. Нужно доказать, что ϕ ′ (0) = tr A. Определитель матрицы (xij ) обозначим через ∆({xij }). По правилу дифференцироваnPdϕ ∂∆ dxijния сложной функции, где xij (ǫ) –– элементы матрицы=dǫǫ=0i, j=1∂xijEdǫ∂∆ d E+ǫ A. Частная производнаяравна по определению det(E+heij ),∂xij Edh h=0§ .
Определитель экспонентыгде eij –– матрица, единственный ненулевой элемент которой –– это 1 в i-йстроке, j-м столбце. Но det(E + heij ) = 1 при i 6= j и 1 + h, если i = j. Итак,nnPPdxiidϕ ∂∆ = 0, если i 6= j, и 1, если i = j. Поэтому== aii = tr A,∂xijdǫEǫ=0i=1dǫi=1что и требовалось доказать.Между прочим, мы заново доказалинезависимость следа от базиса.Сëåäñòâèå.
При малом изменении ребер параллелепипеда на изменение объема влияет лишь изменение каждого ребра в его собственном направлении; изменение же в направлении других ребер даетв изменение объема лишь вклад второго Рис. . Приближенное опрепорядка малости.деление площади параллелоНапример, площадь параллелограм- грамма, близкого к квадратума, близкого к квадрату (рис. ), малыми второго порядка малости отличается от площади заштрихованного прямоугольника.Можно было бы доказать это следствие из элементарно-геометрических соображений; это привело бы к геометрическому доказательству предыдущей теоремы..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
