Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Условный экстремум1.Понятие условного экстремума. Пусть на открытом множестве G С Rn заданы функции /о(х), / \ ( х ),..., / т(х), причем то < те,и пусть Е — множество точек множества G, удовлетворяющих системе уравненийfi( x ) = 0, ..., /т (х) = 0.(1)Уравнения (1) будем называть уравнениями связей (или просто связями).Точка х° = (х®,..., ж°) € G называется точкой условного минимума функции /о(х) при наличии связей (1), если найдется такая§ 60. Условный экстремум563окрестность Ss(x°), что для всех х £выполнено неравенство / о (ж) > / о (ж0).Точка х° £ G называется точкой строгого условного минимумафункции / о (ж) при наличии связей (1), если найдется такая окрестность Ss(x°), что для всех х £ Sg(x°) C\G выполнено неравенство/о(ж) > /о(ж0).Аналогично определяются точки условного максимума.
Точкиусловного максимума и минимума называются точками условногоэкстремума.2. Прямой метод отыскания точек условного экстремума.Предположим, что из системы уравнений (1) можно выразить какиелибо то переменных ж, через остальные переменные. Тогда, подставиввместо соответствующих переменных ж, их выражения через остальные п —гп переменных в функцию /о(ж), получим функцию F отп —гп переменных.Задача о нахождении точек экстремума функции /о(ж) при наличии связей (1) сведется к задаче нахождения обычного (безусловного)экстремума функции F, зависящей от п — то переменных.П р и м е р 1. Найти точки условного экстремума функции 2 = 1 ——х 2 —у2, если х + у = 1.А Уравнение связи ж + у = 1 легко разрешается относительно переменной у, а именно у = 1 —ж. Подставив это выражение для у в функцию г = 1 —ж2 —у2, получаем, что 2 = 1 —ж2 —( 1 —ж)2 2ж —2ж2.Функция 2ж —2ж2 имеет максимум при ж = - .
Точкаявляется точкой условного максимума функции z(x ,y ) при наличии связиж + у = 1, причем2т а х= -. ▲З а ме ч а ние . Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связейотносительно какой-либо группы переменных.3. Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию те + топеременныхЬ{ ж, А) = /о (ж) + X ifi(x ) + ... + Ато/ то(ж),где ж £ G, а А = (Ад,..., Хт) £ R m .
Числа Ад,..., Хт называются множителями Лагранжа, а функция Ь(ж, А) называется функцией Лагранжа.Будем говорить, что (ж0, А0) есть стационарная точка функцииЛагранжа, если-у—(ж0, А0) = 0,a xi^ ( ж ° , А ° ) = / 1 (жо ) = 0 ,...,...,! ^ ( Ж° ,А ° )= 0 ,дхп7^ - ( ж 0 , Л 0 ) = / т а (ж °) = 0.^)564Гл. X III.
Экстремумы функций многих переменныхТ е о р е м а 1 (Лагранжа). Пусть х° — точка условного экстремума функции /о(ж) при наличии связей (1), и пусть функции fi(x ), i == 0, то, непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х°, причем в точке х° ранг матрицы ЯкобиА =(3)равен то.Тогда найдутся такие множители Лагранжа AJ, \°т, что (х°, А0)будет стационарной точкой функции Лагранжа.О Так как то < те, а ранг матрицы Якоби в точке х° равен то, то хотябы один из миноров этой матрицы порядка то отличен от нуля.Без ограничения общности можно считать, что#0(4 )так как выполнения условия (4) всегда можно добиться, перенумеровывая переменные и уравнения связей в нужном порядке.Пусть х° есть точка условного минимума функции /о(ж).
Тогдасуществует окрестность К '(х°) = К[ (х®,..., x Qm ) х К'2(хат+1, ...,х ап ) такая , что/о(ж) —/о(ж°) > 0при всехж G Е П К '(х°).(5)В силу непрерывности частных производных и выполнения условия (4)можно применить теорему о неявных функциях (§ 28).
В силу этойтеоремы найдется такая окрестностьК (х°) = К г{х1,...,х°т) х К 2(х°т+1,...,х°п) С К '( х °)в которой система уравнений связей (1) определяет переменные х± ,......,x m как неявные функции переменных жто+ 1 ,...,ж п. Это означает,что найдется единственный набор непрерывно дифференцируемых вокрестности i f 2(* „ +1, ...,ж°) функций ipi(xm+i, ■■■■,жп), i = 1, тег, таких, что= ж?, i = 1, то;(6)T i(xQm+1 , fi ( Т Л ( Ж т + 1 1•••i %n)i ••• ; T m ( ^ m + 1 ; •••; Xn)i Жт - | - 1 , . . . , X n ) — 0 ,(УЛ ( Жт+1, .", Ж п ) ,...,ipm(xm^-i, .
. . ,X n ))при (жто+1 , ...,жп) G K 2{x°m+1, ...,ж°), i = 1, то.G K i (Xl, x m)(7)§ 60. Условный экстремум565Другими словами, множество Е П К ( х ° ) можно задать следующим образом:Е П К (х°) = {х: х = (жь ...,жп), (хт+1,x n) G К 2{х°т + 1, ..., ж°),(8)Так как К (х°) С К '(х°), то из неравенства (5) следует, что функция /о (х) принимает на множестве Е П К (х°) наименьшее значение вточке х°. Если взять представление множества Е П К (х°) в виде (8),то сложная функцияxt = <Pi(xm+ i , ■■;Xn), i =1, т о } .Е (х т^~i .....x n') —— /о(ТЛ (^т+1 ?•••? %п)-> •••;•••; %n)i ^ т + 1; •••; %п) (9)определена в окрестности К 2 {х ^ +1, •••,и принимает в этой окрестности наименьшее значение в точке (ж^+1, ..., х ап ).
Следовательно, всилу необходимых условий экстремума должно выполняться равенство dF (xi^n+1, . . . , = 0. Воспользовавшись инвариантностьюформы первого дифференциала и равенством (9), получаем, что£0.(10)k=1ЛВ равенстве (10) dxm+ i, ..., dxn есть дифференциалы независимыхпеременных, a dx 1 ,..., dxm — дифференциалы функций ipi, ...,(рт, зависящих от жто+ 1 , ..., х п. Для краткости будем говорить о независимых и зависимых дифференциалах.Найдем связи между зависимыми и независимыми дифференциалами. Дифференцируя тождества (7) в точке (x ^ +1, ..., x Qn ) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаемТ Ц У О , 1 п = а.
i . T m .(1 1 )Ei 84Умножая равенства (11) на множители А, и складывая полученныеравенства с равенством (10), находимП»= £к=1 4Й+*=iу *=*>=fc=iк<12>где Ь(х,Х) есть функция Лагранжа.Подберем множители А]*,...,Ада так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах в равенстве (12) обратились в нуль, т. е.dL(x°. A0)d f0(x°)хо dfi(x°)п—— - = АУ ’ + > А^ АУ ; = 0 ,dxi.dxi,гьОХ).г= 1гь.^, ^---к = 1 ,т ..10.(13)гьСистема уравнений (13) единственным образом определяет множители AJ,..., А)^, так как ее определитель (4) отличен от нуля.566Гл. X III.
Экстремумы функций многих переменныхПри выполнении условий (13) уравнение (12) примет вид0.(14,k= m +1Так как дифференциалы независимых переменных dxm+ d x nмогут принимать любые значения, то из (14) следует, чтодЬ(х°, А0),— тН — - = 0,k = то + 1,..., те.дхкОбъединяя равенства (13) и (15), получаем,15.дЬ(х°, А0),,—— тН — - = 0, к = 1,п.UXfcТак как точка х° G Е и, следовательно, удовлетворяет уравнениямсвязей, тодЬ{х°, А0)= /з(х ) = 0, j = 1, то.dXjТаким образом, (ж°,Л°) есть стационарная точка функции ЛагранжаЬ(х,Х). •Второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный при фиксированных А)1, .
. . , п о переменным x i,...,x n в точкебудем обозначать через d%,xL (x°, Х°).Таким образом,d lxL(x°, Х°) = ^ 2 ^ 2 9 я ^ д х - ^ dXk dXj •^к=1j=iк JИногда вместо d2xxL (xQ, А0) будем писать d2L(x°,X°).Обозначим через Ет следующее линейное многообразие в Rn:1?т = { с = ( С ь - , С » ) е Rn :=i = l^Fi}.(17)к=1 ХкРавенства (11) означают, что dx = ( d x d x n) G Ет•Т е о р е м а 2.
Пусть х° есть точка условного минимума функции/о(ж) гари наличии связей (1), и пусть функции fi(x ), i = 0,то, ижею т непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки х°, причем в точке х° ранг функциональной матрицы (3)равен то.Тогда найдутся множители Лагранжа А°,..., А„ такие, что (х°, А0)есть стационарная точка функции Лагранжа, a d2xxL (xa, А0) 0 при(dx 1 ,..., dxn) G Е Т.О Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа A ^-.^A ^ такие, что (ж0, А0) будет стационарной точкой функции Лагранжа, т.
е. выполняются условия (2). Повторяя рас-§ 60. Условный экстремум567суждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию (9), имеющуюбезусловный экстремум в точке (ж^+1, ж ° ) . Так как эта функцияимеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силутеоремы 2, § 59 должно быть выполнено условие сРF ( x ^ +1, ...,ж°) ^ 0.Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциаласложной функции и формулой (9), находим, чтопk =п1 3 =1д 2 / / 0\ПО£д х °дх . dXk dXj + ^к 3к = 1d2xk ^ °-(18)кДифференцируя два раза в точке ж„+1, ...,ж° тождества (7), получаем равенствапЕпЕк= 1 i = iо/ очпS f f e ) 'ь > + Ек 3к=1к, f n = °-(19)Если умножить каждое из равенств (19) на соответствующий множитель Лагранжа А? и сложить с неравенством (18), то получаем неравенство<РххЦ х °, А°) + ] Р а£(*°’ A°} Д2жй > 0.(20)fc=iПоследняя сумма в неравенстве (20) равна нулю, так как (ж0, А0) естьстационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются условия (2).
Таким образом, dfexL(x°, А0) ^ 0 при (dxi ,..., dxn) € Ет■ •Т е о р е м а 3 (достаточные условия условного экстремума). Пустьфункции fi(x ), i = 0 ,то, имеют непрерывные частные производныевторого порядка в окрестности точки х° G Rn, причем в точке х°ранг функциональной матрицы (3) равен гп, и пусть (ж0, А0) есть стационарная точка функции Лагранжа Ь(х, А).Тогда если dxxL (x°, \°) есть положительно определенная квадратичная форма при dx G Е т , то х° является точкой условного строгого минимума функции /о(ж) при наличии связей (1). Если d2xxL (x°, А0)есть отрицательно определенная квадратичная форма при dx G Ет,то х° — точка условного строгого максимума. Если <РххЬ (х°, А0) естьнеопределенная квадратичная форма при dx G Ет, то х° не есть точка условного экстремума функции /о (ж) при наличии связей (1).О ПустьЕ = {ж: fi (ж) = 0, i = 1,то}.(21)По условию теоремы функции /Дж), i = 0,то, имеют непрерывныечастные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы (3) равен то.
Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без ограничения общности считать, что выполнено условие (4) и что найдетсятакая окрестность К (ж0) = K i( x \, ■■■,xif l) х К 2 (хат+1, •••, ж°), что множество Е П К (х°) можно задать формулой (8). На Е П К (х°) функция568Гл. X III. Экстремумы функций многих переменныхfo(x) становится функцией п —то переменных F ( x m+ i , х п), определенной формулой (9) и имеющей непрерывные частные производные второго порядка.По условию теоремы (ж0, А0) есть стационарная точка функцииЛагранжа, т. е.— (ж°,А°) = О, к = Т~п;аг( 22 )дХк— (ж°,А°) = /*(ж°) = О,г=1,т.Из формул (22) следует, что х° G Е и чтоdxL(x°, А°) =9L{£f ] dxk = 0-(23)Рассмотрим функцию Ь(х, А0) на множестве Е П К (х°).
Очевидно,чтоЬ(х, А0) = /о (ж) = F( x m+i , х п)прих € Е П К (ж0).(24)В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы (24) следует, чтоdF(x°m+1,...,x°n) = dxL(x°,X°) = 0.(25)Находя второй дифференциал от обеих частей равенства (24) ииспользуя равенства (22), получаемгРт?! оV'V dv.\)d F (x m+1,...,x n) = 2 ^ } ^ ax .a x dxi dxk +k=l j =iJn k+ Ed2'Xk =A°)-(26)Пусть c£xL (x°, X°) > 0 при dx G E t , dx ф 0. Так как множество E f ] K ( x ) можно задать в форме (8), то, выбирая dxm+i,..., dxnпроизвольным образом, получим, что дифференциалы dxi , ..., dxm зависят от dxm+ i , d x n. Дифференцируя тождества (7) в точке ж0,получаем соотношения (11), которые означают, что dx G ЕтИз формулы (26) тогда следует, чтоd2F (x Qm+1, ...,ж®) > 0приdx2m+1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
