Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Назовем точку х° точкой строгого минимума функцииf(x ), если найдется такой шар Ss(x°) G G, что для всех х G Ss(x°)(т. е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполненонеравенство f( x ) > f(x °).Аналогично определяются точки максимума (строгого максимума) функции f(x ). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.Т е о р е м а 1. Если в точке экстремума х° функции f(x ) сущестd fвует частная производная - ^ —(х°), то она равна нулю.d fО Пусть, например, существует - ^ - ( х 0). Рассмотрим функцию оддх\ной переменной<p{xi) = f(x i,x l,...,x ° n).Так как х° — точка экстремума (пусть, например, минимума),то существует шар Ss(x°) такой, что f(x ) ^ f(x ° ) для всех точек558Гл.
X III. Экстремумы функций многих переменныхэтого шара. В частности, для любого х\ Е (х\ —S, х \ + S) должно бытьвыполнено неравенствоtp(xi) =^ f{x4, .. ., x°n ) = ip(x4).Функция одной переменной ip(x 1 ) имеет в точке ж? минимум. Поэтому£ ( * ? ) = О,т .» .£ ( * » ) = 0..С л е д с т в и е . Если в точке экстремума х° функция /(ж) дифференцируема, тоdf(x°) = Y ji—1(1)dxi = °-О Действительно, так как в точке х° функция /(ж) дифференцируема, то в этой точке существуют частные производныеd f ( п\),ОХ{г — 1,п, а так как х° есть точка экстремума, то ^ - ( х ° ) = 0.
ОтсюдаОХ{следует равенство (1). •Если функция /(ж) дифференцируема в точке ж0 и df(ж0) = 0,то точка ж0 называется стационарной точкой функции /(ж). Точкаэкстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждениеневерно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.П р и м е р 1.
Показать, что (0,0) является стационарной точкойфункции f( x ,y ) = х у , но (0,0) не есть точка экстремума этойфункции.Д Так как d f(x,y) = y d x + xdy, тоdf(0, 0) = 0 и (0, 0) есть стационарная точка функции f(x ,y ) . Но для любого S >> 0 точки (5, й) и (5, —й) лежат в круге525 (0,0) иf(S,S) = S2 > f ( 0,0) = 0,f ( S , - S ) = - 6 2 < f ( 0 , 0)= 0.Поэтому (0, 0) не есть точка экстремумафункции f(x ,y ) . График функции z = ху изображен на рис.
59.1. АЛ е м м а 1. Если функция одной переменной ip(t) имеет производные первого и второго порядков в точке минимума t = 0, то (р"(0) ^ 0.О Пусть t = 0 является точкой минимума функции ip(t). Тогда найдется число г > 0 такое, что для всех \t\ < £ выполняется неравенство ip(t) — ip(0) ^ 0. Применяя разложение функции ip(t) по формуле§59. Экстремумы функций многих переменных559Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получаем, воспользовавшись тем, что в точке минимума </?'(0) = 0:0 ^y ( t ) - у(0) =1_^ , ( 0 ) t + ^ , ( 0 ) ? + о{Ц = 1 ^ , (()) +о(1)(1)при t —¥ 0.Переходя в этом неравенстве к пределу при t —¥ 0, получаем, что(р"(0) > 0.
•Т е о р е м а 2 (необходимое условие минимума). Пусть функция/(ж) имеет в окрестности точки минимума х° € Rn непрерывныечастные производные первого и второго порядка. Тогдаdf(x°) = 0,d2f(x ° )п пя‘>fЕ Е -Ш ~ Ь {х0) dXi dxi > °i=l j = l*(2)JО Пусть x° — точка минимума функции /(ж). Тогда найдется шарSs(x°) такой, что при всех £ € Ss(x°) выполнено неравенство /(£) ——f ( x °) 0 0. Пусть х € Rn и х ф ж0, тогда |Дж| = р(ж, ж0) > 0. При лю£бом t таком, что |£| < —-—г, точка ж0 + t А х € ^ ( ж 0), и поэтому ip(t) =\1лх\= /(ж 0 + t А х) —/(ж 0) ^ 0.
Функция tp(t) определена в окрестноститочки t = 0 и имеет при t = 0 минимум. В силу формул (4) и (5),§ 58 функция tp(t) имеет в точке t = 0 производные первого и второгопорядков, причемт"(о)ЕЕ dx* = d2/(*0)*=i i= i * jТак как в силу леммы 1 должно выполняться неравенство ip"(0) ^ 0,то d2f(x ° ) > 0. •З а м е ч а н и е .
А налогично д о к азы вается , ч то для ф у н к ц и и / ( ж ) , дваж ды н епреры вн о диф(|ди ф ф ер ен ц и р у ем о й в о к р ес т н о с ти т о ч к и м а к с и м у м а х°, вып олн яю тся условияdf(X й) = о, d2f ( x u) «с о.Условия d f ( x °) = 0 и d2/ ( ж0) ^ 0 необходимы, но не достаточныдля того, чтобы точка ж0 была точкой минимума. Например, функция/(ж , у) = ж3 + у3 имеет единственную стационарную точку ж = у = 0,и в этой точке (P f(0,0) = 0. Легко убедиться, что функция /(ж , у) неимеет экстремума в точке (0,0).2.Д остаточны е услови я э к с тр е м у м а .
При доказательстве достаточных условии потребуются некоторые сведения о квадратичныхГл. X III. Экстремумы функций многих переменных560формах. Напомним, что квадратичная формапф (с) = ЕпЕг=1 j = 1а« ^ - ’(з)где £ = (£i, ...,£„) € Я” , ау = ау , называется:а) положительно определенной, если Ф(£) > 0 для любого £ ф 0;б) отрицательно определенной, если Ф(£) < 0 для любого £ ф 0;в) неопределенной, если существуют £ и £' такие, что Ф(£) > 0, аФ(£') < о.Критерий Сильвестра положительной определенн о с т и к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы [7].
Квадратичная форма положительно определена в том и только том случае, когда все главныеминоры ее матрицы положительны, т. е.Ai —а ц > 0,Д2 —СХцСХ\2(X21 (X22(Хц>0,дп=0"п1...&\ па ПП>о.(4)Заметим также, что квадратичная форма Ф(£) отрицательно определена в том и только том случае, когда квадратичная форма —Ф(£)положительно определена.Л е м м а 2. Если квадратичная форма Ф(£) положительно определена, то найдется такое положительное число 7 , что<*>(£)> 7|£Р, где |£| = ^ £ ? + ... + &О Рассмотрим квадратичную форму Ф(^) на сфере(5)S = {r): гЦ + ... + гЦ = 1}.Так как точка 0 ^ S, а квадратичная форма положительно определена, то Ф(^) > 0 в любой точке г/ € S.Очевидно, что S есть замкнутое и ограниченное множество в Rn.Непрерывная на компакте S функция Ф(^) принимает в некоторойточке rj € S свое наименьшее на S значение (теорема Вейерштрасса).Поэтому, полагая 7 = Ф ( ^ ) , получаем, что 7 > 0 и что для любой точки7) € S выполняется неравенство Ф(^) (7 7 .Если £ ф 0, то точка £/|£| принадлежит сфере S.
ПоэтомуПользуясь однородностью квадратичной формы, получаем£ • « - • ( * ) > *•Т е о р е м а 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функцияf(x ) имеет в окрестности точки х° € Rn непрерывные частные производные второго порядка, и пусть df(x°) = 0. Тогда если второй дифференциал cPf(x°) есть положительно определенная квадратичная§59. Экстремумы функций многих переменных561форма (см. формулу (2)), то х° — точка строгого минимума функции/(ж), если с Р /(ж 0) — отрицательно определенная квадратичная форма, то х° — точка строгого максимума функции /(ж), если с Р f(x ° ) —неопределенная квадратичная форма, то функция /(ж) не имеет экстремума в точке х°.О Воспользуемся формулой (6) из § 58 при то = 2.
Учитывая, чтоdf(x°) = 0, получаемf( x ) - /(ж 0) = | cPf(x°) + о(|Дж|2) при | Дж| -э 0,(6)ГД6|Дж|2 = Дж2 + ... + Дж2.Пустьi=i j= iJесть положительно определенная квадратичная форма. В силу леммы 2 существует такое положительное число у, чтоcPf(x°) > у |Дж|2.Применяя это неравенство к формуле (6), получаем/(ж) - /(ж 0) > | |Дж|2 + о(|Дж|2) = ^ |Дж|2(1 + а(Дж)),(7)где а(Дж) —1 0 при Дж —1 0, откуда следует, что найдется шар Ss(x°)такой, что Уж € Ss(x°) выполнено неравенство |а(Дж)| < - .Тогда из формулы (7) следует, что Уж € Ss(x°) выполнено неравенство/ ( ж ) — / ( ж 0 ) > ^ | Д ж | 2 (1 — | а ( Д ж ) | ) >^ | Д ж |2 > 0.Следовательно, ж0 — точка строгого минимума функции /(ж).Аналогично доказывается, что в том случае, когда cPf(х°) есть отрицательно определенная квадратичная форма, ж0 — точка строгогомаксимума функции /(ж).Если сР/(х°) есть неопределенная квадратичная форма, то не выполняется необходимое условие минимума cPf(х°) (7 0 (см.
теорему 2). Поэтому ж0 не есть точка минимума функции /(ж). Аналогично доказывается, что ж0 не есть точка минимума функций —/(ж), т. е.точка максимума функции /(ж). •П р и м е р 2. Исследовать на экстремум функцию/(ж, у, z) = ж2 + 2жу + 4xz + 8yz + 5у2 + 9z2.Д Найдем стационарные точки функции /(ж, у, z). Они определяютсяиз системы уравнений^ = 2ж + 2у + 4z = 0,дхdz^ = 2ж + 10у + 8z = 0,ду= 4х + 8у + 18^ = 0.Гл. X III. Экстремумы функций многих переменных562Определитель этой системы224210848181 1 21 5 42 4 9= 8= 8 • 16 > 0.Поэтому единственное решение однородной системы есть х = у == г = 0.Итак, функция f ( x ,y ,z ) имеет единственную стационарную точку (0,0,0).
Найдем d2/(0 ,0 ,0 ). Имеемd2/(0 ,0 ,0 ) = 2 dx24 dx dy + 8 dx dz + 16 dy dz + 10 dy" + 18 dz"Так какоV210со22нД2 =<1Дг = 2 > 0,22421084818= 8 - 16 > 0,то в силу критерия Сильвестра квадратичная форма d2/(0 ,0 ,0 ) положительно определена.
Точка (0,0,0) является точкой строгого минимума функции f( x ,y ,z ) . ▲Уп р а жн е н и е 1. Показать, что квадратичная форма (3) отрицательноопределена в том и только том случае, когда выполнено следующее условиедля ее главных миноров: Ak( —l)k > 0 , к = 1,п.Ука з ание .
Воспользоваться критерием Сильвестра положительнойопределенности квадратичной формы —Ф(£).Уп р а жн е н и е 2. Показать, что для функции двух переменных f(x, у),имеющей непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (хо, уо), условияУ- (»■»)ОХ/ х х( х 0,у о)> оJ/ х уо,(xo,yo)/ду ( » ,» )/ х х(хо,У о)/уу(хо,уо)<0достаточны для того, чтобы точка (хо, у о) была точкой строгого минимумафункции f (х, у).§ 60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
