Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Множество Ь^' (а, Ь) является линейным пространством с естественными операциями сложения и умножения на комплексные числа.О Пусть функции / , (р € Ь(ф{а,Ь). Из неравенстваI/ +И2=(/ +ф)(7 +ф)=/7++w^ | / | 2 + М 2 + 2 | / | ф К 2 | / | 2 + 2М2§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного603и признака сравнения для несобственных интегралов следует, что неftсобственный интеграл J \ f + (р\2 d x сходится и, следовательно,/ + ф е Ь°(а,Ъ).Если / £ L ^ a , Ь), то и a f £ L^(a,b) для любого а £ С. Проверкавсех аксиом линейного пространства тривиальна. •Договоримся не различать две функции / ииз пространстваL 2 (а, Ь), если их значения не совпадают лишь в конечном числе точек.J1 е м м а 2.
Линейное пространство LЦ(а, Ь) будет унитарным, если определить скалярное произведение функций f , i p £ L (i (а, Ь) при помощи следующей формулы:ь(f,V>) = J f { x ) i p { x ) d x .(3)аО Так как \/Щ sC i | / | 2 + i |<р|2 , то по признаку сравнения несобственный интеграл (3) сходится. Первые три аксиомы скалярного произведения проверяются без труда. Проверим выполнение аксиомы 4).ьПусть ( / , / ) = J \ f \ 2dx = 0. Так как / £ L^{a, b), то найдется такоеразбиение отрезка [а, Ь] точками {ж*}, г = 0, те, что на каждом из интервалов ( xi - i , Xi ) функция f ( x ) непрерывна. Так как (ж*_1 ,ж*) С [а,Ь], тоХ{f | / ( ж )|2 d x =0,i = l,n.Xi- 1Из этого равенства следует, что f ( x ) = 0 на любом интервале( x i - i , X i ) , i = l , n .
Следовательно, функция f ( x ) отлична от нуля лишьв конечном числе точек. Согласно договоренности такая функцияотождествляется с функцией, тождественно равной нулю на [а,Ь]. •2.Нормированные пространства. В нормированных пространствах определены длины векторов, но нет скалярного произведения. Более точно, комплексное или вещественное линейноепространство Е называется нормированным, если каждому элементу х поставлено в соответствие неотрицательное число ||ж|| (нормаэлемента х), причем удовлетворяются следующие аксиомы нормы:1) ||Аж|| = |А| • ||х|| для любого х £ Е и любого А £ С;2) ||ж + у || ^ ||ж|| + |М| для любых х, у £ Е;3) ||х|| = 0 в том и только том случае, когда х = 0.Если Е есть унитарное пространство, то число ||ж|| = л/(х, х) удовлетворяет всем аксиомам нормы, и поэтому каждое унитарноепространство будет и нормированным пространством.Множество непрерывных функций на отрезке [а, Ь] станет нормированным пространством С[а, Ь], если определить норму функцииГл.
X IV . Ряды Фурье604следующим образом:11/ 11= m a x |/(ж )|.( 4)а^х^оВсе аксиомы нормы проверяются без труда.Заметим еще, что любое нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, если ввести метрику следующим образом:Р(х,у) = ||ж - у ||.(5)Из аксиом нормы тогда следует, что для расстояния (5) выполняются все аксиомы метрики:1) р ( х , у ) = р( у , х) ;2) р(х,у) + p(y,z) > p(x,z);3) р(х, у) = 0х = у.Поскольку нормированные и унитарные пространства есть частные случаи метрических пространств, то на них переносятся все метрические понятия, например понятие предела последовательности.3.Сходимость.
Полные пространства. Гильбертовы пространства. Будем говорить, что последовательность точек {хп} унитарного пространства Е сходится к точке х € Е, еслиlim \\хп —ж|| = 0.(6)П—¥ООЗапись lim х п = х означает, что выполнено равенство (6).п—tooЛегко доказываются следующие свойства пределов:а) если lim х п = х и lim уп = у, топ—>ооп —toolim (хп + уп) = lim х„ + lim уп = х + у;П—¥ООб) если <\„ (гR.П—¥ООП—¥ООх„ (г /•' и lim х п = х, lim а п = а , тоП—¥ООП—¥ООlim а пх п = ах;П—¥ООв) сходящаяся последовательность ограничена, т.
е. если существует lim х п = х, то найдется число С > 0 такое, что для всех ri € NП—tooвыполнено неравенство ||жп|| ^ С;г) скалярное произведение непрерывно, т. е. если lim х п = х ип—>ооlim уп = у, тоИ т (хп, у п) = (х,у).П—¥ООО Пусть lim х п = х и lim уп = у • Так как сходящаяся последоп—tooп—tooвательность ограничена, то существует такое число С, что ||уп|| ^ Сдля всех п а N.
Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского,получаем, чтоI(хп,Уп) ~ (х,у)\ = \{хп - х , у п) + ( х , у п - у )| ^^ I W I • IIх п - ж|| + ||ж|| • ||у„ - у || ^ С||жп - ж|| + ||ж|| • ||у„ - у\\ -X 0при п -X оо. Следовательно, lim (хп, у п) = (х , у ). •§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного605З а м е ч а н и е .
С ходи м ость в п р о с т р а н с тв е Ь 2 н а зы в аю т сх оди м о стьюв см ы сле средн его квад р ати ч н о го .Будем говорить, что последовательность точек х п унитарного (илинормированного) пространства Е фундаментальна, если для любогог > 0 найдется номер N такой, что для всех n, т ^ N выполненонеравенство \\хп — х т \\ < £.Введенное понятие фундаментальной последовательности точекунитарного пространства находится в полном соответствии с введенным ранее в § 23 понятием фундаментальной последовательноститочек метрического пространства.
Достаточно вспомнить формулур(х,у) = ||ж —у ||, задающую метрику в унитарном пространстве. Если последовательность сходится, то она фундаментальна (см. § 23). Впроизвольном унитарном пространстве фундаментальная последовательность может не сходиться.Говорят, что унитарное (нормированное, метрическое) пространство полное, если любая фундаментальная последовательность еготочек сходится к точке этого пространства.Полное нормированное пространство называется банаховым, полное унитарное бесконечномерное пространство называется гильбертовым.Нетрудно видеть, что каждое конечномерное унитарное пространство будет полным (критерий Коши сходимости в пространстве Rn).Покажем, что существуют неполные бесконечномерные унитарные пространства. Например, пространство LJ?(0,1) неполное.О Для доказательства рассмотрим счетноемножество точекI - ——5 2 ’ 22 ’ ***5 2П5Построим следующую функцию (рис.
70.1):22п+1 ^ Х < 2 ^ ’/О) =0’^ = 0,1,...,22п ^ х < 22п-1 ’ п = 1,2,...Очевидно, что / 0 LJ?(0,1), так как множество ее точек разрыва счетно. Построим последовательностьf n( x ) =/(» ,0,0 < Ж< ^ .Покажем, что последовательность / п фундаментальна в пространстве(0,1). Так как на отрезке [1/2п,1] функции f n+p и f nГл. X IV . Ряды Фурье606совпадают, то11/2пII/п+р - /п ||2 = j Ifn+p(x) - f„(x) I2 dx = J If n+p - f n I2 dx ^00^ — ma x |/„ +p - /„I ^ — с e при те > N(e).Последовательность { f n} фундаментальна.
Покажем, что она неможет быть сходящейся. Если ip £ L ^O , 1) и ||/ n —р\\2 -X 0, то длявсех то £ N выполнено условие1/2™/1/п —ip\2 d x —¥ 0прите -+ оо.1 / 2 т +1Если те > то, то / п = / при ж €• Поэтому1/2™\f -<р\2 dx = 0,Jто = 0,1,...(7)1 j 2г о + 1Так как функция </?(ж) имеет конечное число точек разрыва, топри достаточно большом то на интервале ^ то+1 >^ ) У функции </?(ж)точек разрыва не будет, функция /(ж) непрерывна на этом же интервале. Поэтому из (7) следует, чтоf(x)=p(x)прито = А/ + 1,...Но тогда функция р, как и функция / , должна иметь счетноемножество точек разрыва и, следовательно, не может принадлежатьпространству L^{a, b). Итак, пространство L^{a, b) неполное.
•4.Пополнение унитарного пространства. Два унитарныхпространства будем называть изоморфными, если можно установитьтакое взаимно однозначное отображение F пространства Е\ напространство Е 2 , что для любых х ,у € Е и любого а £ С выполненыравенстваЕ (х + у) = F(x) + F(y),F(ax) = aF(x),(Fx, Fy) = (x, y).Подмножество L унитарного пространства E, само являющеесяунитарным пространством с тем же скалярным произведением, называется подпространством пространства Е.Пусть А и В — подмножества унитарного (или нормированного)пространства Е.
Еоворят, что В плотно в А, если для любого е > 0 илюбого х £ А найдется у £ В такой, что ||ж —у || < е.J1 е м м а 3. Если А, В, С С Е и С плотно в В, а В плотно в А,то С плотно в А.§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного607О Пусть г > 0 и ж G А. Так как В плотно в А , то найдется у Е Втакой, что ||ж —у || < г / 2 . Так как С плотно в Б , то найдется z £ Стакой, что ||у —z\\ < г / 2.
Тогда\\х - z\\ sC \\х - у\\ + \\у - z\\ < | + | = е.Следовательно, С плотно в А. •Л е м м а 4. Подпространство функций , непрерывных на отрезке[а, Ь] и принимающих на концах этого отрезка равные<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
