Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 98
Текст из файла (страница 98)
+ dx2 > 0.(27)Из (25) и (27) получаем, что (ж^+1, ...,ж)() есть точка строгого минимума функции F (x m+i, ...,х п), т. е. ж0 есть точка строгого минимумафункции /о(ж) на множестве Е П К (х°). Таким образом, ж0 есть точкастрогого условного минимума функции /о(ж) при наличии связей (1).Аналогично рассматривается случай, когда (ftxxL (ж0, А0) < 0, dx G€ Ет, dx ф 0. Если же d2xxL(ж0, А0) при dx G Ет есть неопределенная квадратичная форма, то не выполняется условие dxxL(ж0, А0) ^ 0§ 60.
Условный экстремум569при dx € Е т , являющееся, в силу теоремы 2, необходимым условиемминимума. Поэтому х° не есть точка условного минимума функцииfo(x) при связях (1). Аналогично доказывается, что х° не может бытьточкой условного минимума функции —/о(ж), а следовательно, и точкой условного максимума функции /о(ж) при связях (1). •За ме ч а ние . Если окажется, что dxxL(x°, А0) есть положительно определенная квадратичная форма на всем пространстве R n, то dxxL(x°, А0) > Ои при dx € Е т , dx ф 0.
Поэтому в этом случае в квадратичной формеdxxL(x°, А0) не нужно исключать зависимые дифференциалы.П р и м е р 1. Найти экстремумы функции х —2у + 2z = и и на сфере X2 + у2 + Z2 = 1.А Строим функцию ЛагранжаL (ж, y ,z , А) = х —2у + 2z + Х(х2 + у2 + х 2 — 1).Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая системууравненийягягяг^ = 1 + 2Аж = 0, УЕ = - 2 + 2Ху = 0, ^ = 2 + 2Az = 0,дхдудгdL2|2|21п— = х + у + z - 1 = 0.дХИсключая из этой системы х, у, z, получаем ( — .
, .\ 2А/\А—1 = 0, откуда Ai = | , А2 =У функции Лагранжа есть две стационарные точки,*=-!•!)■Так как d2L(Af1) = 3(dx2 + dy2 + dz2) > 0, a d2L(M 2) = ^ 3 (dx2 ++ dy2 + dz2) < 0 при dx2 + dy2 + dz2 > 0, to ( —i , | , —| ) — точка(12\33 3/2\условного минимума, a ( —, ——, -— точка условного максимумафункции и = х — 2у + 2х при наличии ограничения х 2 + у2 + z 2 — 1 =0, причем « т т = —3, «тах = 3. ▲П р и м е р 2. Найти условные экстремумы функции /о(ж, у) = еаху,а ф 0, при наличии ограничения f i ( x , y) = х 3 + у3 + х + у — 4 = 0.А Построим функцию Лагранжа:Ь(х, у) = еаху + Х(х3 + у 3 + х + у —4).Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системыГл. X III. Экстремумы функций многих переменных570уравнении= ауеаху + А(3ж2 + 1) = 0,Щ = ахеаху + А(3у2 + 1) = 0,(28)= х 3 + у 3 + х + у - 4 = 0.иХУмножая первое уравнение на х, а второе на у и вычитая, получаемА(Зж3 —3у3+ х —у) = Х(х —у)( Зж2 + 3ху + 3у2 + 1) = 0.(29)Если А = 0, то из первых двух уравнений (28) получаемх = у = 0.Но х = у = 0 не удовлетворяет уравнению связи.
Итак, А ф 0, поэтомуиз (29) следует, что х = у (второй сомножитель всегда положителен:3(ж2 + ху + у2) + 1 > 0). Подставляя х = у в уравнение связи, получаем х 3 + х = 2, х = у = 1. Первое из уравнений (28) дает при х = у = 1значение А = —- еа.4Итак, ^1, 1, —ции Лагранжа.Так какесть единственная стационарная точка функd(eaxy) = a( xdy + ydx) еаху,d2(eaxy) = a2(xdy + у dx)2 еаху + 2 a d x d y e axy,d2 (х3 + у3 + х + у - 4) = 6ж dx2 + 6у dy2,то для второго дифференциала функции Лагранжа при Ац = —^ е а их = у = 1 получается следующее выражение:d2L( 1,1, Ао) = аеа |'a(dx + dy)2 + 2 d xdy — | ( dx2 + dy2)j .(30)Дифференцируя уравнение связи при х = у = 1, получаем, что d y ++ dx = 0.
Подставляя dy = —dx в уравнение (30), получаем равенствоd2L (l, 1, Ао) = —5аеа dx2.(31)Поэтому при а < 0 в точке (1,1) будет условный минимум, а приа > 0 — условный максимум функции /о(ж, у) при наличии связи х 3 ++ у3 + х + у = 4, причем экстремальное значение функции равно е ° . ▲З а ме ч а ние . Уравнение связи х3 + у3 + х + у = 4 было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа дляпримера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.4.
Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так ифункций более общей природы) при наличии ограничений являютсявесьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. В § 60 были рас§ 60. Условный экстремум571смотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи).
Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничениязадаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеютсодержательную интерпретацию. Так, в механике множителиЛагранжа задают реакции связей, а в математической экономике —цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ X III1.
Ф у н кц и ю (х + у)ех~у р азл о ж и ть в о к р е с тн о с т и т о ч к и (0 ,0 ) по ф о р м у ле Т ейлора, у д ер ж и в ая члены до т р е т ь е г о п о р яд ка м алости вкл ю ч и тел ьн опри (х,у) -А (0, 0).2. Ф у н к ц и ю ch х sin у р азл о ж и ть в о к р ес т н о ст и т о ч к и (0, 0) по ф орм улеТ ейлора, у д е р ж и в а я члены до п ято го п ор яд ка м ал о сти в кл ю ч и тел ьн о при(х.,у) -А (0, 0).3 . Ф у н к ц и я f(x), оп ределен ная на в ы п у кл о м м н о ж е ств е G в евкли довомп р о с т р а н с т в е R , н азы в ае т с я вы п уклой на G, если для лю бы х х уу € G идля лю бого t € [0, 1 ] выполнено н еравен ствоf(t x + (1 - t)y) ^ tf(x) + (1 - t)f(y).П о казать, что для монотонно в о зр астаю щ ей вы п уклой ф у н к ц и и ip: R —¥—¥ R и вы п уклой на в ы п у кл о м м н о ж еств е G ф у н к ц и и / к ом п ози ц и я tp о fб удет вы п уклой ф у н к ц и ей на м н о ж е с тв е G.4. Ф у н к ц и я / : G —¥ R н а зы в а е т с я стр о го вы п уклой на в ы п у кл ом множ е с т в е G С R'1, если для лю бы х х, у € G и для лю бого t € (0 ,1 ) выполненон еравен ствоf(t x + (1 - t)y) < tf(x) + (1 - t)f(y).П о казать, ч то стр о го в ы п у к л а я в вы п уклой области G ф у н к ц и я не мож е т и м еть в это й области более одного локального м и н и м у м а.5.
П усть ф у н к ц и я / : G —¥ R д в аж д ы непреры вн о д и ф ф ерен ц и ру ем ана вы п уклой области G С R'1. П о казать, что она б у д ет стр ого в ы п у к л а вобласти G, если второй ди ф ф ерен ц иал d~f(x) е с ть п олож ительно определенн ая ф орм а ди ф ф ерен ц иалов н езави си м ы х п ер ем ен н ы х dx i , ..., dxn в каж д ойт о ч к е области G .6 . И сследовать на э к с т р е м у м сл еду ю щ у ю к в а д р а т и ч н у ю ф орм у: и == аг + у2 + г2 + 12ху + 2zy.7.
И сследовать на э к с т р е м у м ф у н к ц и ю и =хугпри н али ч и и связейх + у + z = 0, z~ + у~ + z~ = а".8 . П о казать, что наибольш ее и н аи м ен ьш ее зн а ч е н и я к в ад р ат и ч н о й фор-ппЕЕп'dij XiXj на сф ере У .г, = 1 равны наибольш ем у и н аи м ен ьш ем уi=1 j =1i=1со б ств ен н ы м зн ач ен и ям м атр и ц ы к в ад р а ти ч н о й ф ормы .9. Н ай ти условны й э к с т р е м у м ф у н к ц и и и = exyz при о гр ан и чен и и х2 +МЫ+ у2 +Z2= 1.Г Л А В А XIVРЯ Д Ы ФУРЬЕВ науке и технике возникают разнообразные задачи, связанные сизучением реакции L f некоторого сложного объекта на внешнее воздействие / . Часто эту реакцию можно считать линейно зависящейот воздействия / . Допустим, что известна реакция объекта на некоторое счетное множество простых воздействий /„ , п € N.
Если естьвозможность представить сложное воздействие / в виде линейнойкомбинации простых воздействий, то в силу линейности оператора Lи реакцию системы можно представить в виде линейной комбинацииреакций на простые воздействия. Возникает проблема представлениязаданной функции в виде конечной или бесконечной линейной комбинации известных простых функций. Например, в теории колебанийвозникает проблема разложения сложного колебания в сумму простых гармоник вида А/. sm(u>kt + ац,), где ш/. — известная последовательность частот.
В строгой математической постановке подобныезадачи изучаются в теории рядов Фурье.§ 61. Ортогональные системы функций.Ряды Фурье по ортогональным системам1.Ортогональные системы функций. Говорят, что системанепрерывных на отрезке [а, Ь] функций (pi,...,(pn — ортогональна наотрезке [а,Ь], еслиьJip n(x) ipm(x) dx = 0 для те, то € N и те ф то.(1)аЕсли, кроме того,ьJifin(x)dx = 1 для те G А/,(2)ато система функций {у>„} называется ортонормированной на отрезке [а,Ь\.Например, тригонометрическая система1Zi7ГХcos— ,I.7ГХs i n— ,I...,П7ТХcos —-—,1.717ГХsm —— ,1ортогональна на отрезке [—1,1] (§ 36, пример 1 и упр. 3)....(3)§61.
Ортогональные системы функцийТак какI2j Q j dx = j cos2 Т- ^ ~ dx = j sin2 T- ^ ~ dx = I,-i-i-i573n £N,(4)то, поделив все функции тригонометрической системы (3) на л/1, апервую из этих функций на л/1/ 2, получим ортонормированную наотрезке [—1,1] тригонометрическую систему1—= ,л/2117ТХ1—=cos— ,лДI.7ТХ—=sm — ,лДI.../Г Ч(5)При I = тттригонометрическая система (3) имеет особенно простой вид- , cosar, sina:, ..., cosnx, sinnx, ...(6)и ортогональна на отрезке [—7г,7г].П р и м е р 1.
Многочлены Лежандра1Ьп^те”= 2^!^ 1)П’ne/V’L A X) = 1 ;образуют ортогональную систему функций на отрезке [—1,1].А Доказательство ортогональности многочленов Лежандра на отрезке [—1,1] сводится к проверке при те > то тождества\ те”те™J=А— (ж2 _ 1 )” А— (ж2 _ \')m d x = 0.J dxnJ dxmXJ-lВоспользуемся тем, что i = 1 и i = - 1 есть нули кратности темногочлена (а:2 —1)” . Поэтому все производные многочлена (а:2 —1)”до порядка те —1 включительно обращаются в нуль в точках х = 1 иX = —1.Интегрируя выражение J по частям, получаем, что\ jn -1jro+lJ = - f/ dxn~~iт(х2 - 1 ) " dxmJrА х 2 ^ l ) m dx = ...-i1jjn+mn+m-------- ,( - ! ) * / ( «(ar» - 1 Г dxn+m-l44,>так как те + то > 2то, многочлен (а;2 —1)та имеет степень 2то, а производная от многочлена порядка, более высокого, чем степень многочлена, тождественно равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
