Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 93
Текст из файла (страница 93)
X II. Теория поля542§ 56. Ф ор м ул а О ст р о гр а д с к о го -Г а у сс а1.О бщ ая ф о р м у л и р о в к а т е о р е м ы . Пусть G С R 3 — ограниченная область, граница которой 8G есть кусочно гладкая поверхность,ориентированная внешними нормалями. В G = G U 8G задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а = (P,Q,R).
Тогда потоквекторного поля а через границу области 8G равен тройному интегралу от div а по области G, т. е.а)J J (a, n) dS = J J J d iv a dG,dGGилиJ J P dydz + Q d z d x + R d x d y = J J J ( ^ + ^dG+ ^ ) dxd y dz- (2)GО Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важном частном случае, когда область G еще и элементарна относительновсех трех координатных осей. Напомним, что область G называетсяэлементарной относительно оси г, если найдутся две такие непрерывные в замыкании области О С R2 функции ср(х,у) и ф(х,у), чтоG = {(ж, у , z ) : <р(х, у) < z < ф(х, у ), (ж, у) <Е О}.Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному,получаемф(х,у)jjjj^(x,y,z)dxdydz = jjdxdyGQJ x,y,z)dz =(p( x, y)= J J R{x, y, Ip(x, y)) dxdy - J J R(x, y, ip(x, y)) dx dy == J J R(x,y, z) dx dy + J J R (x ,y , z) dx dy.Ei(3)E2Здесь Ei — поверхность, являющаяся графиком функции ф{х, 2/),а Е2 — поверхность, являющаяся графикомфункции ср(х, 2/).Мы воспользовались выражением поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл и тем, что поверхность Eiориентирована внешними к 8G нормалями,которые составляют с осью г острый угол,а на поверхности Е 2 внешние к 8G нормалисоставляют с осью г тупой угол (рис.
56.1).Добавляя к двум поверхностным интеграламв формуле (3) еще равный нулю интегралJ J R d x dy по куску цилиндрической поверх-£3§ 56. Формула Остроградского-Гаусса543ности, построенной на дП, и замечая, что 8 G = (J £^, получаем(4)J J J ^ { x , y , z ) d x d y d z = J J Rdxdy.GdGАналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей х и у, докажем, чтоJJJ^ -d x d y d z — J J Pdydz,J J J ^ - d x d y d z = J J Qdzdx. (5)GdGGdGСкладывая равенства (4) и (5), получим формулу (2).Примерами областей, элементарных относительно всех трехкоординатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис.
56.2)).Точки А, В, С, D — вершины симплекса, треугольники A B C , A B D , AC D иBC D — грани симплекса.Дальнейшая схема последовательногорасширения класса областей, для которых справедлива формула (2 ), такая же,как и при доказательстве формулы Гринана плоскости.Будем называть область G объемно односвязнощ если для любойограниченной области П из условия дП С G следует, что и О с G.
Дляпростоты будем говорить просто “односвязная область” . Формулу (2) теперь можнообобщить на ограниченную односвязнуюобласть G с кусочно гладкой границей, которая кусочно гладкой перегородкой делится на две области, G\ и G 2 , элементарныеотносительно всех трех координатных осей.При этом dG\ — £ 1 U £ 3 , 8 G 2 = £ 2 U £ 3",8 G = £ 1 U £ 2 . Если 8 G\ и 8 G 2 ориентированы внешними нормалями,то £ 3 и £^“ ориентированы противоположно (рис. 56.3).Применяя формулу (2) к каждой из областей G\ и G 2 , получаемJ J J div a dx dy dz = J J (a, n) dS = J J (a, n) dS + J J (a, n) dS,GidGxEi£3J J J div a dx dy dz = J J (a, n) dS = J J (a, n) dS + J J (a, n) dS.g2og2£2Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу (2 ) для области G.Гл. X II.
Теория поля544Далее индукцией формула (2) распространяется на односвязныеобласти с кусочно гладкой границей, которые при помощи п непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером такихобластей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств.
Их всегда можно представить как объединение симплексов. Можно распространить формулу (2) и на произвольные многогранники — связные множества в /?3,являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем двасимплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждаягрань может быть общей не более чем для двух симплексов.Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. •Формула (2) подобно формуле Грина может быть обобщена на некоторые неодносвязные области. Область с одной “дырой” будем называть двусвязной.
Другими уловами, двусвязная область — это область G такая, что G = G\ \ G2, где Gi и G 2 — односвязные области и G 2 С Gi. Будем поверхность dG\ называть внешней границейдвусвязной области G, a <9G2 — внутреннейграницей G (рис. 56.4).Будем каждую из поверхностей dGi ориентировать внешними по отношению к соответствующей области G\ или G2 нормалями.
Тогда, разрезая гладкой перегородкойобласть G на две односвязные области, применяя к каждой из областей формулу (2),складывая полученные формулы и учиты' 'вая, что потоки через перегородку должны взаимно уничтожаться, получаем формулу (2) для двусвязной областиJ J J div a dxdy dz = J J (a, n) dS — J J (a, n) dS = J J (a, n) dS. (6)GdGidg 2QGЗдесь под границей dG понимается объединение внешней и внутренней границ, ориентированных внешними по отношению к области G нормалями.
Формула (2) обобщается на n-связную (с п “дырами”) ограниченную область с кусочно гладкими границами.2.Н ек о то р ы е п р и м ен ен и я ф ор м ул ы О с т р о г р а д с к о г о -Г а у сс а . Формула Остроградского-Гаусса является основным инструментом, позволяющим переходить от записи законов природы в виде законов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. Смногочисленными примерами читатель встретится при изучении основ гидродинамики и других разделов физики.
Многочисленны применения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.§ 56. Формула Остроградского Гаусса545Приведем несколько примеров.а)Формула для вычисления объема через поверхностный интеграл.Если Р = х, Q = у, R = z, тоdP_ + dQ + dRдхдудги по формуле (2) получаемб)Инвариантность diva. Пусть в области G задано непрерывно дифференцируемое поле а (Р). Пусть Se(P) есть шар радиуса е сцентром в точке Р, a dSe(P) — его граница (сфера), ориентированная внешними нормалями. Тогдаj j (a, n) dS(diva)p =(7)О Действительно, применяя к Se(P) формулу (2), получаемdSe(P)S e ( P)Воспользуемся теперь интегральной теоремой о среднем:m(Se(P ))(d iv a)P. =JJ(a,n)dS,Р* G Se(P).(8)dSe( P)Формула (7) получается, если перейти к пределу в (8) при е —^О и воспользоваться непрерывностью функции d iv a (М) в точке Р.Нетрудно видеть, что вместо шара Se(P) можно выбрать любоесемейство окрестностей Ge(P) с кусочно гладкими границами, диаметры которых стремятся к нулю при е —^ 0.Так как поток не зависит от выбора координатной системы, то изформулы (7) следует, что и d iv a не зависит от координатной системы.
•В некоторых случаях применение формулы Остроградского-Гауссаупрощает вычисление поверхностных интегралов.П р и м е р 1. Показать, что поверхностный интегралJ = j j (у — z) dy dz + (z —x) dz dx + (x —y) dx dyEпо внешней стороне части конической поверхности х 2 + у2 = г2,0 ^ z ^ R равен нулю.Гл. X II. Теория поля546Д Запишем поверхностный интеграл в виде J — / / (a, n) d S , где а =E= {у —z) i + (z —х) j + (ж —у) к.
Тогда div а == 0. Применим формулу Остроградского-Гаусса к области G, изображенной на рис. 56.5.Граница G состоит из поверхности Е и кругаEi радиуса R с центром в точке (0,0, R). Таккак div а = 0, тоJR yJ J J div a dx dy dz = 0.xGРис. 56.5J = J J (a, n) dSEСледовательно,J [ (a, n) dS =JJ(x —y) dx dy = 0.Ax2-\-y2^ 13.С о л е н о и д а л ь н ы е в е к т о р н ы е п о л я . Кусочно гладкую поверхность, являющуюся границей ограниченной односвязной области, вдальнейшем для краткости будем называть допустимой.
Непрерывно дифференцируемое в области G поле а будем называть соленоидальным, если поток вектора а через любую допустимую поверхность Е С G равен нулю.Т е о р е м а 1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое полев области G было соленоидалъным, необходимо, а в случае односвязной(объемно) области и достаточно, чтобы diva = 0 в области G.О Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть поле а соленоидально. Тогда поток вектора а через любую допустимую поверхность равен нулю.
Возьмемпроизвольную точку Р G G. При достаточно малом г шар S £(P) С G.Поток же через границу шара равен нулю. Применяя формулу (7) длядивергенции, получаем, что diva = 0.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть область G объемно односвязна и пустьdiva = 0 в области G. Возьмем произвольно кусочно гладкую поверхность Е С G, ограничивающую односвязную область П. В силу односвязности области G область П С G. Применяя к П формулуОстроградского-Гаусса, получаемТаким образом, поток через любую допустимую поверхность равеннулю.
•Покажем, что условие односвязности области существенно в формулировке теоремы 1. Рассмотрим поле “точечного источника” :§ 57. Формула Стокса547Векторное поле точечного источника определено в неодносвязнойобласти G, получающейся, если из пространства R3 удалить однуточку (начало координат). Покажем, что d iv a = 0 в G. Воспользуемся примерами 1 и 3 п. 4 § 55 (впрочем, читатель может провестивычисления и непосредственно в координатах, не обращаясь к этимпримерам). Получаемdiv а = О- div г = -О— div г — ^ ( г.
V ДЛ =47Гг347ГГ347Г V4-7ГГ3г3/47Г \г4 г/47Г ч г 3г3/Но если Se — шар радиуса е с центром в начале координат и егоповерхность dSe ориентирована внешними нормалями, то потокЛ <*■is = Ifd.Se;)ds = I If#d.Sed.SeЬ d.Seff ^ ==«•Теорема 1 неприменима из-за неодносвязности области G, в которойзадано поле точечного источника.У п р а ж н е н и е 1. Доказать, что поток поля точечного источника черезлюбую допустимую поверхность, не содержащую внутри этот источник,равен нулю, а поток через любую допустимую поверхность, содержащуювнутри источник, не зависит от поверхности и равен Q.У к а з а н и е . П рименить формулу (2) к двусвязной области, ограниченной поверхностью У и поверхностью шара 5 е(0), лежащего внутри У.У п р а ж н е н и е 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
