Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(uq,vq) £Без ограничения общности можно считать, чтои0 = 0, vo = 0. Построим в точке А(0, 0) касательную плоскость и ориентируем ее вектором нормали п или, что то же самое, парой векторов(rw(0, 0), 14 (0 , 0)). Возьмем в плоскости переменных и, v окружностьрадиуса г с центром в точке (0 ,0 ):и = £ cost,l? = £Sint,0 ^ t ^ 27Г.Ее образ на поверхности есть простой замкнутый контур Г:Г=Г (<£ COS£, £ S in t) ,0 ^ t ^ 27Г.С точностью до о (г) при г —>• 0 получаем, чтог = г( 0 , 0 ) + £ 14 (0 , 0 ) cost + £iy,(0 , 0) sint + o(e).С точностью до о (г) кривая Г есть эллипс в касательной плоскости, ориентированной парой векторов (14 (0 , 0), 14,(0 , 0)).Ориентация эллипса положительна (рис.
52.10). Если смотреть накасательную плоскость со стороны вектора нормали п, то движениеКасательнаяплоскостьРис. 52.10по эллипсу происходит против часовой стрелки, от вектора 14 (0 , 0) квектору 14 (0 , 0) (область, ограничиваемая эллипсом, остается слева).Пусть кусочно гладкая поверхность Е склеена из гладких простыхкусков Ei, Е2, ..., Еп. Если склеивание происходит вдоль кривой 7 ,Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы522то после удаления концов кривой 7 она входит в края двух и только двух поверхностей £*.
Кусочно гладкая поверхность £ называется ориентируемой, если можно так ориентировать гладкие куски £^,г = 1 , п что после согласования ориентациис ориентациями <9£i любая кривая склейки будет входить в состав краев соответствующихРис. 52.11двух поверхностей с противоположными ориентациями (рис. 52.11).Можно показать, что кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей ограниченной области, ориентируема, при этом каждыйее гладкий кусок можно ориентировать внутренними нормалями.
Вдальнейшем мы будем рассматривать только ориентируемые гладкиеи кусочно гладкие поверхности.§ 53. П лощ адь п о в ер х н о ст и1.П е р в а я к в а д р а т и ч н а я ф о р м а п о в е р х н о с т и . Пусть простаяповерхность (см. § 52) задана векторным уравнениемr = r (u,v),(u,v)eQ,(1)где tt — плоская область.Найдем скалярный квадрат вектораdr = r u(u, v) du + r v (u, v ) dv.ПолагаяE = ( t u , t u ),F = ( r u,rv),G = ( rv,r v),(2 )получаем, что справедлива формула\dr\2 = (dr, dr) = E ( u , v) du 2 + 2 F(u, v) du dv + G(u, v) dv2.(3)Выражение, стоящее в правой части равенства (3), называетсяпервой квадратичной формой поверхности, числа Е, F и G называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.Л е м м а 1.
Первая квадратичная форма простой поверхности положительно определена, т. е. \dr\2 > 0, если (du)2 + ( dv) 2 > 0.§ 53. Площадь поверхностиО523Так как(а,Ь) = |а| • |b| cosab,|[а,Ь]| = |а| • |Ь| • | sinab|,то справедливо тождествоI[а, Ь]|2 = |а |2 • |Ь|2 — | (а, Ь )|2.Подставляя в это тождество а = r w, b = rv и пользуясь тем, чтов любой точке простой поверхности векторы ги и rv неколлинеарны,получаем\[ru, r v}\2 = EG - F 2 > 0.Условия Е > О, G > О, EG — F 2 > Одостаточны для положительнойопределенности первой квадратичной формы поверхности. •Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхностиметрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности,определить площадь поверхности.
Например, дифференциалы длиндуг координатных кривых, проходящих через точку A(u,v) поверхности, равны следующим величинам:dsi = |rwdu\ = \ [ Ё \du\,ds 2 = |rv dv| = \/~G \dv\.(4)2.Площ адь простой п оверхн ости . Пусть простая поверхностьзадана уравнением (1). Рассмотрим на поверхности криволинейныйпараллелограмм, ограниченный координатными линиями и, и + А и,v , v + Av. Векторы ru(u,v)Au и rv(u,v)Av будут касательными к"А----v+ A vvии - \-А ииРис.
53.1координатным линиям, проходящим через точку A(u,v) поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул (4) будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на о(Аи)и o(Av) соответственно при А и —>0, A v —>0. Поэтому естественносчитать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенноравна площади dS параллелограмма, построенного на векторах ги А ии rv Av. Таким образом, при А и > 0, A v > 0dS = |[rw, iy,] А и Дг?| =EG — F 2 du dv.Выражение (5) называется элементом площади поверхности.(5)524Гл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралыОпределим формально площадь простой поверхности Е как следующий двойной интеграл (область Л предполагается измеримой поЖордану):S{Е) = A A|[r„,r„]|dudw = j j л/ E G - F 2 dudv.(6)nfiЭто определение оправдано приведенными выше эвристическимирассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площадиповерхности.С в о й с т в о 1. Число S ( Е) не зависит от способа параметризацииповерхности.О Пусть переход от параметрического уравнения (1) к параметрическому уравнениюp = p(u',v'),совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно дифференцируемого отображения области Л' на область Л с якобианом, неравным нулю.
Тогда, воспользовавшись формулой (11), § 52 и формулой замены переменных в двойном интеграле, получаемS( Е) = j j \ [ P u ', P v'}\du'dv' =fi'ГГ, rУУ|[ги,г„]| • g ^ ’Vidu'dv' = JJ \ [ r u, r v}\ dudvd(u',v')fi'fiС в о й с т в о 2. Если поверхность E есть плоская измеримая поЖордану область Л, заданная уравнениямих = и,у = v,г = 0,(и, v) £ Л,то ее площадь, вычисленная при помощи формулы (6), совпадает сплоской мерой Жордана области Л.О Так какг = (и, v, 0),г„ = (1,0,0),г„ = (0,1,0),E=G = 1,F =0,тоS( £) = J J V EG - F 2 du dv = J J du dv = m (tt). •fifiС в о й с т в о 3.
Выражение S ( S) аддитивно зависит от поверхности.О Если область Л гладкой перегородкой разбита на области Л 1 и Лз,то и поверхность Е разобьется на простые поверхности Ei и Е 2 . Изаддитивности двойного интеграла по области интегрирования следует, чтоS ( S ) = S ( S ! ) + S ( S 2 ). •С в о й с т в о 4.
Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану§ 53. Площадь поверхности525области П, формула (6) для площади поверхности имеет следующийвид:__________S(E) = f f‘ y' / 'l + f* + f* dx dy .(7)QО Действительно, так какГ = (x,y,f(x,y)),г х = (1 ,0 , f x (x, y) ) ,LyтоF = (rx , r y ) = f x f y ,G = rУv2 = l + f 2,E G _ F 2 = (1 + / 2)(1 + / 2) _ / 2/ 2 = 1 + / 2 + / 2_E = r l = 1 + fx>П р и м е р 1. Найти площадь части сферы х 2 + у2 + z 2 = а2, вырезаемой из нее цилиндром х 2 —ах + у2 = 0 (см. рис.
48.10).Д В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением тойчасти сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенствами и равенствами:х 2 + у2 +z2= а2,х ^ 0,х 2 —ах + у2 ^ 0,у ^ 0,z^ 0.(8)Если перейти к сферическим координатам,полагаях — a cos ф cos р , у = a cos ф sin р ,z — a sin?/’,(9)то система равенств и неравенств (8) эквивалентна равенствам (9) инеравенствам(10)определяющим в плоскости параметров ( р, ф ) треугольную область П (рис.
53.2). Интересующая нас простая поверхность естьобраз треугольной области П при отображении (9).Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаемг = (a cosф cos р , a cos?/’sin р , a sin?/’),= (—a sin?/’ cosp, —a sin?/’ sin р, a cos?/’),= (—а cos?/’ sinp, a cos?/’ cos p, 0),E == a2,F = (Гф,Тф) = 0,G = r2 = a2 cos2 ф.Площадь части сферы х 2 + у 2 + z 2 = а2, вырезаемой из нее цилиндром х 2 —ах + у2 = 0, равна7г / 27г / 25(E) = 4 /У у / E G - F 2dipdil> = 4 j dip j a2 cos ip d-ф= 4a2Q0<p- l).AГл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы5263.П лощ адь почти простой п оверхн ости .
Почти простая поверхность была определена в § 52. Она задается уравнением г = r(u, v),(u , v ) G О, где Л — плоская область. По определению найдется последовательность ограниченных областей {Л„} такая, что Л„ С Лп+ъСЮЛ = (J Лп, а поверхности Е п, определяемые уравнениями г = r(u, v),п=1(u,v) € Л„, являются простыми. Предположим дополнительно, чтообласти Л„ измеримы по Жордану. Тогда под площадью S( Е) почтипростой поверхности будем понимать lim S( E n).п—tooТак как числовая последовательность S ( Е п) монотонно возрастает, то она всегда имеет конечный или бесконечный пределS(E) = lim S(E„) = limП —¥ OOП —¥ OOf f \JE G - F 2 du dv =J JQn= J J ^ / E G - F 2 dudv.
(11)nИнтеграл в формуле (11) нужно понимать как несобственный (см.§ 49). Если область Л измерима по Жордану, а функция \/EG —F 2ограничена на Л, то интеграл в формуле (11) будет двойным интегралом Римана.П р и м е р 2. Найти площадь части боковой поверхности конусаz 2 = х 2 + у2, z /р 0 , вырезаемой из нее цилиндром х 2 —ах + у2 = 0 .А Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из неецилиндром, через Е.
Если перейти к цилиндрическим координатам,то Е будет почти простой поверхностью, определяемой параметрическими уравнениямиx = rcostp, у = г sin у, z = г, {г, ip) € Л,Л = j ( r ,y ) : г ^ aco sy ,^ у ^ |} .Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности:г = (г cos tp, г sin tp, г),= ( ^ r s in y , rcostp, 0),iy = (cosy, sin у. 1),E = r2 = r2,F = 0,Giy2.\JEG - F 2 drdtp = rV2drdtp.Применяя формулу (11), получаемж/2S'(E) =т/2 г dr dtp = т/2 j dtpfi—7Г/20Если поверхность E не является простой или почти простой, номожет быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее площадью называют сумму площадей всех простых кусков.j j§ 54■ Поверхностные интегралы527§ 54.
П о в ер хн остн ы е и н тегралы1.П о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы п е р в о г о р о д а . Пусть Е — простая (почти простая) поверхность, заданная векторным уравнениемг = r(u,v), (u , v ) G О. Пусть на поверхности Е определена непрерывная функция F ( x , y , z ) . Двойной интеграл (несобственный интеграл)(x(u,v), y(u,v), z(u,z)) \[ru, r v]\dudv//F(3fiбудем называть поверхностным интегралом первого рода от функцииF( x ,y ,z ) по поверхности Е и обозначать символом J j F d S . Такимобразом, по определениюsJ j F d S = J J F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))\[ru, r v]\dudv.(1)EfiИнтеграл (1) не зависит от выбора параметрического уравненияповерхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
