Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Таким образом, по определению/зj (F, dr) = j (F (x(t),y(t),z(t)), r'(t))dt,г(6 )aИЛИ0J P d x + Q dy + R d z = J(P (x(t),y(t), z(t)) x'(t) +Гa+ Q( x(t),y(t),z(t))y '(t) + R(x(t),y(t), z(t)) z'(t)) dt. (7)Если система декартовых координат фиксирована, то, полагая вформуле (7) Q = R = 0, получаемdJ Р dx = j P ( x ( t ) ,y ( t ) , z(t)) х 1(t) dt.(8 )ГaАналогично/3J Q dy = J Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) dt,(9)§ 50. Криволинейные интегралы/3R d z = f R(x(t),y(t),z(t)) z'(t) dt.1; -Г497(10)aОпределенный интеграл, стоящий в правой части формулы (8 ),называют криволинейным интегралом второго рода от функцииP ( x , y , z ) по кривой Г, символ J Р dx служит обозначением для этогго криволинейного интеграла.
В отличие от криволинейного интеграла J (F , dr) интеграл J Р dx зависит от выбора декартовой системыггкоординат.Рассмотрим свойства криволинейного интеграла (6 ).С в о й с т в о 1. Криволинейный интеграл второго рода не зависитот способа параметризации кривой.О Это свойство доказывается точно так же, как и соответствующеесвойство для криволинейного интеграла первого рода.
•С в о й с т в о 2. Криволинейный интеграл второго рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак, т. е.|( F ,d r ) = -J(F ,d r ).ГгО Пусть кривая Г задана векторным уравнением г = г (t), а ^ t ^ (3,а кривая Г- задана уравнением р = r ( a + (3 — t), а ^ t ^ (3. Тогдаp'(t) = —г ' ( a + (3 — t). Для краткости положим F ( x , у, z ) = F ( r ) . Тогда/зJ (F ,d p ) = J ( F (p(t)), p'(t))dt =r -af3- / r n (.r ( a + (3 — t)), r'(a + /3 — t))dt =13= - |( F ( r( r ) ) ,r '( r ) ) d r = - |( F ,* ) .•aгС в о й с т в о 3.
Криволинейный интеграл второго рода аддитивенотносительно кривой.О Это свойство доказывается так же, как и для криволинейных интегралов первого рода. •В плоском случае выражения (6)-(10) для криволинейных интегралов упрощаются:j (F , dr)r=j Рdx+Qdy=jr=d(P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)) dt,(11)Гл. X I.
Криволинейные и поверхностные интегралы498ИJ Р dx = J P ( x { t ) , у {t)) х ' (t) d t ,Г( 12 )аРf Q d y = f Q i x it), y i p ) у ' it) dt.(13)В том случае, когда плоская кривая Г а в задана как графикнепрерывно дифференцируемой на отрезке [а, Ь] функции у = f(x )(рис. 50.3), формула (12) приобретает особенно простой вид:Р{х,у) dx — j Р(х, f(x)) dx.(14)aг АВЗа ме ч а ние . Определенный интеграл в правой части формулы (14)имеет смысл не только в том случае, когда функция f(x) непрерывно дифференцируема на [а, Ь], но и в более общем случае, когда функция f(x)непрерывна на отрезке [а, Ь\. В этом последнем случае будем считать, чтокриволинейный интеграл / Р dx есть по определению определенный инГдвтеграл, стоящий в правой части формулы (14).П р и м е р 2.
Вычислить криволинейный интегралJ yd x — xd y(15)Г АВпо отрезку Т \ в с концами А (0,1) и В ( 1, 0) и по дуге окружности Т \ в(рис. 50.4).ДЗададим отрезок Т \ в параметрическими уравнениями х = £, у == 1 —£, O ^ t ^ l . Применяя формулу (11), получаем, что11J y d x — xd y = j \ { l — t)(t)' — t(l — t)r] dt = J (1 — t + t) dt = 1 .piо01 AB§ 50. Криволинейные интегралы499Зададим дугу окружности Т'\в параметрическими уравнениями7Гж = sin t, у = cos t, 0 ^ t ^ —. Тогдаж/2/ y d x —x d y =/[cost (sin t )1—sin t (cost)'] dt =°ГАВж/ 2= J (sin2 t + cos2 1) dt = ^ ф 1 .
▲оП р и м е р 3. По тем же кривым, что и в примере 2, вычислитьJ x d x + ydy, А = (0 , 1 ), В = ( 1 , 0 ).ГАВА Применяя формулу (11), получаем11j x d x + y d y = j [ t t 1+ (1pi1 AB— t )(l —t)'] dt = j ( 2 t - l ) d t = 0.о0Аналогичнож/2/ xdx + ydy=ГАВ/ [sin t (sin t)' + cost (cost)'] dt =°ж/ 2= J (sin t cost —cost sin t) dt = 0 . ▲оВ примере 2 криволинейные интегралы по кривым с одинаковымиконцами оказались неравными, а в примере 3 — равными.Уп р а жн е н и е 1. Показать, что для любой кусочно гладкой кривойГад выполнено равенствоХ д-Х -А ув - у-Ах ах + у ау =——Н— s———../гАВ6.М ех а н и ч еск и й см ы сл к р и в ол и н ей н ого и н тегр ал а в тор ог о р о д а . Р а б о т а с и л ы . Пусть F ( x , y , z ) — силовое поле в областиЛ € Я3 и пусть кусочно гладкая кривая Гдв С О задана уравнением г = r(t), а ^ t ^ (3.
Если интерпретировать уравнение г = r(t),a Z/t Z/ (3, как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершатьработу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельнойвектору 1, |1| = 1, работа силы равна ( F ,l) A s , где A s — пройденныйточкой путь.Пусть теперь поле силы непостоянно и точка движется в силовомполе по произвольной кусочно гладкой кривой г = r(t), а ^ t ^ (3.500Гл. X I.
Криволинейные и поверхностные интегралыПусть Т — произвольное разбиение отрезка [а, /3] точками а = to << ti < ... < t n = (3. Ему соответствует разбиение кривой Г ав точкамиА = Aq. 11 у ... у А п = В.При движении по дуге Г д ^ Д ; заменим силу F постоянной силойF(x(ti),y(ti), z(ti)), а движение по дуге Г д ;_ 1д ; — движением по касательной с постоянной скоростью r'(ti). Тогда работа силы при движении по дуге Г д ;_ 1д ; приближенно равна (F(x(ti), y(ti), z(ti)),r'(ti) Ati).Работа силы при движении материальной точки по кривой Г а вприближенно равна следующей сумме:ПjzfT = ^2(F(x(ti),y (ti), z(ti)), r'(ti))Ati,i= 1где At, = ti —I, i .Предел суммы jz/ t при мелкости разбиения ИТ), стремящейся кнулю, естественно назвать работой силы F при движении точки покривой ГАв- Таким образом, работа силыП^ =г(Т)), r'(ti))Ati =,=1^= J(F(x(t),y(t),z(t)), r '(t ))d t=aJ (F ,dr).(16)гA SП р и м е р 4.
Найти работу силы F = ^ r / r 3, г = (x , y , z ), г = |r|,при движении точки по кривой Г ав- Кривая Г а в не проходит черезначало координат.Д Пусть кусочно гладкая кривая Г а в задается параметрическимуравнением г = г (t), а ^ t ^ (3. Работу силы найдем при помощиформулы (16):•rf= Гдв/ <*•*> -- а!Щ - • '» ) * - - аI m i я*»* -J r 2(t)аJ \r(t)Jаг (13)г(а)гвга§ 51. Ф орм ула Грина на п лоск ости1.О р и е н т а ц и я г р а н и ц ы п л о с к о й о б л а с т и .
Напомним, что областью в Я" называется открытое связное множество, а замыканиеобласти получается присоединением к области ее границы.Теорема Жордана утверждает, что любая простая (без точек самопересечения) замкнутая кривая разделяет плоскость на две области,ограниченную и неограниченную, общей границей которых она является.§51. Формула Грина на плоскости501У п р а ж н е н и е 1. Доказать теорем у Ж ордана для простой замкнутойломаной.У к а з а н и е . После удаления из плоскости простой замкнутой ломаной L возникает откры тое множество, точки которого можно разбить надва непересекающ ихся класса.
Точки первого класса обладают тем свойством, что проведенные из них лучи пересекаю т ломаную нечетное число раз(исключением м огут быть лучи, параллельные звеньям ломаной). Точкивторого класса отличаю тся тем, что проведенные из них лучи пересекаю тломаную четное число раз (рис. 51.1).Область О с /?2 называется односвязнощ если для любого простогоконтура у С О ограничиваемая этим контуром область Oi С О. Вчастности, область на рис. 51.1 односвязна.Будем говорить, что простой контур Г ориентирован положительно, если при обходе контура ограничиваемая им область остается слева (рис.
51.1). Противоположно ориентированный контур будем обозначать через Г- .2.Ф ормула Грина. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывнодифференцируемы в односвязной области П С /?2, а простой кусочногладкий контур Г С Q ограничивает область G С П. Тогда справедлива формула ГринаJ Р dx + Q dy = J JdG\dQ(x,y)dxдР(х, у)'dx d y ,dy(1)Gгде dG есть положительно ориентированная граница области G.О Докажем сначала формулу (1) в наиMболее простом случае, когда область Gеще и элементарна относительно обеих'у=Ф(у)\координатных осей, т. е. существуютNтакие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции ip(x),ф(х), х G [а,Ь\, и а(у), /3(у), у G [c,d\, чтоD(рис.
51.2)у = ч>(у )-fСG = {(ж , у ) : а ^ х ^ 5, ср(х) ^ у ф ( х ) } =О= { { х , у): с ^ у ^ d , а(у) ^ х ^ /% )}.Рис. 51.2д.Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы502Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному,получаем равенства7/ ^ ( х ,ьу ) dxdy =Gгр(х]bb= —J d x J - ^- ( x, y ) dy = J Р(х, ср(х)) dx —J Р(х, ip(x)) dx =а=aJP dx + J P dx +ABCDDEaJP dx + J P dx = J P dx.EFMNNA(2 )dGПри выводе формулы (2) была использована формула (14), § 50 длякриволинейного интеграла J Р dx по кривой Г, являющейся графикомгфункции.
Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам D Eи N А равны нулю, так как на этих отрезках х = const (см. ( 12 ) в§50).Аналогично доказывается формулаndQ{x,y)(3)I I — d x dxdy= I ^ V ^ y GQGСкладывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина (1).Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкойзамкнутой кривой 8G. Предположим, что ее можно кусочно гладкойпростой кривой Г (перегородкой) разбить на две области простейшеговида, рассмотренные выше (рис.
51.3). ТогдаdGx = Г U Гь dG2 = Г- U Г2.Применяя формулу Грина в каждой из областей G\ и G2, получаем'dQ(x, у)дР(х, у)dxdy = / Р dx + Q dy =дуиdGiGi= J P d x + Q dy + J P dx + Q dy,TiгII~ 9Pg ’V^ dxdv = J P d x + Qdy + j P d x + Qdy.§51. Формула Грина на плоскости503Складывая эти два равенства и учитывая, что криволинейные интегралы по противоположно ориентированным кривым Г и Г- взаимно уничтожаются, получаем, что формула Грина (1) верна для области G = G\ U G2.При помощи математической индукции теперь легко обобщитьформулу Грина на односвязную область, которая при помощи п —1непересекающихся гладких перегородок разбивается на областиG i,...,G n простейшего вида (рис. 51.3).
В частности, формула Грина обобщается на многоугольные области, ограниченные простымизамкнутыми ломаными. В общем случае можно доказать формулуГрина, аппроксимируя область с кусочно гладкой границей многоугольной областью. •3.Ф о р м у л а Г р и н а д л я м н о г о с в я з н о й о б л а с т и . ФормулаГрина может быть обобщена и на случай многосвязной (п-связной)области, ограниченной внешним контуром Г и непересекающимисяГ72Рис. 51.4внутренними контурами 7 i ,..., 7 n-i* Все контуры предполагаютсякусочно гладкими.
На рис. 51.4 изображены ограниченные двусвязнаяи трехсвязная области.Внешний контур ориентируем так, чтобы при его обходе областьоставалась слева. Так ориентированный контур будем обозначать Г.А внутренние контуры ориентируем так, чтобы при их обходе область G оставалась справа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
