Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Формула замены переменных в кратном интеграле473.Пусть П есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Еслиразбить стороны квадрата П на равные части длины h < 5, то и самквадрат П разобьется на квадратные клетки с площадью h2. Разбиение квадрата П порождает разбиение Т компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он являетсяэлементом разбиения Т , а если малый квадрат содержит граничныеточки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G.
Отображение F порождаетразбиение Т' компакта G' = F(G), причем элементами разбиения Т'являются образы элементов разбиения Т. Из леммы 4 следует, чтопри написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F. Из равномерной непрерывности отображения F следует, чтомелкость разбиения Т' стремится к нулю, когда стремится к нулюмелкость разбиения Т.Если малые квадраты 111 11% лежат внутри компакта G, тоих образы II',11\ лежат внутри G' . Пусть— координатыточки, лежащей в левом нижнем углу квадрата П*, а (ж,, у,) — образэтой точки при отображении F.Запишем интегралы, входящие в формулу (4), как пределы интегральных сумм:NJ f f ( x, У) dx dy = lim ^/(ж*, yt) то(П'),*=1G>J J f(ip(u,v),'tp(u,v))\J(u,v)\dudv =GNДля доказательства формулы (4) достаточно показать, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h —^ 0.
В силулеммы 1lim a(h) = 0.h—rOПринимая во внимание, что= ж,, ф( щ, х,) = у,, |/(ж ,у)| << М, получаем оценку для разности интегральных сумм|то(П') —| J(« ,, ц,)|то(П*)| ^ a(h)m(Hi),NNi= 1i= l1 «СN^■ m( П') - |Д(«*,ж*)|то(П*N^ M a{h)m(IIj) ^ M a{h)rn{G )1i=1Гл. X. Кратные интегралы474из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h —>0. •З а м е ч а н и е . Нарушение условия взаимной однозначности на множ естве меры нуль и обращение якобиана отображения в нуль на множествемеры нуль не влияю т на справедливость формулы (4) замены переменныхв кратном интеграле. Такое множество Е меры нуль всегда можно накрытьклеточным множеством А С G сколь угодно малой меры, разбивающимсяна квадраты. Из доказательства теоремы следует, что при отображенииF: G —»• Rn мера множества А возрастет не более чем в се раз.
Поэтомунайдутся такие постоянные а и сг, чтоJ f{x)dx < ае,А/ = F(A),(6)f f{<Pi(M). •••>4>n{u))\J{u)\du < C2 e.(7)гдеА'АНа множестве же G \ А выполнены все условия теоремы и формулазамены переменно!, снранедл,,,. Так как интегралы / / < * ) * „J / ( ¥ > i ( « ) , •••> <Рп(и))\J(u)\duGотличаю тся на произвольно малое число в силу (6) и (7), то они совпадают.П р и м е р 1. Вычислить интеграл J J у3 dx dy по области О, ограниченной двумя параболами, у = ж2, у = 2ж2, и двумя гиперболами,ху = 1, ху = 2 (рис. 48.2).ДРассмотрим непрерывно дифференцируемое при х ^ 0 отображение следующего вида:Г] = ху.^(8)Образом О при отображении (8) является квадрат и = {( £ ,7 7 ): 1 ^^ 2, 1 ^ у ^ 2}. Отображение (8) взаимно однозначно: уравне§48- Формула замены переменных в кратном интеграле475ния (8) однозначно разрешимы относительно ж и у,Х = С 1/3Г]1/3, y = e /3VV3(9)Найдем якобиан отображения (8).
Используя формулы (9), получаемJ =дхdiдуdiдхдуd]£ду- I ^ - 4 /З ^ /З^ - 2/v/3I^l/Sjj-2/Зl e /3v ~ l/3= ——ЗГ\J\ =113|£ГТак как у3 = ^ту2, то делая в интеграле J J у 3 dx dy замену nepeменных (8), получаемJ J у3 dx dy = J J £ri2\J(Z,ri)\d£dri =d^dr] =A4.И сп ол ь зов ан и е п ол я р н ы х к о о р д и н а т для вы ч и сл ен и яд в о й н ы х и н т е г р а л о в . Из курса аналитической геометрии известно, что декартовы и полярные координаты точки плоскости связаныследующими соотношениями:x = rcos(p, y = r s m p ,г ^ 0, 0 ^ ср < 27г,( 10)где г = л /х 2 + у2 есть полярный радиус, аср — полярный угол (рис. 48.3).
Геометрическое место точек, для которых г = const,есть окружность радиуса г с центром вточке О. Геометрическое место точек, длякоторых полярный угол р = const, естьлуч, выходящий из точки О в направленииточки Р. Точка Р есть пересечение окружности г = const и луча р = const. Для точки О полярный радиус равен нулю, а полярный угол р не определен.Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость Е Г(р, в которой г и (р являются декартовыми координатами, и рассмотрим в этойплоскости полуполосу Т, определяемую неравенствами (рис.
48.4)г > 0, 0 ^ р < 2тг.(11)Тогда формулы (10) определяют непрерывно дифференцируемоевзаимно однозначное отображение F: Т —>• Е ху, где Е ху есть плос-Гл. X. Кратные интегралы476кость Е ху, проколотая в точке О (рис. 48.4). Взаимную однозначностьотображения проще всего проверить геометрически. Каждая точка Рпроколотой плоскости Е ху однозначно определяется как пересечениеокружности г = го и луча р = ро. Поэтому у точки Р(х, у) есть единственный прообраз Q(ro,po) в полуполосе Т.Якобиан отображения (10) равен г. Действительно,Jf =дхдгдудгдхдрду_дрcos р—г sin рsin рг cos р= гЯкобиан не обращается в нуль в полуполосе Т.Если к полуполосе Т присоединить отрезок г = 0, 0 ^ р < 2тт, тополучим полуполосуTi = {(г, <р): г ^ 0, 0 ^ <р < 27г}.При отображении х = rcosp, у = r s i n p полуполоса Т\ — прообраз всей плоскости Е ху, но взаимная однозначность отображения иусловие Jp ф 0 будут нарушены на отрезке г = 0, 0 ^ р < 27т, плоскаямера Жордана которого равна нулю.Пусть область П С Е ху.
Ее прообраз при отображении F : х —— г cos р , у — тs i n р , г ^ 0, 0 ^ р < 27г, есть некоторая область о; С Xi.Если область П не содержит точки О (начало декартовой системыкоординат), то отображение uj на П является взаимно однозначными якобиан отображения не обращается в нуль в области и. Если жеобласть П содержит начало координат О, то взаимная однозначностьотображения и условие J fбудут нарушены на множестве жордановой меры нуль, что не влияет на справедливость формулы заменыпеременных в двойном интеграле (см.
замечание в конце п. 3). Поэтому справедлива формулаJ [ f ( x , у) dxdy = J J f ( r cos р, г sin p)r dr dp,(12)дающая выражение для двойного интеграла в полярных координатах.Функция f ( x , y ) считается непрерывной на измеримом множестве П.§48- Формула замены переменных в кратном интеграле477Пусть область П в плоскости Е ху ограничена двумя лучами, р = аи р = (3, а < (3, и двумя кривыми, уравнения которых в полярных координатах имеют следующий вид: г = Ri(p), г = R 2 (p). ФункцииRi(p) и i?2 (р) непрерывны на отрезке [а,/3\ и Ri(p) < R 2 (p) при а << р < (3 (рис. 48.5). Тогда область о;, являющаяся прообразом области П в плоскости Е Г(р, будет элементарной относительно оси г и двойной интеграл (12) по теореме 2, § 47 сведется к повторному:Р #2(<Р)J j f ( x , y ) dx dy = J dp J f ( r cos p, r sin p)r dr.fi« i?l(<p)(13)Если область П в плоскости Е ху ограничена двумя концентрическими окружностями, г = а и г = 5, а < 5, и двумя непрерывнымикривыми, уравнения которых в полярных координатах имеют следующий вид: р — 4>i(г),= Фг(г), Ф1 (г) < Фг(г) при а < г < 5, топрообраз области П будет элементарной относительно оси р областьюв плоскости Е Г(р (рис.
48.6). Сводя двойной интеграл в формуле (12)к повторному, получаемЪФ 2 (г)J J f ( x , y ) dx dy = J dr J f ( r cos p , r sin p) rdp.Qа Ф!(г)(14)478Гл. X. Кратные интегралыОбласти более сложного вида в плоскости Е ху нужно при помощилучей ip = const и концентрических окружностей г = const разбиватьна простейшие области рассмотренного выше типа.П р и м е р 2. Для полукруга О: у ^ 0, х 2 + у2 ^ а2 вычислитьмомент инерции относительно центра (рис.
48.7).Д Как известно из механики,h = / / ( ж2 + У2) dxdy.(15)В полярных координатах полукруг О может быть задан неравен-Рис. 48.8ствами О ^ г ^ а , 0 ^ ( р ^ 7 г . Применяя формулу (13), получаем7г а71а. Ааг 2г алг = ——=1 4О оП р и м е р 3. Пусть П есть область, ограниченная параболой у == х 2 и окружностью ж2 + у2 = 1. Свести к определенному интегралуследующий двойной интеграл:J f f ( V x2 + У 2) dx dy.(16)Д Область О изображена на рис. 48.8. Уравнение параболы у — х 2§48- Формула замены переменных в кратном интеграле479в полярных координатах имеет видsin шcos2 рг — ---- — —sm р1 —sin2 р)Решая это уравнение относительно ср, получаем, что область О в полярных координатах задается следующими неравенствами:О < г < 1,2гarcsin -____ ______1 + л/1 + 4г2<<р7г.—arcsm2г1 + Vl + 4г2Применяя формулу (14), получаем7г—a r c sin l+ \/l+ir2J J f ( x 2 + у2) dxdy = j d rQ0fJf(r)rdip =l+ Vl+4 r22r7Г —2 arcsin1 + л/ l + 4 r2Idr.AП р и м е р 4. Область О является внутренностью треугольника,изображенного на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
