Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть rn(G) > 0 и |/(ж)| ^ Со на множестве G. Для любого е > 0 найдется клеточное множество А такое,что тп(А) sC — и Е С А. Будем множества разбиения Т нумероватьтаким образом, чтобы G \,...,G m имели непустое пересечение с А,а (!,„ . IG \ не пересекались с А. В силу леммы 1 найдется такое 6 > 0, что при l(T) < 6 выполнено неравенствоmг=1§46. Определение и свойства кратного интеграла Римана459Тогда для любого разбиения Т с мелкостью l(T) < 6 имеемтаат = а'т + сг'т,о'т =mWt \ ^ Yz— *г=1NYi=1m ( G *)>ат =Yi=m+1m ( G 0>mm (G *) ^ c oz—Y *^ G i ) < c 0 С-о =£.г=1Следовательно, а'т 0 при l(T)0. Поэтому ат I при l(T)в том и только том случае, когда а'ф —^ I при 1(Т) —»■0. •06.Д о с т а т о ч н о е у сл о в и е и зм е р и м о с т и м н о ж е с т в а в R n поЖ ордану.Л е м м а 5.
Пусть G — измеримое множество вGp = {(х1,...,хп, х п+1): ( xi , . . . , xn) G G,Rn.Тогда цилиндр0 ^ х п+1 ^ Ь)есть измеримое множество в Rn+1 и rn(Gp) = hrri(G).О Так как основание G есть измеримое множество в R n , то для любого е > 0 найдутся клеточные множества А и В такие, чтоА С G С В,гп(В) —гп(А) <Если на n-мерной клетке П как на основании построить цилиндр с высотой h, то получим п + 1-мерную клетку Щ и то(Щ) == hrn(П). Следовательно, если на клеточном множестве А построитьцилиндр Ар, то его мера в R n+1 равна hm(A), причем Ар есть клеточное множество в R n+ 1.Очевидно, что Ар С Gp С В р и чтот(Вр) —т(Ар) = hm (B) —hm(A) < h ^ = е.Следовательно, цилиндр Gp есть измеримое вт(Ар) ^ m( Gp) ^ т(Вр),илиR n+1множество иhm(A) ^ m(Gp) ^ hm(B).Так как hm(A) ^ hm(G) ^ hm(B), то|m(Gp) - hm(G)\ «С h(m(B) - rn(A)) < е;в силу произвольности е должно выполняться rn(Gp) = hrn(G).
•Т е о р е м а 5. Пусть G — измеримое множество в R n и функция f ( x) интегрируема на G. Тогда график функции f ( x) имеетв Rn+1 жорданову меру нуль.О Так как функция f ( x ) интегрируема на множестве G, то для любого е > 0 найдется разбиение Т = {Gi}, i = 1, N, множества G такое,чтоNS t — s t = Е ( м * —rrii)m(Gi) < s.г=1Гл.
X . Кратные интегралы460Построим на каждом из множеств G, два цилиндра, G, и Gi, свысотами Mi и то, соответственно, тогдаN _^А = (J (Gi \ Gi)г=1есть измеримое множество, содержащее график функции f(x). ТаккакNNт ( А ) = ^ ( m ( G j ) - m(Gj)) = ^ ( М 4 m (G 4) - то, m(Gj)) =*=1*=1JV—то*) m(Gj) < е,=*=iто в силу произвольности числа е мера Жордана графика функции /(ж) в Rn+1 равна нулю. •С л е д с т в и е . Если функция /(ж) непрерывна на измеримом компакте в Rn, то ее график в Rn+1 имеет жорданову меру нуль. Еслиграница области состоит из конечного объединения таких графиков,то область измерима по Жордану.§ 47.
С веден и е к р атн ы х и н тегр алов к повторны м1.Ф орм ула св ед ен и я дв ой н ого и н тегр ал а по п р я м оугол ь н и к у к повторн ом у и н тегралу.Т е о р е м а 1. Пусть:а) функция f ( x , y ) интегрируема в прямоугольнике П = {(х , у ):а ^ х ^ Ь, с ^ у ^ d};dб) интеграл j f ( x , y ) d y существует для любого х € [а, Ь].СdТогда J f ( x , y ) d y есть интегрируемая функция х на отрезке [а, Ь]Си справедлива следующая формула:ЬdJ J f (x, y)dxdy = J d x j f(x,y)dy.аП(1)сВозьмем произвольные разбиения отрезков [а, Ь] и [с, d\ точками= а < х\ < ...
< х п = Ь и уо = с < у\ < ... < ут = d. Если т ,...,ж пи п[, ...,п'т — соответствующие промежутки, образующие разбие-Ож0птния [а,Ъ\ и [c,d], то П = (J (Ji= 1 j = iЩ ,гдеЩ={ ( ж ,у): жG 7Г*, уG ж'Л.§47- Сведение кратных интегралов к повторным461ПоложимAfy =sup f ( x, у),(i.rienymy =inf f ( x, y) .(«,y)en£jdТак как J f ( x , y ) d y существует для любого x G [а, Ь], то при x G я,Ссправедливы неравенстваЩт ч &Уз [ f i x , у) dy С: А/у Д ty,где Д у, = у,- ty_i.у3 - 1Суммируя эти неравенства по индексу j, получаемтdтаеа узj=1т^ [ f (x >y ) d y ^ Y : м « А у сс(2)j=1Введем следующие обозначения:dF(x) =Jf(x,y)dy,Mi = sup F(x),xe7rito, = inf F(x).xemТогда из (2) следует, чтот ч А Уз ^ т г ^ M i ^ ЕЕi=iМ У AyF(з)i=iО ^ M i - гщ ^ £ ( М у - тоу)Дгу.(4)i=iУмножая неравенство (4) на Дж* и суммируя по * от 1 до те, получаемпто «С £ ( М 4 — m ,i)A xi ^ Е Е ( М « — тегу) тег(Пу) =г=1г=1 j=l= ST( / , n ) - s T( / , n ) - ^ 0при1(Т)^0,так как функция f ( x , y ) интегрируема на прямоугольнике П.
Но тогПда и(М* —тег,)Дж, —1 0 при max | Дж*| —1 0 и, следовательно, в силу—4гг= 1критерия интегрируемости (§ 34) функция F(x) интегрируема на отрезке [а,Ь], т. е. повторный интегралььdJ F{x) dx = J d x j f ( x , у) dyaaссуществует. Покажем, что он равен двойному интегралу.Гл. X .
Кратные интегралы462Интегрируя неравенство (2), получаемd'^Г mij Дж* Axjj ф J d x j f ( x , y ) d y ^ ’^ 2 Щj =1Xi_l сj =1Проведем суммирование no i от 1 до те. ПолучаемьdsT Ф J d x j f ( x , у) dy ф ST асТак какstд 2/гФ / / / ( ж>У)dx dy Ф S T,па разность S t — St может быть сделана сколь угодно малой, тоьdJ J f (x,y)dxdy = J d x j f(x,y)dy. •пaсС л е д с т в и е 1. Пусть существует J J f ( x , y ) dxdy, при каждомdпx £ [a, b] существует / f ( x, у) dy и при каждом у £ [c,d\ существуетЬс/ f ( x , y ) d x . Тогда справедлива формула„Ь dd ь(х, у) dxdy = J d x j f ( x , y)dy = J d y J f ( x , y) dx.(5)СсаС л е д с т в и е 2. Если функция f ( x , y ) непрерывна в прямоугольнике П, то выполнены условия следствия 1 и справедлива формула (5).Если функция 'ф(х) интегрируема на отрезке [а, Ь], то формула (5)остается справедливой при замене функции f ( x , y ) на 'ф(х)ф(х, у).2.С в еден и е дв ой н ого и н тегр ал а по эл ем ен т ар н ой обл астик п о в т о р н о м у .
Пусть tp(x) и ф(х) — непрерывные на отрезке [а,Ъ]функции и (р(х) < 'ф(х) при х £ (а,Ь). Область (рис. 47.1)Л = {(х , у ): ip(x) < у < ф(х), а < х <Ь)(6)будем называть элементарной относительно оси у. Так как граница (ЗЛ состоит из графиков непрерывных функций, то Л — измеримаяпо Жордану область.Т е о р е м а 2. Пусть Л — элементарная относительно оси у область, функция f ( x , y ) интегрируема на Л, где Л = Л U ОН, и при люф{х)бом х £ [а, Ь] существует J f ( x , y ) d y . Тогда справедлива следующаяТ (х )§47- Сведение кратных интегралов к повторным463формула:Ъ Ф(х)J J f { x , y ) d x d y = J d x J f (x, у) dy.£4a <p(x)(7)О Пустьс = min (p(x).d = max ф(х).xe[a ,b ]xe[a ,b ]Область О (рис.
47.2) лежит в прямоугольнике П = [а, Ь] х [с, d\. Положим=(Ч| е п \ в .<8 )Так как функция интегрируема на О и на множестве П \ О, тосуществует двойной интеграл J J F( x, y) dxdy (свойство б, § 46, п. 5).Аналогично изсуществования<р(х)ф(х)прилюбомх Е [а, Ъ] интеграловdJ F ( x , y ) d y ,J F( x , y ) dy и J F( x , y ) dy следует,Счто при любомф(х)dх Е [а, 6] существует интеграл J F( x, y) dy.сТаким образом, выполнены все условия теоремы 1. Поэтомуbdj f F{ x , у) dxdy = J d x j F ( x , y) dy.асПодставляя сюда выражение (8) для функции F ( x , y ), получаем формулу (7).
•_С л е д с т в и е . Для функции /(ж ,у), непрерывной наП, справедливаформула (7).Гл. X. Кратные интегралы464П р и м е р 1. Вычислить интеграл J J ж2 dx dy по области G = {(ж, у):G—1 < х < 1, х 2 < у < 1}, изображенной на рис. 47.3.Д Применяя формулу (7), получаем1 11J J х 2 dxdy = J d x j х 2 dy = J ж2(1 — x 2) dx =G-1 Ж2-1x= 2 / ( * 2 -*<)<& = 2 ( | - 1 ) = _LAЕсли область интегрирования не является элементарной относительно оси у , то иногда удается разбить ее на конечное число областей, элементарных относительно оси у.П р и м е р 2.
Пусть G есть область, ограниченная окружностямих 2 + у2 = 4 и ж2 —2х + у2 = 0 (рис. 47.4). Свести интегралJ [ f(x ,y )d x d yGк повторному.Д Область G осью у разбивается на три элементарных относительнооси у области. Поэтомуу / 4 —ж2ОJ J f { x , y ) d x d y = J dxG_1J-v /4^21у / 4 —ж2f ( x , у) dy + J dxJf(x ,y )d y +01 —yfTx —x+ 1 dxff ( x , y ) dy.^A—у / 4 —ж2Можно, по аналогии с областью, элементарной относительно оси у ,определить область, элементарную относительно оси ж. Пусть функции а (2/) и /3(?/) непрерывны на [c,d] и а (2/) < /3(у) при с < у < d.§47- Сведение кратных интегралов к повторным465ОбластьП{(ж, у ) : а(у) < х < /3(у), с < у < d}будем называть элементарной относительно оси ж (рис.
47.5).Если функция f ( x , y ) непрерывна в замыкании области О, элементарной относительно оси ж, то аналогично (7) получаем следующуюформулу:d тJ J f ( x , y ) d x d y = J dy J f ( x , y ) dx.Qc a(y)Если область О элементарна и относительно оси ж, и относительно оси у , то двойной интеграл по этой области от непрерывной на Clфункции /(ж, 2/) может быть выражен двумя способами через повторные интегралы:ЪФ(х)J J f(x,y)dxdy =j dx j£4adР(у)f (x, у) dy = J dy J f ( x , y ) d x .< p(x)c(9)cx.(y)П р и м е р 3. Вычислить повторный интеграл7г / 27г / 2I = j d y J ^ dx_X0Уsm жД Интеграл / равен двойному интегралу от функции f ( x , y ) = ----по области П, изображенной на рис.
47.6. Эта область элементарна иотносительно оси ж, и относительно оси у.Пользуясь формулой (9), получаем7г / 2Т7г / 2[ i f1 = ! ЛЧОSinxУ~7г / 2X7[ 7 Г Sinx 7d x =] i x J — dv =0тг/2 __ jО0/х\ъ / 2щ'.ъ / 2J ^ l?Lxcix = J si nxdx = l.sinx ( j d y j f a _оA0Т е о р е м а 3. Пусть функции ж) и ф(х) непрерывны на отрезке [а,Ь\ и ср(ж) < ф(х) при а < х < Ь, а функция f (x,y) непрерывна вГл.
X . Кратные интегралы466замыкании области fi = {(ж, у): а < х < Ь, (р(х) < у < 'ф(х)}. Тогдафункцияф{х)Ф(ж) = J f ( x, у) dy<р{х)непрерывна на отрезке [а,Ь].О а) Пусть сначала <р(х) = с, 'ф(х) = d, где e n d — постоянные,а функция /(ж ,у) непрерывна в прямоугольнике П = [а, Ь] х [с, d], Всилу теоремы Кантора /(ж, у) равномерно непрерывна на П. Поэтомудля любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для любого у £ [с, d] илюбых х £ [а, Ь] и х + А х £ [а, Ь] при | Дж| < 6 справедливо неравенство|/(ж + Дж, у) - f ( x , у )| <d —сПредполагая, что |Дж| < 6, получаема|Ф(ж+ Д ж ) — Ф(ж)| =J (/(ж + Дж,у)- /(ж ,у)) dy «Сса«с j |/( ж + Дж, у) - /(ж , у) \ dy <(d —с) = е.сСледовательно, функция Ф(ж) непрерывна на отрезке [а,Ь].б)Пусть теперьж) и 'ф(х) — произвольные непрерывные наотрезке [а, Ь] функции и ip( ж) < ф(х) при а < х <Ъ.Рассмотрим функциюf i x , у)f(x,ip(x))при (ж, у) £ fi;при ( ж , у ) е П ь/ ( ж , ф{ х) )при^1F(x,y)=где= { ( х , у ):афхфЬ,у ф у фж) };fi2, где^2 = {(ж,у): а ф х ф Ъ, у > ф(х)}.(ж,у) GПокажем, что функция F(ж,y) непрерывна в полосе Q = {(ж,у):а ф х ф Ь, у £ R}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
