Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Из определения (1) клетки следует, что точка ( xi , . . . , xn) принадлежит границеклетки, если существует такое значение индекса г, что выполненоравенство ж* = а, или ж* = Ь,. Сдвигая левые концы полуинтервалов [а, , Ь,) вправо, а правые влево, можно построить клетку Пе, несодержащую граничных точек П и отличающуюся от П по мере меньше, чем на е. •5. М н о ж ес т в а , и зм е р и м ы е по Ж о р д а н у . М ера Ж о р д а н а .Множество Л С Я” называется измеримым по Жордану, если для любого е > 0 найдутся два клеточных множества А и В такие, что4 С О С В и т( В) —ш(4) < е.§45.
Мера Жордана в R n449Если Л — измеримое по Жордану множество, то его мерой то(Л)называется такое число, что для любых двух клеточных множеств Аи В, удовлетворяющих условию Л С О С -В, выполнено неравенствот(А) ^ гп(Л) ^ то(В).J1 е м м а 2. Определение меры измеримого по Жордану множества Л корректно: число то(Л) существует и единственно, причемт (Л) = sup т(А) = inf т(В).АспвэпО Пусть А и В произвольные клеточные множества такие, что А СС Л С В. Тогда т ( А ) (С т( В) (свойство 2, п. 4). Существует число у, разделяющее числовые множества {то(Л)} и {то(В)}, порождаемые клеточными множествами Л С Л и клеточными множествамиВ D Л (§ 2, теорема 2), т.
е.то(Л) ^ sup то(Л) ^А СП7 ^ inf то(В) ^ т(В).BdQИз определения меры множества Л следует, что в качестве то(Л)можно взять число 7 . Существование числа то(Л) доказано. Докажемего единственность. Пусть есть два числа а и (3 таких, что для любыхклеточных множеств Л и В из Л С Л С В следуетто(Л) ^ а ^ (3 ^ то(В).(7)Так как множество Л измеримо по Жордану, то для любого е > Онайдутся клеточные множества А е и В е такие, чтоАе с Л с В .in (В ) —т ( А е) < е.(8 )Из (7) и (8 ) тогда следует, чтоО ^ /3 — а ^ in (В ) — т ( А е) < е.В силу произвольности е имеем а = (3. •6.
С вой ства м н о ж ес т в а ж ор д а н о в о й м ер ы н ул ь .С в о й с т в о 1. Если Е С Rn и для любого е > 0 найдется клеточное множество В = В е такое, что Е С В и гпВ < е, то гпЕ = 0.О Пусть Л = 0 ; тогда Л С В С В, тоВ —тоЛ = тоВ < е. Следовательно, Е — измеримое множество и гпЕ = 0, так как е — произвольноеположительное число. •З а м е ч а н и е . Множество, удовлетворяющ ее условиям, указанны м всвойстве 1, будем назы вать множеством меры нуль.С в о й с т в о 2.
Объединение двух множеств (конечного числа множеств) меры нуль есть множество меры нуль.О Если rn(Ei) = т( Е 2 ) = 0, то для любого е > 0 найдутся клеточныемножества Bi и В 2 такие, чтоEi с B i,Е 2 С В2,to(B i) < | ,то(В2) < | .450Гл. X . Кратные интегралыТогда В = В\ U В 2 есть клеточное множество иEi U Е2 С -Bi U В 2,т( В) ^ m( Bi ) + т ( В 2) < || =е.Следовательно, rn(Ei U £/2) = 0. •С в о й с т в о 3. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.О Пусть Е' С Е и Е — множество меры нуль.
Тогда для любого е > 0найдется такое клеточное множество А, что Е' С Е С А и т(А) < е.В силу свойства 1 множество Е 1 имеет меру нуль. •Сформулируем вспомогательную лемму геометрического характера.J1 е м м а 3. Если связное множество А С Rn не имеет общих точек с границей множества В С Rn, то А лежит либо внутри В , либовнутри его дополнения.О Опуская подробное доказательство этой интуитивно очевиднойлеммы, поясним его идею. Предполагая противное, получаем, что существуют точки а и Ъ множества А такие, что а принадлежит внутренности В , Ъ принадлежит внутренности дополнения В.
Пользуясьсвязностью множества А, соединим эти точки кривой Г, лежащейв множестве А. Точки кривой можно разбить на два класса. Точкас принадлежит первому классу, если дуга кривой Г с концами а ис лежит в множестве В. Все остальные точки кривой Г отнесем ковторому классу. На кривой Г существует точка, разделяющая эти дванепустых класса, что следует из теоремы об отделимости (§ 2, теорема 2). Нетрудно показать, что эта точка не может лежать ни вовнутренности множества В, ни во внутренности его дополнения и,следовательно, является граничной точкой В. Так как эта точка одновременно принадлежит и множеству А, то получаем противоречиес условием леммы. •Т е о р е м а 1 (критерий измеримости множества в Rn). Для тогочтобы множество Л С Я” было измеримым по Жордану, необходимои достаточно чтобы оно было ограниченным, а его граница dil имелажорданову меру нуль.О Н е о б х о д и м о с т ь .
Из измеримости Л следует, что для любогое > 0 найдутся такие клеточные множества А и В, что Л С Л С Ви гп(В) —гп(А) < е. В силу свойства 4 меры клеточных множеств(п. 4) без ограничения общности можно считать, что множество А несодержит граничных точек множества Л, а множество В содержитвсе граничные точки Л. Клеточное множество В \ А содержит 9Л, имера его меньше е.
В силу свойства 1 множество 9Л имеет жордановумеру нуль.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть m(dil) = 0 и Л — ограниченное множество в Rn. Заключим множество Л в клетку П. Возьмем произвольное е > 0 и построим клеточное множество С такое, что 9Л С С§45. Мера Жордана в R n451и гп(С) < е. Тогда П \ С — клеточное множество, не содержащее граNничных точек множества О. Пусть П \ С = IJ П,.
Так как клетка П/г= 1не содержит граничных точек множества О, то в силу леммы 3 либо П/ П О = 0 , либо П/ С О. Занумеруем клетки П/ в таком порядке, что H i, П/ С О, а II/. | .......11% имеют с О пустое пересечение.INПусть А = (J П/ и В = . 4 и С = П \ ( (J И*). Тогда Л с О С В иi= ii= i+ 1гп(В) —гп(А) = гп(С) < е. Следовательно, множество О измеримо поЖордану.
•7.С вой ства м н о ж ест в , и зм е р и м ы х по Ж ор д а н у .С в о й с т в о 1. Если множества fii и 0 2 измеримы по Жордану,то ill П П2 , Oi \ П2 и Qi U Л2 измеримы по Жордану.О Измеримые по Жордану множества Л 1 и Л2 ограничены и в силутеоремы 1 m(dOi) = гп(дЛ2 ) = 0, поэтому иm(dOi иЗЛг) = 0. Нод(Ог п 0 2) С дОг U 3 0 2, д(Ог \ 0 2) с дОг U 3 0 2,д(Ог U Л2) С дОг U d 0 2.Поэтомуп 0 2)) = т,(д(Ог \ Л2)) = m(5(fh U Л2)) = 0 .В силу теоремы 1 множества Л 1 П Л2 ) Л 1 \ Л2 ) Л 1 U Л2 измеримы поЖордану.
•С в о й с т в о 2. Если множества О* при i = 1,п измеримы по ЖорПдану, то и множество (JО* измеримо по Жордану иi=1 ппт ( U лЛ ^ ^ ш (Л * ).(9)т,(д(Ог®—1Если множестваi= 1попарно непересекаются, топпт ( 0 о Л = ^ т о ( Л /).(10)i=1г=1О Рассмотрим случай п = 2. Если О/ и П2 — измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество Л 1 U Л2 измеримопо Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого е > 0 найдутсяклеточные множества В i и В 2 такие, чтоOi С В\,0 2 С В 2,m(Oi ) > m ( B i ) - | ,то (Л 2) > т ( В 2) - | .Тогда Bi U В 2 есть клеточное множество, содержащее множество Qi U 0 2.
Используя свойство 3 клеточных множеств (п. 4), получаем, чтото(Qi U Л2 ) ^ m (B i U В 2) ^ m,(Bi) + т{ В2) < TO(i2i) + т { 0 2) + е.Гл. X . Кратные интегралы452Так как е > 0 произвольно, тоm (fii U П2) ^ m ( f l i ) + m ( f l 2).(11)Пусть fii П П2 = 0 . В силу леммы 2 найдутся клеточные множества Ai и А 2 такие, чтоAi С O i, rn(Ai) > то(П 1 ) —| ,А 2 С П2,т ( А 2) > то(П 2) — | .Тогда Ai UА 2есть клеточное множество, содержащееся вмножестве fii U П2.
Так как множества Ai и А 2 не пересекаются, тото(П1 U Л2) > m( Ai U А 2) = rn(Ai) + т( А 2) > то(fii) + то(Л2) —е.В силу произвольности е отсюда следует, чтоm(Qi U Л2) ^ m(i2i) + то(Л2).(12)Из (11) и (12) заключаем, что при Л 1 П Л2 = 0 должно быть выполнено равенство rn(ili U Л2) =+ m(Sl2).Применяя метод математической индукции, из неравенства (11)легко вывести справедливость неравенства (9) для любого п £ N. Припомощи аналогичных рассуждений из справедливости равенства (10)для п = 2 выводится справедливость этого равенства для любогоп G N.
•Говорят, что равенство (10) выражает свойство конечной аддитивности меры Жордана.У п р а ж н е н и е 1. Доказать, что множество всех рациональных точекотрезка [0 , 1] неизмеримо по Ж ордану в R.У п р а ж н е н и е 2. Пусть Q — измеримое по Ж ордану множество в R n,а 'Г, — преобразование подобияТих = (hxi, hx 2 , ■■■■,hxn),x € R n,h> 0.Д оказать, что ш (ТдЛ) = hnm( Л).У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что при преобразовании подобия мера каждой клетки изм енится в hn раз.У п р а ж н е н и е 3. П оказать, что спрямляемая кривая на плоскости имеет жорданову меру нуль.У к а з а н и е .
Точкам и Ро,...,Рп разбить кривую на дуги равной длины S/n, где S — длина кривой. В каждой из точек Р; взять квадрат состороной 2 S/n. Оценить сум м у площадей всех квадратов.§ 46. О п ределен и е и св о й ств а к р атн ого и н тегр ал а Р и м ан а1.Р а з б и е н и я . Пусть множество G измеримо по Жордану в Rn .Совокупность измеримых по Жордану в Я” и попарно непересекаюNщихся множеств G\ ,G \ называется разбиением G , еслиРазбиение будем обозначать буквой Т.G= (J G i .i= 1§46. Определение и свойства кратного интеграла Римана453Пусть d(Gi) есть диаметр множества Gi, т. е.d(Gi) =supр(х,у).xEGi,yEGiЧисло l(T) = max d(Gj) будем называть мелкостью разбиения Т.i= l, NРазбиение Т = {Gi}, i = 1, N, будем называть продолжением разбиенияТ ' = {G'}, i = 1, N , и писать Т -< Т ', если каждое из множеств G,является подмножеством некоторого множества G'k.
Очевидно, чтоиз Г у Г' следует, что 1(Т) sC 1(Т').2.И н т е г р а л ь н ы е с у м м ы Р и м а н а . С у м м ы Д а р б у . Пустьфункция f ( x ) определена на измеримом по Жордану множестве G,а Т есть разбиение множества G : Т = {Gi}, i = 1, N. Возьмем вкаждом из множеств G, по точке £*. ВыражениеNaT ( f , t , G) = J 2 f ( G m ( G i )i= 1называется интегральной суммой Римана функции f ( x) на множестве G, соответствующей разбиению Г и выборке £ = (£i,...,£/v)- Иногдадля краткости будем обозначать сумму Римана просто через атЕсли функция f ( x) ограничена на множестве G, то для любогоразбиения Т = {Gi}, i = 1, N, определены числато, = inf f (x) , Mi = sup f(x).*6°;xeGiВыраженияNNSt =AfjTO(Gj),i= lst= ^ m ,T O (G ,)(1)i= lназываются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующимиразбиению Т.3.И н тегр ал Р и м ан а как п редел и н тегр ал ьн ой су м м ы .Оп р е д е л е н и е . Число I называется пределом интегральной суммы ат при мелкости разбиения l(T)0, если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что для любого разбиения Т с мелкостью l(T) < 6и для любой выборки выполняется неравенство\ 1 ^ а т( / , Д С ) \ < £ .(2)Если число I есть предел интегральной суммы при l(T)О,то будем писать I = lim ат, само число I будем называть/(Т)-Юкратным интегралом Римана от функции f ( x ) по множеству G, афункцию f ( x) — интегрируемой на множестве G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
