Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения:dx,J J f ( x 1,...,xn) d x 1...dxn.Gп разГл. X . Кратные интегралы454В случае п = 2 интеграл называется двойным, а в случае п = 3 —тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла:J J f(x,y)dxdy,GУпражнениенаяj j j f(x,y,z)dxdydz.G1.Показать, что неограниченная функция------ на множ естве G\ = {(х,у) : у = 0, 1/ (се ,у) , равсс < 2} и равная нулюна R2 \ G 1, интегрируема на множестве G, являю щ емся объединением круга {(се, у ) : х~ + у~1} и множ ества G ъНазовем функцию / ( ) существенно неограниченной на измеримом по Жордану множестве G С Rn, если она неограниченна на любом подмножестве G' С G таком, что rn(G \ G') = 0.сеУ п р а ж н е н и е 2.
Д оказать, что сущ ественно неограниченная на измеримом по Ж ордану множестве G функция /(се) не будет интегрируемой наэтом множестве.У к а з а н и е . См. доказательство теоремы 1, § 34.В дальнейшем рассматриваются только ограниченные функции.Т е о р е м а 1 (критерий интегрируемости). Для того чтобы ограниченная функция /(се) была интегрируема на измеримом по Жордану множестве G С Rn, необходимо и достаточно, чтобы для любогое > 0 нашлось такое 6 > 0, что для любого разбиения Т с мелкостьюЦТ) < 6 разность верхней и нижней сумм Дарбу была меньше е, т.
е.S t ^ S t ^ O при ЦТ) -X 0.Доказательство теоремы 1 ничем не отличается от соответствующего доказательства для определенного интеграла (см. § 34).Справедлива более сильная теорема.Т е о р е м а 2. Для того чтобы функция / ( ) , ограниченная на измеримом по Жордану множестве G € Rn, была интегрируемой на множестве G, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлосьтакое разбиение Т множества G, что S t — S t < £■Сформулируем несколько вспомогательных лемм.Л е м м а 1. Если измеримые множества G и П принадлежат пространству Rn и то(Л) < е, то найдется число 6 > 0 такое, что длялюбого разбиения Т множества G с мелкостью ЦТ) < 6 сумма мермножеств Gi, имеющих с Л непустое пересечение, будет меньше 4е.О Поскольку измеримое множество Л, мера которого меньше е, содержится в клеточном множестве, мера которого меньше, чем 2 ".а клеточное множество состоит из конечного числа клеток, то достаточно доказать лемму для случая, когда множество Л есть клетсе§46.
Определение и свойства кратного интеграла Римана455ка П. Ограничимся случаем клетки в R2.Построим для прямоугольника П рамку(рис. 46.1). Можно так подобрать S, что площадь прямоугольника Щ, получающегося изП добавлением рамки, не будет превышать 2г.Если мелкость разбиения множества G меньше8, то все элементы разбиения Gi имеющие непустое пересечение с П, лежат в прямоугольнике Пs, и, следовательно, сумма их мер не превышает меры Пs. •Доказательство следующих двух лемм предоставляем читателю вкачестве упражнения.Л е м м а 2.
Если Et\ и Et2 — непер ссекающиеся замкнутые множества в Rn и хотя бы одно из этих двух множеств ограничено, тоp(Pt 1, Pt2) > 0.Напомним, что расстояние между двумя множествами равно точной нижней грани расстояний между точками этих двух множеств.Л е м м а 3. Если p(Q i, Q2) = 8 > 0, множество G С Qi U Pl2 и диаметр множества G меньше 8, то либо G С fii, либо G СЗаметим, что диаметр множества равен точной верхней грани расстояний между точками этого множества.Переходим к доказательству теоремы 2.О Н е о б х о д и м о с т ь следует из теоремы 1.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть |/(ж)| < М и пусть для произвольногог > 0 нашлось разбиение То множества G, для которого разность суммДарбу меньше г/2. Без ограничения общности можно считать, чтоТ0 = {Gj, G ?,..., G®, Gp}, где множества G? являются компактами, асумма мер множеств {G°,...,G°} не превышает г/ (8М).
Это следуетиз того, что в каждое измеримое множество можно вложить компакт,сколь угодно мало отличающийся от этого множества по мере (§ 45,свойство 4, п. 4), а при измельчении разбиения разность сумм Дарбу может только уменьшиться. Обозначим объединение множеств G?через А. В силу леммы 2 существует число 8 > 0 такое, что расстояниемежду любыми двумя компактами G° превышает 8. Пусть Т — произвольное разбиение множества G с мелкостью, не превышающей 8. Всилу леммы 3 множества, составляющие это разбиение, можно разделить на две группы. Множества, входящие в первую группу, целикомлежат в одном из множеств G? , а множества, входящие во вторуюгруппу, имеют непустое пересечение со множеством А.
В силу леммы 1 сумма мер множеств второй группы не превышает г/ (2М). Тачасть суммы S t — «т? которая соответствует первой группе, не превышает г/2, поскольку при измельчении разбиения разность суммДарбу не увеличивается, а часть, соответствующая второй группе,не превышает г /2 в силу того, что |/(ж)| < М, и сумма мер множеств456Гл.
X . Кратные интегралывторой группы не превышает е / ( 2 М). Таким образом, S t — S t < £ ифункция f ( x ) интегрируема вследствие теоремы 1. •4 . К л ассы и н т е г р и р у е м ы х ф у н к ц и й .Т е о р е м а 3. Непрерывная на измеримом по Жордану компактефункция f ( x ) интегрируема на этом компакте.Напомним, что компакт в Rn — это ограниченное и замкнутоемножество и что функция f (x) , непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на этом компакте (теорема Кантора).Доказательство теоремы 3 ничем не отличается от соответствующего доказательства теоремы об интегрируемости функции одной переменной, непрерывной на отрезке. Докажем более общую теорему.Т е о р е м а 4.
Пусть функция f ( x ) ограничена на измеримом компакте G С Rn и множество ее точек разрыва имеет жорданову мерунуль. Тогда функция f ( x) интегрируема на G.О Пусть Е есть множество точек разрыва функции f ( x ) и гп(Е) = 0.Тогда для любого е > 0 найдется такое открытое измеримое множество А, что Е С А ит ('4) <гДе м = sup 1/(ж)14МхевНа замкнутом ограниченном множестве G \ А функция f ( x ) непрерывна, а поэтому интегрируема (теорема 3).Для любого е > 0 найдется разбиение {G2 ,...,Gjv} = Т' множества G \ А такое, чтоNS t >- st >=- mu) m(Gu) < | .k(3)=2Пусть Gi = А П G. Тогда множества {G i,G 2 ,...,Gjv} образуютразбиение Т множества G, причемm( G1) ^ m{A) < -S -.(4)Используя неравенства (3) и (4), получаемNS T ^ s T = (M l - TO i)m (G i) + ^ 2 ( M k - m k ) m ( G k ) <k+ f = e-=2Так как e — произвольное положительное число, то вследствие теоремы 2 функция f ( x ) интегрируема на множестве G.
•З а м е ч а н и е . В условиях теоремы 4 можно о тказаться от требования,чтобы измеримое множество G было компактом. Согласно теореме 1 из§ 45 измеримое множество G ограничено и m(dG) = 0. Т ак как G и dG —измеримые множества, то зам кнутое множество G = G U 8G измеримо поЖ ордану, т. е. G — измеримый компакт в Rn. Если доопределить функциюf{x) нулем на 8G, то она останется ограниченной, а множество ее точек§46. Определение и свойства кратного интеграла Римана457разры ва будет иметь жорданову меру нуль, так как оно содерж ится во множ естве Е U 8G меры нуль. В силу теоремы 4 функция f (x) интегрируемана множестве G, а следовательно, и на измеримом подмножестве G.5.С войства кратн ого и н теграл а.
Поскольку все перечисленные свойства доказываются так же, как и соответствующие свойства определенного интеграла, то большая часть этих свойств не будетобосновываться подробными доказательствами.С в о й с т в о 1. Справедливо равенство J l - d x = m(G).GО Для любого разбиения Т выполнено равенствоNат( 1j£jG) == rn(G).i= 1С в о й с т в о 2. Если f ( x ) > 0 и f ( x ) — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве G функция, то J f ( x ) dx 0.GС в о й с т в о 3. Если f i(x) и / 2 (1 ) — интегрируемые на множестве G функции, а а и (3 — произвольные вещественные числа, то ифункция a f i (х) + (3f2 (х) интегрируема на G, причемJ (afi (x) + /3/2(ж)) dx = a J fi(x) dx + (3J f 2 (x) dx.GGGС в о й с т в о 4.
Если f i(x) и / 2 (2:) — интегрируемые на множестве G функции и f i ( x) ^ / 2 (2;) при х € G, тоj/1 (2;) dx ^ J f 2 (2;) dx.GGС в о й с т в о 5. Если функция f ( x ) непрерывна на измеримом связном компакте G, то найдется точка £ € G такая, чтоJ f ( x) dx = / ( / ) m(G).G(5)О Если rn(G) = 0, то равенство (5) очевидно. Пусть rn(G) > 0,р = m in/ , М = m a x /. Тогда рf ( x) ^ М при х € G, pm(G) ^x EGx EGJ f ( x ) dx «С Mm(G).GСледовательно,11 ^ M G ) / ^dx ^ М'Гл. X . Кратные интегралы458Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая нанем значения р, и М, принимает и все промежуточные значения, апоэтому существует точка £ (г (! такая, чтоGС в о й с т в о 6.
Если {Gp}, к = 1, то, есть разбиение множества G,то функция /(ж) интегрируема на множестве G в том и только томслучае, когда она интегрируема на каждом из множеств Gp, причемm(6 )k=l GkGГоворят, что формула (6) выражает свойство конечной аддитивности интеграла по области интегрирования.С в о й с т в о 7. Произведение интегрируемых на измеримом множестве G функций есть интегрируемая на множестве G функция.С в о й с т в о 8. Если функция /(ж) интегрируема на измеримоммножестве G, то функция |/(ж)| также интегрируема и(7)GGВ дальнейшем будем часто пользоваться свойством кратного интеграла, выраженным в следующей лемме.Л е м м а 4.
Пусть функция /(ж) ограничена на измеримом по Жордану множестве G, а Е есть множество жордановой меры нуль. Еслидля любого разбиения Т = {Gp}, k = 1, N, отбрасывать в интегральной сумме стт слагаемые, соответствующие тем множествам Gi, которые имеют непустое пересечение с Е , то это не повлияет ни насуществование предела интегральной суммы при мелкости 1{Т) -X О,ни на величину этого предела.О Если rn(G) = 0, то лемма, очевидно, справедлива, так как для любого разбиения ат = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
