Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Эта функцияопределена на R,f ( x ) = ^ e - ^ 2,Xf " ( x ) = ( ^ - ^ ) e - 1^\ JLJLпри/ж ф 0,откуда с помощью индукции легко показать, чтоf ( n)(x) = e - 1/ x2QZn{ ^ )приж # 0,где Qzn{t) — многочлен степени Зте от t. Воспользуемся тем, что11/ 2lim — г еГ ,х = 0 для любого к £ N (§ 19, пример 7), и докажем,ж-s-O |ж|ЛЧТО/ « ( 0) = 0 для любогок £ N.Утверждение (4) верно при к = 1, так как /'(0 ) = lim(4)е - 1/®2= 0, откуда, предположив, что формула (4) справедлива при к = те, находим/(»+D (0) = lim / " ’(s) ~ / (n)(°) = П т ^ Q s J ^ e - 1^ 2 = 0.ж-»-охж-»-о х\х JТаким образом, по индукции доказано равенство (4), и поэтому всекоэффициенты ряда Тейлора (1) в точке Xq = 0 для рассматриваемойфункции равны нулю.Так как е ^ 1Рх ф 0 при х ф 0, то сумма ряда Тейлора для функции /не совпадает с f ( x ) при х ф 0.
Иначе говоря, эту функцию нельзяпредставить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точкиЖо = 0.Гл. IX . Функциональные ряды436Причина этого явления становится понятной, если функцию /рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функцияf ( z ) = еХ1^ не является непрерывной в точке z = 0, так как/(ж) = еХ1^ X 0 при х X 0, а /(% ) = е1/ у X +оо при у х 0.2.О статочны й член ф орм улы Т ейлора. Пусть функция fi x)бесконечно дифференцируема в точке Xq. Тогда ей можно поставитьв соответствие ряд (1).
Обозначимs n(x) =^(х - Х0)к ,(5)к =Огп(х) = /(ж) - S n(x)(6)и назовем гп(х) остаточным членом формулы Тейлора для функции /в точке Хо (см. § 18). Если существуетlim г„(х) = 0,(7)П —¥ ООто согласно определению сходимости ряда ряд (1) сходится к функции/(ж) в точке х, т. е.п=0Т е о р е м а 1. Еслифункции/(ж), /Дж),...,f ( n+1'1(ж)непрна интервале А= (жо—5,Хо +S), где 6 >0,тодлялюбостаточный член формулы Тейлора для функции / в точке X q м о ж н опредставить:а) в интегральной формеXг„(ж) =(х - t)n f (n+1) (t) dt;(9)жоб) в форме ЛагранжаГ п ( х ) = ( п + ^ ! ( х ^ х 0)п + 1 ,(Ю )где f принадлежит интервалу с концами Xq и х.О Формула (10) была доказана в § 18.
Докажем формулу (9) методоминдукции. В силу равенств (5) и (6) нужно показать, что/ ( ж ) - /(ж о ) =(х - *<>)* + ^ ] \ x ^ t ) nf n+1\ t ) d t .к= 1а;о(11)437§44- Рид ТейлораXВоспользуемся равенством / f'(t) dt = f ( x) —f ( x о) и преобразуем iжолевую часть с помощью формулы интегрирования по частям:Xрр*'—хрJ f ( t ) dt = - J f ( t ) d(x - t ) = [~f' (x)(x - t)] ^+ j \ x - t ) f " ( t ) dt =XQXQXQX= f ' ( x 0)(x -X q)+ f ( x - t)f"(t) dt.XQТаким образом,Xf ( x) - f ( x o) = f ' ( x o)(x - x 0) + f (x - t)f"(t) dt,soт. e.
формула (11) верна при n = 1. Предположим, что формула (11)является верной для номера п —1, т. е./(ж) - f ( x 0) = £(ж - Х0)к +/( ж - t)n- 1/ (n)(i) dt.к= 1а; о( 12)Преобразуем интеграл в правой части формулы (12), применив формулу интегрирования по частям:J ( x - t ) n- 1f W ( t ) d t = - ± j f {n)( t ) d ( ( x - t ) n) =XQXQ= ( - h f (n)m x ^ t r )\/+ i f ( x - t ) nf ^ +iHt)dt =t=X 0JXQX= ^ f (n)(xо ) ( ж- ж0)" + ^ J ( x - t ) nf ( n+1)(t)dt.X()Отсюда следует, что равенство (12) можно записать в виде (11). Формула (9) доказана.
•Т е о р е м а 2. Если функция / и все ее производные ограничены всовокупности на интервале А = (жо —S,Xq + 6), т. е.З М >0: Vx € Д\ f (n)(x)\ ^ М, п = 0,1,2,...,(13)то функция / представляется сходящимся кней в каждой точке интервала А рядом Тейлора (8).О Пусть х € (жо —S,Xqвие (13), получаем+6). Тогда, используя формулу (10) и услоЫ *)\ ^(14)Гл. IX . Функциональные ряды438Так как lim — = 0 для любого а > 0 (§ 40, пример 4, а)), то из (14)П — 'тООП\следует, что выполняется условие (7), т.
е. в точке х справедливоравенство (8). •Упра жне ние . Доказать, что теорема 2 остается в силе, если условие (13) заменить следующим условием:ЗМ > 0 3 (7 > 0: V* € А -*• \ f ln)(x)\ «С МСп,п = 0,1,2,...3.Р а з л о ж е н и е э л е м е н т а р н ы х ф у н к ц и й в р я д Т е й л о р а . Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора вокрестности точки Xq = 0, т.
е. в ряд видаfw= ЕЧ\ хП'(15)который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты/(»)(о)-—разложения (15) для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) былинайдены в § 18.а)Показательная и гиперболические функции. Пусть f ( x) = ех.Тогда для любого х € (—р, р), где р > 0, выполняются неравенства0 < f(x)< е р,0 < f ( n\ x )< е р,riGN.По теореме 2 ряд (15) для функции f ( x ) = ех сходится к этой функции на интервале (^р,р) при любом р > 0, т. е. радиус сходимостиэтого ряда R = +оо. Так как для функции f ( x) = ех выполняютсяравенства /(0 ) = 1, / ^ ( О ) = 1 для любого те, то по формуле (15) получаем разложение в ряд Маклорена показательной функциие = Етгв!п=0Используя разложение (16) и формулы.€ Х 3" вchx = ----2Х.,sn;c =(16)е€Х2находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса игиперболического синуса:ОО<** = Еп =Оsha: = y ^^п =О2?7,( f c jr(1?)'г— —т.(18)(2п + 1)!Радиус сходимости каждого из рядов (17), (18) R = +оо.439§44- Рид Тейлораб)Тригонометрические функции.
Пусть /(ж) = sinx. Тогда |/(ж)| ^^ 1 и | / ^ ( ж)1 ^ 1 для всех п £ N и для всех ж £ R. По теореме 2ряд (15) для функции /(ж) = sin ж сходится для любого ж е (—оо, +оо),т. е. радиус сходимости этого ряда R = +оо.Если /(ж) = sin ж, то /(0 ) = 0, / ( 2пЦ0) = 0, /'(0 ) = 1, / ( 2»+1)(0) == ( —1)” для любого те, и по формуле (15) получаем разложение синусав ряд Маклорена:°° /_1 \п8 Ш Ж = Г Т ^ Л д Ж 2^ 1.(19)(2п + 1)!v 'п =ОПусть /(ж) = cos ж. Тогда |/(ж)| ^ 1, \f^n'1(ж)| ^ 1 для всех те идля всех ж е R, /(0 ) = 1, /'(0 ) = О, / ^ ( О ) = ( - 1 ) ” , / ( 2”+1)(0) = 0 длявсех те.
По формуле (15) получаемCOS Ж —ххv -!)П=ОРадиус сходимости каждого из рядов (19) и (20) R = +оо.в) Логарифмическая функция. Пусть /(ж) = 1п(1 + ж). Тогда; w ( 9 = (-1)J 7 " : 1)!,<2 0 >(2 dоткуда находим/(»)(о)п\_( 22 )ПО Оценим остаточный член гп(ж), пользуясь формулой (9) при Xq = 0.Преобразуем эту формулу, полагая t = тх. Тогда dt = x dr , 1 —ж == ж(1 —т) и формула (9) примет видrn(x) = ^ f ( l ^ T ) f (n+1HTx)dT.(23)оЕсли /(ж) = 1п(1 + ж), то по формуле (23), используя равенство (21), получаемг„(.т) = (-1 ) V + P j J L z l ? L dT.(24)Пусть |ж| < 1.
Тогда справедливы неравенства| 1 - ~ж| )> 1 - ~|ж|I — Г.|1 + тж| > 1 —|ж|,(25)(26)так как 0 ^ т ^ 1. Отсюда следует, что при любом те е N выполняетсянеравенство|1 + тж|”+1 > (1 - т ) ” (1 - |ж|).(27)Гл. IX . Функциональные ряды440Используя неравенство (27), из формулы (24) получаем следующую оценку остаточного члена:Iг (ж)| < Ы п+1 [dT-ооткуда следует, что rn(x) -X 0 при те -X оо, если Ы < 1.Пусть х = 1.
Тогда 1 + тх = 1 + т, (1 + т)п+ ^ 1, 1 —т ^ 0, таккак 0 ^ т ^ 1. Поэтому из формулы (24) следует, что |г„(1)| sC1^ J (1 —т)п dr = гс + ^ , откуда получаем: г„(1) —^ 0 при те —^ оо.оИтак, если х € ( —1,1], то остаточный член г„(ж) для функцииf ( x ) = 1п(1 + х) стремится к нулю при те —^ оо, т. е. ряд Маклорена сходится к f(x). •Из формул (15) и (22) получаем разложение функции 1п(1 + х) вряд Маклорена°° / I \ гг—1ln(l + x) = J 2 —(28)п=1радиус сходимости которого R = 1.Формула (28) справедлива при х = 1, и поэтомуШ2 = £'П=1М 1П = 1те1+ 12 34+теЗаменяя в формуле (28) х на —х, получаемоо пln(l-z) = - £ ^ - .+(29)п=1г)Степенная функция. Пусть f ( x ) = (1 + х)а. Если а = 0, то f ( x ) == 1, а если а = те, где те G А/, то f ( x) — многочлен степени те, которыйможно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:yk кс*упХ ./(* ) = £к=ОПокажем, что если а ^ N и а ф 0, то функция f ( x) = (1 + х)а представляется при каждом х € (—1,1) сходящимся к ней рядом МаклоренаОО(i + x)a = j 2 c > n>(3°)п=0гдеС° = 1СкСп = а (а - !)•••(« - (» - !))^Ск1~l\/31)V'О Так как/(»+ 1)(ж) = а (а - !)...(<* - те)(1 + ж)а- ( ”+1),(32)441§44- Рид Тейлорато по формуле (23) получаем1rn(x) = A nx n+1 j ( - ^ - У ^ + т хГ-Ч т ,(33)где,А-п —а(а— 1 ) .
. . ( а — п)•п!jВыберем число го 6 IV таким, чтобы выполнялось условие |ск| ^ то.Тогда при всех п ^ то справедливы неравенства, .,m(m + l)...(m + n)п\I "I ^(т + п)\п\^.,=,(П +.+ т ) ^,. та,(2 п У ■ (3 4 )Используя неравенства (25) и (26), а также неравенство |1 + тж| ^<1 1 + |ж|, получаемО «Си +,11ia-1 ^/ р(х)at \Т Х Г1^=1 + ХТf«С 1,(35)(1+ N Ка-1) Q_1, если),(1—|ж|)а , если<а ^ 1)а 'Т< 11,гоа\(36)''Из формулы (33) и оценок (34)-(36) следует неравенство\rn(x)\^ /3(x)2mn m\x\n+1,(37)которое справедливо при всех т е с т о й для каждого х € ( —1,1).Так как limt -Я -ооtmnm—г = 0 при а > 1, то lim -—т-—г— - = 0.
Поэтому иза*г а - s-oo ( l / | x | ) n + 1соотношения (37) следует, что rn(x) —1 0 при ri —1 оо для каждого х €€ ( —1,1), т. е. справедливо равенство (30), причем радиус сходимостиряда (30) в случае, когда а ф 0 и а N, равен 1. •Отметим важные частные случаи формулы (30):1п=01= ^ х п.(39)п=0В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы (16)—(20), (28)-(30) и применяюттакие приемы, как: представление данной функции в виде линейнойкомбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; заменапеременного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.1..П р и м е р 1.
Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x) и найтирадиус сходимости R ряда, если:а) 1{х) = т Ь ]б) !{х) = Т г Т Р 1в) 1{х) =Гл. IX . Функциональные ряды442А а) Используя формулу (38), получаем ряд11 + ж:ООп=0радиус сходимости которого R = 1ООи т л —-—___б) Из равенства (30) следует, чтол/1 + хСП =- i /2С п_ 1/2х 2п, гдеп =О= ( - ! ) " ! -3 -(2 п -1 ) =2Пп\_ (—1)” (2п —1)!!“2 Пп\'п!Следовательно,у ; (~ 1)" (2п~ 1)!!»2п,2”n!’П=1в) Так как f ( x) = —Н=*+ 2д= 1-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
