Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

1— г— ^ т о ,2(l+f )v(41);при­3 fl—У-~У Г Т^ ^1 = 1 +меняя формулы (38) и (39), получаем ряд2* — 1 _ V ' / ( - l ) n= y/ ^j /IL9ПJ +1iх2- х - 6\ 2«+!1Ц - Ь " ,^гс+13” +1 /R = 2. Ап=0П р и м е р 2. Разложить в ряд Маклорена функции arctg х, arcsin х,1п(ж + л/1 + х 2) и найти радиусы сходимости R рядов.А а) Почленно интегрируя ряд (40), получаем“ * * * - о/ T T i 5 -п =О2 >l> * s + pд "1-б) Заменяя в формуле (41) х 2 на —х 2, получаемСЮ71=1откуда следует, чтоX[ dtarcsin ж =,J л/Т^¥ол=1.2Пп\'ооуг-' (2п-1)!!=х+ > „х^ 2 » п ! 2п + 1»=12п+1т ,’о1R = 1.в) Почленно интегрируя ряд (41), получаем1° ( х + у г Т Г ) = у А | = = ,т + fо»=11- №-;>" ,т ^ .

, л = 1 . А443§44- Рид ТейлораП р и м е р 3. Разложить в ряд Тейлора в точке Хо = 2 функциюf ( x) = 1п(4 + Зж —х 2).А Так как 4 + Зж —х 2 = —(х — 4)(х + 1), то, полагая I х — 2. полу­чаемf ( x) = 1п(4 —х)(х + 1) == g(t) = 1п(2 - *)(3 +t)= In 6 + ln ( l - I ) + ln ( l + I ) •Используя формулы (28) и (29), отсюда находимОООО/у-),g(t) = l n G ^ T ^ + TJ^п=1п2п. уу^ 1)^пЗ«п=1-| ~у* ,’Щ<2 .11Следовательно,1п(4 + 3 ^ Ж2) = 1п6 + £ ( ^ § ^ ^ ^ ) ^ ^ ,R =2.▲п=14.Э л е м е н т а р н ы е ф у н к ц и и к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о .

По­казательная, гиперболические и тригонометрические функции комп­лексного переменного г определятся соответственно формуламиосaZ= п=0£ i r<42>ЕЕ ~2псЬг = Е ( ^ ) Г(43)п =О°°Ап+15Ьг = Е ( 5ГТТ)Т-(44)п =О°°/_ 1cos z = J 2п=0\п2п(L ) i(2п)!оо>(45)п z ~n+l■пел8шг=Е(Sniv •(46)(2п + 1)!п=0Радиус сходимости R каждого из рядов (42)-(46) равен +оо. Заменяяв равенстве (42) г на iz и —гг, получаем«ге=^(-1 )пгпгпЕ—•п=0Е -^Г’ '■п=0(4?)Используя равенства (47) иформулы (45), (46), находим|—i zei z -re------ = cos z,Aze —e—i z.= sm z,/10\(48)Гл. IX . Функциональные ряды444откуда следует, чтое*г = cos г + г sin г.Полагая в формуле(42) г = Z\ и г = z-i и перемножаяряды, можно показать, чтоg Z lg Z 2 _e Zt + Z 2 'Пусть z=х +формулы (49) находим(49)соответств(50)iy, где х £ R, у £ R.

Тогдаиз равенства(50) иez = ех+гу = ex (cosy + г sin у).(51)Из формулы (51) следует, чтоег+2ттг _ gz^т# е_ ez — периодическая функция с периодом 2ni. Поэтому для каж­дого комплексного z ф 0 уравнениеew = z(52)имеет бесконечное множество решений вида w + i2nn, где w — одноиз решений уравнения (52), п £ Z.Если w = и + iv, то г = ew = eu(cosv + isinu), откуда получаем\z\ = eu, « = 1п|г|, u = argz.Пусть tp — какое-нибудь значение аргумента числа z. Тогдаv = tp + 2ттп,п £ Z.Таким образом, все решения уравнения (52), если их обозначить сим­волом Ln z, задаются формулойLn г = In \z\ + i(tp + 27m),(53)где tp — одно из значений аргумента числа z (z ф ()), п £ Z.По заданному значению г значение w из уравнения (52) определя­ется, согласно формуле (53), неоднозначно (говорят, что логарифми­ческая функция Lnz является многозначной).П р и м е р 4.

Разложить в степенной ряд в окрестности точки z = 0функцию f ( z ) = ez sin z.А Используя формулы (48) и (50), получаем(^Az—i z \-1— ) = Y iiee)-Так как 1 + i = л / 2 е г7!/ 4, 1 —г = л А еГгж^ , то по формуле (42) находим,,ч^=п=02 п /г ( e i*n/A ^е-Ы пЦ2i--------Упражнения к главе I X445откуда в силу второго из равенств (48) следует, чтоСЮ7Гпп п' 2п1- . ж——= > ——sm — г .пв!\А4п /оп=0Радиус сходимости ряда R = +оо. ▲УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX1.

Доказать, что если функции ип{х) непрерывны на отрезке [а , Ъ], aООООряд 'У ( и„ ( х ) сходится равномерно на пром еж утке [а, Ь), то ряд У ( и„(Ь)П=1СХОДИТСЯ.П=1оо2. Доказать, что если ряд > ип(х) сходится равномерно на множестп—1»ве Е у а функция <р(х) ограничена на Е у то ряд уравномерно на множестве Е.ip(x)un(x) сходитсяn=iОО3. Пусть ряд У ( Un(x) сходится на множестве Е у а его сум м а S(x)П—11_ООтакова, что s u p S (x ) = М , где М ф +оо. Д оказать, что ряд > апип(х)Х£Еоо„=1сходится равномерно на множестве Е у если сходится ряд У ( а1п .П=14.

Пусть функция f(x) им еет непрерывную производную на интервале(а, Ь) и пусть f n(x) =----^ —f(x)^j . Д оказать, что последователь­к f ( x ) на отрезке [ai,bi] С ( а,Ь).ность {jn(®)} сходится равномерноОО5. Доказать, что если ряд У ( |an+i(x) —а„(х) | сходится равномерно нап~\Пмножестве Е у sup |an (x)| —¥ 0 при п —¥ оо, а последовательность < уоох£ЕЕна множ естве Е.>•к=1bk(x) )>а„(х)Ь„(х) сходится равномерноп= 1ОО6.

Пусть радиус сходимости степенного ряда У ( a„zn равен R. НайООп=0Е b„zn, если:п=0а) Ъп = й п У к € А/;б) b„ —а”1+\а,п\оо7.Доказать, что если ряд У ( а„ сходится и его сумма равна S y тосущ ествуетп=оlimу а„хп = S.п=0ГЛАВА XКРАТН Ы Е И Н ТЕГРА Л Ы§ 4 5 . М е р а Ж о р д а н а в Я”1. К л е т о ч н о е м н о ж е с т в о в Rn.

Множества А и В называют непересекающимися, если А П В = 0 . Говорят, что множества A i , ..., А ппопарно не пересекаются, если для любых i , j € {1множестваAi и Aj непересекающиеся. Совокупность множеств { A i , А п} буПдем называть разбиением множества А, если А = \J А* и множест­8—1ва . 11 ........1„ попарно не пересекаются.МножествоП = {(х1,...,хп): щ ^ Xi <bi, i = 1,п}(1)будем называть клеткой в Rn. Пустое множество также считаетсяклеткой.Полуинтервал [а, Ь) является клеткой в R. Клетками в Я2 и Я3являются прямоугольники и прямоугольные параллелепипеды, у ко­торых удалены соответствующие стороны или грани.Множество А € Я” будем называть клеточным, если оно являетсяобъединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.Клеточное множество может быть разбито на клетки бесконечныммножеством способов.2.

С вой ства к л еточ н ы х м н о ж ест в .С в о й с т в о 1. Пересечение двух клеток есть клетка.Для доказательства достаточно заметить, что пересечение двухполуинтервалов [а, Ъ) и [с, d) является либо пустым множеством, либополуинтервалом такого же вида. •С в о й с т в о 2. Объединение конечного числа непересекающихсяклеточных множеств является клеточным множеством.С в о й с т в о 3. Пересечение двух клеточных множеств есть кле­точное множество.ОЕсли клетки П 1 ,...,П Р образуют разбиение клеточного множест­ва А, а клетки П^,...,П^ образуют разбиение клеточного множест­ва В, то клетки Пу = П* П П^- при * = 1,р, j = 1, q образуют разбиениемножества А П В.

•С в о й с т в о 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.ОЕсли клетка R является пересечением клеток П и Q, то П\<3 = П \Ди существует такое разбиение клетки П, что клетка R является однойО§45. Мера Жордана в R n447из клеток разбиения. Для того чтобы в этом убедиться в плоскомслучае (в /?"), достаточно провести через вершины прямоугольника Rпрямые, параллельные сторонам П. Удаляя из разбиения П клетку R,получаем, что П \ R — клеточное множество.

•С в о й с т в о 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточ­ное множество.О Пусть клеточное множество А разбито на клетки Щ , ...,ПР и Q —некоторая клетка. В силу свойства 4 множества Ki = П* \ Q являют­ся попарно непересекающимися клеточными множествами. Множест­во А \ Q совпадает с объединением всехи является клеточныммножеством в силу свойства 3. Если клетки Щ , ...,И'т образуют раз­биение клеточного множества В, то множество А \ В можно полу­чить, последовательно вычитая из А клетки !![, ...,И'т. Так как накаждом шаге этого процесса получается клеточное множество, то имножество А \ В , образующееся за конечное число таких шагов, яв­ляется клеточным.

•С в о й с т в о 6. Объединение конечного числа клеточных множествесть клеточное множество.О Если А и В — клеточные множества, то в силу свойств 3 и 5непересекающиеся множества А \ В, В \ А и А П В являются кле­точными. В силу свойства 2 их объединение, совпадающее с A U В,является клеточным множеством. •3.М ера клеточного м н ож ества. Мерой то(П) клетки (1) назо­вем числот (П) = (&i —а\)...(Ъп —ап).(2)Мера пустого множества равна нулю по определению.В частности, мера полуинтервала равна его длине, мера пря­моугольника равна его площади, мера параллелепипеда равна егообъему.Если клетки Hi , Пр образуют разбиение клеточного множест­ва А, то мерой гп(А) множества А назовем числорт(А) = Е т №) (3)*=1Корректность определения 3 доказывает следующая лемма.Л е м м а 1. Мера клеточного множества не зависит от способаразбиения этого множества на клетки.О Можно показать, что каким бы способом клетку П не разбивалина клетки Щ ,...,Пр, мера П как клеточного множества всегда равнамере клетки П, определяемой формулой (2).

Для разбиений клетки,порождаемых одномерными разбиениями всех полуинтервалов [а,,Ь,)в (1), это утверждение доказывается прямым подсчетом. В общемслучае можно сделать дополнительные разбиения.Гл. X . Кратные интегралы448Пусть клетки Hi , Пр иобразуют два различных раз­биения клеточного множества 4 и пусть Пу = П* П П'-. Так как П* == и и ;.. П' = иj=lРi=lпу , тоР QQРY I m № ) = Y 1 Л т (п « ) = Y 1 Л т (п « ) =*=i*=ij=i4=1 *=1что и доказывает утверждение леммы. •Q4=14.

С в ой ств а м ер ы к л ето ч н ы х м н о ж ес т в .С в о й с т в о 1. Если клеточные множества 4 1 ........1;, попарно непересекаются, тот(()АЛ=^2М Аг).i= 1г=С в о й с т в о 2. Если А и В — клеточные множества и Ат( В) = т(А) + т ( В \ А),(4)1СВ, тот(А)^т(В).(5)О Так как клеточные множества А и В \ А не пересекаются и В == A U (В \ А), то в силу свойства 1 справедливо равенство (5). •С в о й с т в о 3.

Если A i , ..., Ар — клеточные множества, тот ( U А г)i=1J 2 m (Ai )'(6)г= 1О Достаточно доказать равенство (6) для р = 2, так как общий случайдоказывается по индукции. Замечая, что Ai С Ai U А 2 = В и В \ Ai СС .42, в силу (5) получаем, чтот {А1 U А 2) = т( В) = т{ А1) + т ( В \ А Д ^ т (А{) + то(42).•С в о й с т в о 4. Для любого клеточного множества А илюбого е > Осуществует такое клеточное множество А е, что А е С А е С .4° С 4 ,где А е — замыкание множества А е, 4° — внутренность множест­ва А (совокупность всех внутренних точек множества А).О Достаточно доказать свойство 4 для одной клетки П.

Характеристики

Список файлов книги