Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Достаточно показать, что функция F(x, у) непрерывна по множествам fi, fii и fi2 (см. упр. 2, § 25), так как Q == fi U fii U fi2. На fi функция F(ж,y) совпадает с /(ж, у) и непрерывна по условию теоремы. Функции /(ж, уфж)) и ф(х,'ф(х)) непрерывнына отрезке [а, Ь] как суперпозиции непрерывных функций (см. упр.
1,§ 25). Покажем, что функция F(ж, у) непрерывна в области fii. Пустьпроизвольная последовательность точек (жk, y k) € fii сходится к точке (ж0,уо) G fii. Тогдаlim F ( x k, y k) = lim F (x k,ip(xk)) = f ( x 0, ip(x0)) = F( x 0, y0)к —t o oк —t o o§47- Сведение кратных интегралов к повторным467и, следовательно, функция F( x, y) непрерывна на fii. Аналогично показывается, что функция F( x, y) непрерывна на множестве ОгТаким образом, функция F( x, y) непрерывна в прямоугольнике П = [а,Ь] х [c,d], где с = min ip(x), a d = max ф(х), и поэтому,а<х<Ьа<х<Ьафункция J F( x , y ) dy непрерывна на отрезке [а,Ь].СПользуясь аддитивностью интеграла относительно отрезка интегрирования, получаем, что функция Ф(ж) представима в виде суммынепрерывных функций:У( х)ф( х)dФ(ж) = J f ( x , y ) dy = J F(x, y ) d y = J F(x, y) dy —Ip(x)Ip(x)<p(x)cdd~ J F( x , y ) dy - J F(x, y ) d y = J F(x, y) dy —Сф( х)c- f ( x , <p(x))(<p(x) - c) - f ( x, Ip(x))(d - ф(х)).•У п р а ж н е н и е 1.
Пусть функция f ( x , у ) непрерывна в прямоугольнике К = {(х.,у): а ф х ф Ь , с ф у ф d}., а функция <р(х) интегрируема наотрезке [а,Ъ]. Доказать, что функцияЬФ(г/) = J <fi(z)f(x,y)dxанепрерывна на отрезке [с, Д].3. С в е д е н и е т р о й н ы х и н т е г р а л о в к п о в т о р н ы м . ОбластьО € R3 называется элементарной относительно оси z, еслиО = {{x,y,z): (х , у ) G G С Я2, ip(x,y) < z < ф(х,у)},где Q — ограниченная область в Я2, а функции <р(х,у) и ф(х,у) непрерывны на G, где G — замыкание области G.Т е о р е м а 4. Если функция f ( x , у, z) непрерывна на О, где областьО элементарна относительно оси z, тоф{х, у), y , z ) d x d y d z = J J dxdy J£2Gf(x,y,z)dz.(10)’ф>(х:у)О Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 для двойных интегралов. •П р и м е р 4.
Вычислить тройной интегралz d x d y d z по обGласти О, ограниченной плоскостями x + y + z = 1, х = 0, у = 0,Гл. X. Кратные интегралы468z = 0 (рис. 47.7).Д Область О = {(ж, y,z): 0 < z < 1 — ж —у, 0 < у < 1 — х, 0 < ж < 1}элементарна относительно оси г. Пусть G есть область на плос-Рис. 47.7Очевидно, что область G элементарна относительно оси у. Применяятеоремы 4 и 2, получаем1-х-уJ J J z dx dy dz = J J dx dy JQGO1=^z dz = - J J (1 —x — y )2 dx dy =G1 —X1\ I dx I (y+ x ~ 1)2 dy= \ f {y+ x ~l)о1 —xdx =01 = 1_= l l ('1 ~ x ^ d x = ~2о “24'▲П р и м е р 5. Свести трехкратный интеграл1\J1—X2I = f dx[ dy- 1 -y/l=x*1f f (z) dz*2Wк однократному, если f (z) — непрерывная на отрезке [0,1] функция.Д Интеграл / равен тройному интегралуI I I f(z)dxdydzQпо области О, ограниченной параболоидом z = х 2 -\- у 2 и плоскостьюz = 1 (рис.
47.8). Область О элементарна относительно оси у ,О = {(ж, у , г ) : —\ / z — ж2 < у < \ / z — ж2, (ж, г) G G},где G = {(ж, z ) : —< ж<О < z < 1}.§47- Сведение кратных интегралов к повторным469Сводя тройной интеграл по области Л к трехкратному, получаем1\fz1 = J f ( z ) d z J dxО\/ Z—X-J11\fzdy = 4 J f ( z ) dz j л/ z —x 2dx = n J z f ( z ) dz. ▲-V ?000Теорема 1 может быть распространена и на те-кратные интегралы.Область Л С Rn+1 называется элементарной относительноосиеслиЛ = {х: {хЛ,...,хп) G G С Rn, tp(x1,...,xn) < х п+1 < ф(хг, ■■■,хп)},где Q — ограниченная область в Я” и (р(х), 'ф(х) — непрерывныена G функции.Т е о р е м а 5.
Если Л — область, элементарная относительноосиa f ( x i , . . . , x n) — непрерывная функция на Л, то справедлива следующая формула:/ f ( x 1,...,x n)d x 1...d xn+1 =QФ(Х1,...,ХП )= j dx\... dxnGJf ( x 1,...,xn+1) d x n+1.(11)ip(x i , . . . , x „ )П р и м е р 6. Найти в Rn меру симплексаS% = {( xi , . . . , xn): Xi + ... + x n < h, Xi > 0, i = 1, n).(12)А При h = 1 будем симплекс (12) называть стандартным и обозначать через S n.
Симплекс (12) получается из стандартного симплекса S n при помощи преобразования подобия:Тр.х = {(у1,-.,Уп)- yi = hx1, ..., Уп = hx n}.Как следует из результата упр. 2, § 45, при преобразовании подобиямера изменяется в hn раз, так чтоm(S£) = hnm {S n).(13)Представим теперь стандартный симплекс S n как область, элементарную относительно оси х п. ТогдаS n = {(х1,...,хп): (х1,...,х п- 1)GS'"-1 , 0 < х п < 1 - x i - ... - х п-г}.Применяя формулу (11), получаем1m ( S n) = J d x i . . .
d x n =s™Js n—1dxi. ..dxn- i11-Ж1...Jо= J dx i J dx 2 ...oo1Хп— 1dxn =xi...Jоx , i —idxn.(14)Гл. X . Кратные интегралы470Внутренний интеграл в формуле (14) равен мереплекса S iZ ^ - Применяя (13) для ее вычисления, находим) сим11m ( S n) = j m i S ^ J d x ! = J ( 1 - x 1)n- 1m (S n~1)d x 1 =оо= m iS 71- 1) j { 1 - Xl)”" 1 dx 1 = m(5J.(15)оТак как S 1 есть отрезок единичной длины, то из формулы (15) иформулы (13) по индукции получаем1m (S") = ij,hnm(S%) = ^ .▲(16)Уп р а жн е н и е 1.
Показать, что при п = 3 и п = 2 формула (16) даетобъем тетраэдра и площадь треугольника.§ 4 8 . Ф ор м ул а за м ен ы п ер ем е н н ы х в к р а т н о м и н тегр а л е1.Н е к о т о р ы е с в о й с т в а г л а д к и х о т о б р а ж е н и й . Пусть G —ограниченная область в Rn, a F: G —> R" есть взаимно однозначноеи непрерывно дифференцируемое отображение.Аналитически отображение F: G —> R” задается при помощи непрерывно дифференцируемых функцийXl —(til, ...,11^), •••; %п — ’Tni'U'l 1•••1^п) •Будем считать выполненными следующие предположения:а) производные d(pi/duj ограничены в G;б) производные d(pi/duj равномерно непрерывны в G;в) якобиан отображения удовлетворяет при и € G условию\J(u)\ > а > 0 .Напомним, что якобиан J(u) есть определитель матрицы Якоби\\dipi/duj\\.Отображение, удовлетворяющее условиям а)-в), обладает еще иследующими свойствами.С в о й с т в о 1.
Если Г С G есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ Г1= F (Г) есть непрерывно дифференцируемая кривая.С в о й с т в о 2. Если Л — область и Л С G, то ее образ Л' = F (Л)будет областью. Образ границы Л есть граница Л'.Свойство 1 есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции, а свойство 2 есть следствие теоремы о неявныхфункциях и было доказано в § 28.§48- Формула замены переменных в кратном интеграле2.Л ем м аотображ ения.огеом етр и ч еск омсм ы сл ем одуля471якобианаЛ е м м а 1. Пусть число h > 0, а П — замкнутый квадрат в R2 свершинами в точках A(uo,vo)j B(uo + h,vo), С( щ + /г, Vo + h),D(uo,vo + h). Тогда образ квадрата П' = F (П) при отображении F:G —У/?2, обладающем свойствами а)-в), описанными в п.
1, являетсяизмеримой по Жордану областью и= l7 ^ 0^ 0)!’4)причем разность^ —\J(uo,vo)\ при h 0 стремится к нулю равномерно по (щ,Уо) на множестве G, т. е. для любого £ > 0 найдетсячисло S > 0 такое, что при любом h < 5 и для любого квадрата П С Gсо стороной длины h выполнено неравенствот ( П ')h2 - \ J ( u o , v 0)\ <£.(2)Доказательство леммы 1 не очень просто и приведено в [1, § 82].Здесь же поясним геометрический смысл этой леммы (рис. 48.1).О Покажем, что П' = F ( П) есть измеримая область. Стороны квадрата П являются отрезками. Поэтому их образы при отображении F:GR2 будут гладкими кривыми. Так как образ границы есть граница образа, то дП' есть кусочно гладкая кривая, а поэтому т{дП') == 0 (см. упр. 3, § 45).
Следовательно, П' есть измеримое множество (см. теорему 1, § 45). Будем в дальнейшем П' = F ( П) называтькриволинейным параллелограммом.Если рассматривать точки Q(u,v), достаточно близкие к вершинеквадрата A( uq, vq), то отображение F: G —> R2 можно приближеннозадать как аффинное, т. е.х = х 0 + а ц( и - и0) + a12(v - v0),у = уо + a2i(u - и0) + a22 (v - v0),472Гл. X . Кратные интегралыгде(3)Формулы (3) получаются, если разложить функции ip(u,v) изадающие отображение F, по формуле Тейлора в окрестности точки А (ио, Wo) и отбросить члены, являющиеся o(p(A,Q)), когдарасстояние р(А, Q) между точками А и Q стремится к нулю.Будем аффинное отображение, определяемое формулами (3),обозначать F: R2 -X R2. Как известно из курса аналитической геометрии, образ квадрата П при аффинном отображении есть параллелограмм П = F( П), площадь (мера) которого то(П) равна площадиквадрата то(П) = Ь? , умноженной на модуль определителя аффинногоотображения, т.
е. то(П) = h?\ det ||ау|| |.Воспользовавшись выражениями (3) для коэффициентов, получаем, что_^ 2 1 = | det ||а у || | = |J ( « o , v 0)|.Идея доказательства леммы 1 основана на том, что при заменекриволинейного параллелограмма П' на параллелограмм П (рис. 48.1)площадь изменится на величину, являющуюся o(h2) при h —¥ 0.Доказательство обобщается на Rn. •3. Ф ор м ул а за м ен ы п ер ем ен н о й в к р а т н о м и н т егр а л е.Т е о р е м а 1. Пусть отображение F: Л —^ Rn (где Л С Я” — открытое множество) является взаимно однозначным и удовлетворяетусловиям а)-в) п. 1, a G — измеримый компакт с кусочно гладкойграницей, лежащий во множестве Л.
Тогда если функция f ( x) непрерывна на множестве G' = F(G), то справедлива следующая формулазамены переменных в кратном интеграле:J f ( x) dx = j /(v?i(u),...,v3n(u))|J(u)|du.(4)GО Рассмотрим плоский случай. Заметим, что в силу свойств непрерывных функций образ G' компакта G при непрерывном и взаимнооднозначном отображении F является компактом, а в силусвойств 1, 2 отображения F граница компакта G' является кусочногладкой кривой. Так как кусочно гладкая кривая имеет меру нуль, токомпакт G' измерим. Оба интеграла в формуле (4) существуют какинтегралы от функций, непрерывных на компактах.Поскольку компакт G лежит в открытом множестве Л, то границыэтих множеств не пересекаются. Так как граница любого множествазамкнута и граница ограниченного множества ограничена, то в силулеммы 2, § 46 расстояние между dG и 9Л есть положительное число 6.§48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
