Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В каждой точке гладкой кривой определена касательная.Гладкую кривую можно задать и тремя скалярными уравнениямиX=у = ф(ф,z = x(t),афгфф,где функции tp(t), фф) и у(7) непрерывно дифференцируемы на [а,ф\и (lf i'(t))2 + {Ф'{i))2 + (x'(t))2 > 0 на [а,/3\.Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы492В § 22 было определено, что уравнениер = р(т),а^тО,(2)задает ту же самую гладкую кривую, что и уравнение ( 1 ), если онополучено из уравнения ( 1 ) при помощи допустимой замены параметра t = t(r). Допустимой называлась такая замена параметра t = t(r),что функция t(r) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ь], отображает этот отрезок на отрезок [а,(3\ и t ' (т) > 0 .З а м е ч а н и е .
Иногда им еет смысл расш ирить класс допустимых заменпараметров. Говорят, что замена параметра t = f(r ), а тЬ, допустима,если:а) найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] точкам и a i , ..., ап- 1, что функция t(r) является непрерывно дифференцируемой на каж дом из интервалов(a;-i,a,), г = l,n;б) t'(r) > 0 на каждом из интервалов ( a ;- i,a ;) ;в) функция t(r) непрерывна на [а, Ъ], причем t(a) = a, t(b) = (3, r ( t( r ) ) == р(т).Полезно зам ети ть, что при наложенных ограничениях функция t(r)им еет на отрезке [а, Ь] обратную. Обратная замена параметра т = т{Г) такж еудовлетворяет условиям а)-в).Кривая Г назы вается г л а д к о й , если сущ ествует параметрическое уравнение этой кривой типа ( 1 ) с непрерывно дифференцируемой функцией г {Г),удовлетворяющ ей условию |r '( t) | > 0 на [от, /3].При расширении класса допустимых замен параметра (а тем самым прирасширении класса параметризаций) м огут встрети ться такие уравнениягладкой кривой, которые задаю тся функциями, не имеющ ими в некоторыхточках производной.
Например, уравнениях = т,у = у / 1 - т 2,и уравнения* = s in t,у = COS t,—2 5$ / 5$2•определяют одну и т у же гладкую кривую (полуокружность). От второгоуравнения к первому можно перейти при помощи допустимой замены парам етра t = arcsin т, —1т1. Ф ункция Д \ —т 2 не им еет производнойпри т = ± 1 .В дальнейшем, как правило, уравнение гладкой кривой будем задаватьпри помощи непрерывно дифференцируемой вектор-функции г (t).Если интерпретировать параметр t как время, то уравнение (1) задает закон движения материальной точки в пространстве R3.
Векторскорости r'(t) в каждой точке гладкой кривой коллинеарен векторукасательной. Единичный вектор касательной, заданный в некоторойточке гладкой кривой, определяет ориентацию кривой (направлениедвижения точки по кривой).Точка А(х(а), у (a), z(a )) называется началом кривой, точкаВ(х((3), у{Д), z((3)) — концом кривой. У замкнутой кривой начало§ 50. Криволинейные интегралы493и конец совпадают. Если закон движения точки в пространстве задается формулой ( 1 ) и при движении по кривой точка проходит череззаданную точку С G R3 более одного раза, то точка С называетсяточкой самопересечения кривой. Замкнутую кривую, у которой нетдругих точек самопересечения, кроме концов, будем называть простым контуром.Для плоской кривой можно считать z = 0, если выбрать оси Охи Оу в плоскости кривой.Кусочно гладкая кривая есть непрерывная кривая, распадающаяся на конечное число гладких кривых.
Например, границу треугольника или квадрата можно рассматриватькак кусочно гладкую кривую(рис. 50.1).Кривую, начало которойесть точка А, а конец — точка В, будем обозначать черезЕ ^ . Точку кривой, соответствующую значению t параметра, будем обозначать через A t . Если t\ < £2 , то будем говорить, что точка A tl предшествует точке A t2,и писать^2*Уравнениег = г (/3 + а —£), а ^ t ^ /3,(3)определяют кривую F - , ориентированную противоположно кривой F,заданной уравнением (1). Ее начало совпадает с концом F, а конец —с началом F.
Векторы касательных к кривым Г и Г- в каждой точкеимеют противоположные направления.3.К р и в о л и н е й н ы е и н т е г р а л ы п е р в о г о р о д а . Пусть на некотором множестве, содержащем кривую F, задана непрерывная функцияR(x, y,z) . Если гладкая кривая F задана уравнением (1), то определенный интегралJ R(x(t),y(t),z(t))\r'(t)\dtабудем называть криволинейным интегралом первого рода от функцииR (x ,y, z) по кривой Е и обозначать J R ( x , y , z ) d s . Таким образом, поопределениюгj R ( x , y , z ) d s = jR(x(t),y(t),z(t))\r'(t)\dt.Рассмотрим свойства криволинейного интеграла (4).(4)Гл. X I.
Криволинейные и поверхностные интегралы494С в о й с т в о 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависитот параметризации кривой.О Предположим, что совершен переход от уравнения кривой (1) куравнению р = р(т), а ^ т ^ Ь, при помощи допустимой замены параметра t = t(r), удовлетворяющей условиям а)-в). Делая в интеграле (4) замену переменной t = t(r), получаем, учитывая, что на каждомиз интервалов (а,_ 1 ,а,) функция 1'(т) > 0 :/зJ R(x(t), у it), z(t))\r'(t)\dt =аь= jR ( x( t( T) ) , y(t(r)), z(t(T)))0t'(r) dr =bC(r))|p'(r)| dr.aПосле замены параметра можно получить и несобственный интеграл с особыми точками ао,...,ап, но форма его такая же, как иу интеграла (4). Поэтому криволинейный интеграл первого рода независит от способа параметризации кривой.
•С в о й с т в о 2. Криволинейный интеграл первого рода не зависитот ориентации кривой Г, т. е.= j Щ {т),j R ( x , y , z ) d s = j R(x, у, z)ds.О В самом деле, кривую Г можно задать уравнением (3). Делая винтеграле (4) замену переменной г = а + /3 —t, получаем/зJ R ( x ,y ,z ) d s = J R(x(t), у it), z(t))\r'(t)\dt =fа/3= J R( x(a + /3 — т), у(а + /3 —т), z(a + /3 — т ))|г '(а + /3 — т)| dr =а=С/ R( x,y, z) ds. •гС в о й с т в о 3.
Криволинейный интеграл аддитивен относительнокривой: если Г = ( F i,..., Гдт), тоNj R ( x , y , z ) ds = ^ J R ( x , у, z)ds.г*=ir;О Свойство 3 следует из определения (4) криволинейного интеграла первого рода и свойства аддитивности определенного интегралаотносительно области интегрирования. •§ 50. Криволинейные интегралы495Особенно простое выражение для криволинейного интеграла первого рода получается, если в качестве параметра взять переменнуюдлину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид г = r(s),О ^ s ^ 5, и |r '(s)| = 1. Из формулы (4) получаем, что в этом случаеSJ R ( x , y , z ) d s = jR (x( s), y( s), z{ s)) ds .г(5)о4.Г еом етр и ч еск ая и н тер п р етац и я кри вол и н ей н ы х и н тегр а л о в п е р в о г о р о д а .
Запишем интеграл (5) как предел интегральнойсуммы. Если 0 = so < si < ... < sn- \ < sn = 5, тоn/ R(x, у, z) ds = limJl(T)->оpR ( x i: t/i, zi) As,,n= 1где Xi = x(si), yi = y(si), Zi = z(si), l(T) — мелкость разбиения Tотрезка [0,5], A Si = Si — Si- ьКак видно из рис. 50.2, разбиению Т отрезка [0,5] соответствует разбиение кривой Г на дуги T8i_l8i, i = 1,п. Если функцияРис.
50.2R (x ,y, z ) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную“j ^ плотность материальной кривой Г, а криволинейный интеграл/ ж »(ж, у , z) ds — как массу этой кривой.гАналогичным образом можно определить при помощи криволинейных интегралов координаты центра тяжести, осевые и центральныемоменты инерции материальных кривых.П р и м е р 1. Найти момент инерции полуокружности х 2 + у 2 = 1,у ^ 0, относительно оси ж, если линейная плотность R(x,y) = |ж|.Д Параметризуем окружность, полагая ж = coss, у = sin s, 0 ^ s ^ 7г.По определению осевой момент инерции 1Х есть следующий криволинейный интеграл:7ГIx— J y 2R(%, y)dsг=Jтт /2sin 2 s | c o s s | d sо=2 J0sin 2 s coss ds =-.A496Гл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралы5.К р и в о л и н е й н ы е и н т е г р а л ы в т о р о г о р о д а . Пусть Л — область трехмерного пространства, в каждой точке которой задан вектор. Тогда говорят, что в области Л задано векторное поле. Еслификсирована декартова прямоугольная система координат, то векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций:F (x, y,z) = (P ( x , y , z ), Q(x,y,x), R(x, у, z)). Если функции P ,Q ,Rнепрерывны в области Л, то и поле F называется непрерывным вобласти Л. Если функции P ,Q , R непрерывно дифференцируемы вобласти Л, то и поле F называется непрерывно дифференцируемымв области Л.
Если можно так выбрать декартову систему координат, что функция R = 0, а функции Р и Q не зависят от координаты z, то векторное поле F называется плоским. В этом случаеF = ( P(x,y) ,Q( x,y) ).Пусть в области Л С R3 определено непрерывное векторное полеF = (Р(х, у , z), Q(x, у , z), R(x, y,z)),a.T = r (t), n sC / sC S. есть уравнение гладкой (кусочно гладкой) кривой Е, лежащей в области Л.Определенный интеграл13!3J(F(x(t),y( t),z(t)) , r'(t))dt = j (P (x(t),y(t),z(t))x'(t) +аа+ Q(x(t),y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t),y(t), z(t)) z'(t)) dtбудем называть криволинейным интегралом второго рода от векторного поля F по кривой Е и обозначать J (F, dr) или J Р dx + Q dy +гг+ Rdz .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
