Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Показать, что при непрерывно дифференцируемомотображении F: П —¥ Я3 образ ограниченного плоского замкнутого множества П есть связное ограниченное и замкнутое множество в пространстве Я3.Если П есть замкнутое ограниченное множество в Я2, a F: П —1 Я3есть_такое гладкое отображение, что соответствие между множествами П и Е = Я(П) является взаимно однозначным, то будем множество Е называть простой поверхностью в Я3, а уравнения (1) будемназывать параметрическими уравнениями простой поверхности Е.Пусть область П ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром у. Образ кривой у при гладком отображении F: П —1 Я3будем называть краем простой поверхности Е и обозначать через (ЗЕ.Если уравнение кривой у имеет види = u(t),v = v(t),a^ /3,то уравнение (ЗЕ задается следующими формулами:x = ip(u(t),v(t)),y = '(p{u{i),v{t)),z = x(u(t),v(t)),и «С/ sC S.
(3)Уп р а жн е н и е 2. Показать, что край простой поверхности есть гладкая (без особых точек) или кусочно гладкая кривая в Я3.Ука з ание . Продифференцировав но параметру t уравнения (3), приравнять результат нулю. Воспользоваться тем, что ранг матрицы (2) равендвум.Ерафик функции г = f(x ,y ), непрерывно дифференцируемой назамкнутом ограниченном множестве О С Я ', есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениямих = и,у = v,В этом случае матрицаz = f(u,v),ХиУиХуУуранг матрицы (2 ) равен двум.(и, v) £ П.(4)является единичной, а поэтомуГл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралы512Н ап р и м ер , гр аф и к ф ун к ц и и z = х 2 + у 2 , (ж, у ) Е О, гд е О = {(ж , 2/):ж2 + у 2 ^ 1 }, ест ь п р о ст а я п о в ер х н о ст ь . О к р у ж н о сть , п о л уч а ем а я прип е р есеч ен и и п ар абол оида вращ ения z = х 2 у 2 и п л оск о ст и z = 1,яв л я ется кр аем р а ссм а т р и в а ем о й п р о ст о й п о в ер х н о ст и .У р авнения (1) п р о ст о й п о в ер х н о ст и м о ж н о за п и са ть и в в ек тор н ойф орм е:_г = г (и, v ) ,(и, v ) Е О,г (и, v) = <р(га, у) i + ф( и , у) j + x ( u i v ) к С м е х а н и ч еск о й точ к и зр ен и я ф ор м ул ы (1) о п р е д ел я ю т гл а д к у ю(б ез разр ы в ов и и зл ом ов ) д е ф о р м а ц и ю плоской о бл асти О в м н о ж е с т во Е (п р о с т у ю п о в ер х н о сть в п р о с т р а н ст в е R 3).
Для п р а к т и ч еск и хцелей только п р о ст ы х п о в ер х н о ст ей н ед о ст а т о ч н о . Н ап ри м ер, сф ера ж2у 2 -\- z 2 — а 2 не я в л я ется п р о ст о й п о в ер х н о с т ь ю в R 3 . И н т у и т и вн о я сн о, что сф ер у н ел ьзя п ол у ч и т ь никакой гладк ой д еф о р м а ц и ейплоской обл асти .И м ея в в и д у п р и л ож ен и я т ео р и и п о в ер х н о ст н ы х и н тегр ал ов , вв ед ем в р а с см о т р ен и е класс почти п р о ст ы х п о в ер х н о ст ей .П усть О — плоская обл асть и F: ОR 3 — неп рер ы в н о д и ф ф е р ен ц и р у е м о е о т о б р а ж ен и е. Б у д е м м н о ж е с т в о Е = F ( Q ) н азы в ать почтипростой поверхностью в /?3 , есл и н а й д ет ся р асш и р я ю щ ая ся п осл ед ов а т ел ь н о сть огр а н и ч ен н ы х об л а стей { П п } т а к и х , что П п С O n + i ,ооQ=(J П п и п о в ер х н о ст и E n =п=1П р и м е р 1.
С ферап р ост а я п о в ер х н о сть .ДS ={(ж ,_F(Qn)п р о ст ы е.у,z ):ж2 +у2 + z 2 = а2}ест ь почтиВ в е д е м сф ер и ч еск и е к о о р д и н а ты (см . § 4 8 , п. 5 ). Т о гд а сф ер а Sес т ь о б р а з п р я м оу го л ь н и к а О = j (<£,?/>): О ^ ср ^ 27т, —^ ^ ф ^при неп р ер ы в н о д и ф ф ер е н ц и р у ем о м о т о б р а ж ен и и F : О —У 5 , о п р ед е л я ем о м ф о р м ул ам иcos (р cos ф,= a sin (р cos ф,z = а sin?/’.ж= aуО бразам и о т р е зк о в ip ==я в л я ю тсям ер и д и а н ы , а при \фо\ < ^о б р а за м и о т р е зк о в ф = ф0 ,О^^ 27г я в л я ю тся параллели н а_сф ер е S.
О т об р аж еРис. 52.1ние F: О —у S не б у д е т вза им н о о д н о зн а ч н ы м , так как м ер и д и а н ы (^ = 0 и (^ = 27т со в п а да ю т, а2§ 52. Поверхности5137Готрезки '0 = =Ь—, 0 ^ ( ^ ^ 2 7 г переходят в северный и южный полюсысферы S.ПоложимооЛегко проверить, что Пп С Пп+ь ^ = Uп=1и что поверхности£ n = F(Q n) являются простыми (рис. 52.1). Поэтому сфера S — почтипростая поверхность. АП р и м е р 2. Конус К = {(ж, у , г): ж2 + у2 = z2} есть почти простаяповерхность.Д Введем цилиндрические координаты (см. § 48, п. 5). Тогда конус Кесть образ полуполосыП = {(г, ср): 0 ^ г < + о о , 0 ^ ср ^ 27г}при непрерывно дифференцируемом отображении F: Q -+ К таком,что ж — г cos ср, у = г sin ср, z = г.Это отображение не является взаимно однозначным, так как отпО 1гпРис.
52.2резок г — 0 , 0 ^^ 27г отображается в точку — вершину конуса К ,а образы лучей ср — 0 и ср — 2 тт, г ^ 0 совпадают.Положим (рис. 52.2)Пп = |(г,<р): - < г < п,п- < ср <27Г — пп)ооЛегко проверить, что Пп С Пп+ь П = (J Пп и что поверхностип=1En = F(Qn) являются простыми. Поэтому конус К — почти простаяповерхность. АУ п р а ж н е н и е 3. П оказать, что поверхность х 2 + у2 = z2, 0 ^ z ^ Н,является почти простой.Гл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралы514Если Е есть простая поверхность, заданная векторным уравнением (5), а непрерывно дифференцируемые функцииu = u(u',v'),v = v(u',v'),(u',v')(zi}'задают взаимно однозначное отображение замыкания области fi' назамыкание ограниченной области fi, причем якобиан отображениядиd(u>v) =d(u',v')диЖ7 Ж7dv_ди 'ди'отличен от нуля в fi , то уравнениег = r(u(u',v'),v(u',v')) = p(u',v');(«', v') G fi',(6)определяет ту же простую поверхность, что и уравнение (5).
Уравнения (5) и (6 ) называют различными параметризациями поверхности Е.Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобианаотображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такиепараметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области О.П р и м е р 3.
Кусок сферы х 2 + у2 + z 2 = а2, 0 ^ г ^можно параметризовать двумя способами:х = a cos tp cos ip,(v?,</0 e f i ',у = a sin tp cos ip,rх (р 0, у (р О,a si ne.ft' = {(>Р,Ф)'- 0 ^ p ^ | , 0 ^ ф ^(7)Иx = и,(u , v ) G fi,fi =у = v,j ( « , w ) :z = ^/а2 —и2 —v2,^u2 + v2^a2,и^p0, v(p0j .^А Переход от уравнений (7) к уравнениям (8) задается формуламии = acospcosip,v = asm р cosip,(tp,ф) G fi'.(9)Якобиан отображения (9) равен a2 sin ip cos ip и обращается в нульпри ip = 0, т. е. на части границы области fi'.
Это приводит к тому,что при переходе к параметризации (8 ) частные производные функции г = \ / а 2 —и 2 —V2 стремятся к бесконечности при приближенииточки (u , v ) к окружности и2 + V2 = а2. ▲Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.§ 52. Поверхности5152.К р и в о л и н е й н ы е к о о р д и н а т ы н а п о в е р х н о с т и .
Пусть простая поверхность Е задана векторным уравнением (5). Предположим,что область П выпукла, [а, Ъ] есть проекция области П на ось и. Если щ(а, Ь), то прямая и = щ будет пересекаться с областью ПРис. 52.3по отрезку и = гщ, а ^ v ^ (5 (рис. 52.3). Образ этого отрезка приотображении ( 1 ) есть криваяг=r(uo,v),a^v^/3,(10)лежащая на поверхности Е. Будем называть ее координатной кривойи = uq.
Придавая щ все значения из отрезка [а, Ь], получим семействокоординатных кривых и = const. Аналогично строится и семействокоординатных кривых v = const.В силу взаимной однозначности отображения ( 1 ) каждая точка Аповерхности S однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, и = Uq и v = vo. Пара чисел (гщ, г?о) называется криволинейными координатами точки А поверхности.
Запись А ( щ , у о)означает, что точка А поверхности Е задана криволинейными координатами (гщ^о).Например, в сферических координатах часть сферы х 2 + у2 + z 2 == а2, ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах <р, ф следующим образом:^ Ч> ^ ^2,ф± ^ ф^ф2.На сфере координатные кривые <р = const — меридианы, а координатные кривые ф = const — параллели.На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечениицилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.Вектор-функция г(гщ,г?) есть непрерывно дифференцируемаяфункция параметра г?, и, следовательно, координатная кривая и = гщ,определяемая равенством ( 10 ), является непрерывно дифференцируемой.
Вектор r v(i&o,i?o) является касательным к этой кривой в точке А ( щ, Уо ) . Аналогично, вектор ru(uo,vo) касателен к координатнойкривой v = Vo в точке А(гщ,г?о). Заметим, что векторы r u(i&o,i?o) иr v(i&o,i?o) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае рангГл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы516матрицы (2) будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.Если область Л не является выпуклой, а точка («о, Vq) лежит внутри Л, то нужно взять выпуклую окрестность точки («о, Wo), лежащуювнутри Л.
Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности Е и координатные кривые можно строить на этом кускеповерхности (локально).3.К асательнаяп лоск остьинорм алькп оверхн ости .Пусть Е есть простая поверхность, заданная уравнениями (1) иливекторным уравнением (5). Рассмотрим точку A ( u , v ) на поверхности Е, где (u,v) — внутренняя точка области Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
