Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Пусть и(х, у) — гарм оническая в области G С R2 функция, т. е. онаим еет в этой области непрерывные частные производные первого и второгопорядков и удовлетворяет уравнению Лапласа—=Показать, что для любой области O c G , ограниченной кусочно гладкойкривой, выполнено условие[ ди ,ди/ — as = 0 , г д еJ дпдппроизводная в направ-дПлении внешней нормали^ = *тг(х )У) cosnx + ^ ( х , у ) cos пу.onохоу5.
В заданной точке (хо, уо, го) эллипсоида999?1 + !Г91а-£1 = 1191о-9с-записать уравнение касательной плоскости и нормали.6 . Пусть простая поверхность задана уравнением г = r(ii, v), (и, v) 6 G СС R~ и вектор-функция r(ii, v) им еет непрерывные частные производныевторого порядка в области G.П оказать, что выражение (d2r , r u, rv) есть квадратичная форма относительно дифференциалов du и dv, если u(t) и v(t) при t € \а, 0] являю тсядважды непрерывно дифференцируемыми функциями.7. Вычислить осевой момент инерцииIz = I I ^+ y2^ dSчасти поверхности конусах = г cos (р siri а,Ога,Оу = г siri (р siri а,^2тг,z = г cos а,7Га = const, 0 < а < —.8 .
Пусть в /?3 задана областьQ ={(x,y,z):-ip(x,y)<z<ip(x,y),(х ,у) € G СЯ 2},где функция (fi(x, у) непрерывно дифференцируема на G.П оказать, чтоJ J d x d y = 0,eaj j z dx dy = m(Q),eaJ J z 2dxdy = 0 .ea9. Воспользоваться результатом упр. 8 и вычислить' х 2 dy dz + у2 dz dx + z2dx dy,!hгде у; — внешняя сторона сферы(х —а)2 + (у —Ъ)2 + (г —с ) 2 = В2.Г Л А В А XIIТ Е О Р И Я ПОЛЯ§ 5 5 . С к ал я р н ы е и в ек т о р н ы е поля1.П р о и з в о д н а я с к а л я р н о г о и в е к т о р н о г о п о л я .
Будем рассматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евклида. Напомним, что каждой паре точек А и В пространства можнопоставить в соответствие вектор Jfs. Векторы складываются и умножаются на вещественные числа по известным из курса аналитической геометрии правилам, для любых двух векторов определеноскалярное произведение [7].Если выбрана декартова система координат, то каждая точкапространства определяется заданием трех чисел — координат точки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент поосям координат.Если в некоторой области П определена функция / : П —^ R, тоговорят, что в области П задано скалярное поле.
Если выбрана координатная система, то положение точки М б П определяется заданиемтрех ее координат, и функция / : <> —> /? будет функцией трех переменных f ( x , y , z ) . В физике рассматривают скалярные поля давлений,температур, плотностей и т. д.Перефразируем некоторые известные понятия дифференциального исчисления на геометрическом языке.Говорят, что скалярное поле / дифференцируемо в точке Mq, еслинайдется такой вектор с, чтоf ( M ) - /(A f0) = (М 0а 1 ,с ) + о(|А /0а1 |) при ММ 0.(1)Вектор с будем называть производной скалярного поля / в точке Mqи обозначать V/(M o).Запись V / читается как “набла эф” .Если в пространстве задана декартова система координат, точкиM (x ,y , z ) , M 0(xo,yo,z0) и вектор с = i c i + j c 2 + k c 3, тоМ 0 Й = ( х - х 0) i + (у - Уо) j + (z - z0) k,IMo ill I = [(ж - Ж0 ) 2 + (у - Уо f + (z ^ Z o ) 2 }1/ 2 .Записывая формулу (1) в координатах, получаемf ( x , y , z ) - f(xo,yo,z Q) = Cl (ж - Жо) + с 2(у - Уо) ++ c3(z - Zo) + о ( У (ж - Жо) 2 + (у - Уо)2 + (z - Zo)2)(2)§55.
Скалярные и векторные поля537при (x , y , z ) ->■ (x0,Do,Zo)Из (2) следует, что функция f ( x , y , z ) дифференцируема в точке(хо,Уо,г0) и что(3)Будем в дальнейшем обращаться с V как с символическим вектором (дифференциальным оператором), ставящим в соответствие скалярной функции ее производную.
Тогда равенство (1) можно записатьв следующем виде:Д М ) - /(М 0) = (МоЛ?, V / ( M 0)) + 0 ( \Щ Ё \)приММ 0. (4)С оператором V можно обращаться, как с обычным вектором, еслидоговориться, что он действует как дифференциальный оператор нафункции, стоящие в записи справа от оператора V, а с функциями ивекторами, стоящими в записи слева, перемножается, как обычныйвектор.Пусть b = Ъ\ i + Ь2j + Ьз к — произвольный вектор. Определимдифференциальный оператор b V равенством b V = (b, V). Тогдаь V = (Ь, V ) = b i | - + ь2 | - + Ь з |-.дхдуdz(5)Используя этот оператор, можно формулу (4) переписать в следующем виде:Д М ) - Д М о ) = (М о Л ? ,У ) Д М 0) + о(\ Щ Й \)приМ -> М 0. (6)Пусть 1 — единичный вектор. Рассмотрим луч, состоящий из всехточек М , для которых M qM = 11, t > 0.Производной скалярного поля / по направлению 1 в точке M q будемназывать следующий предел:Из формулы (6) следует, что для дифференцируемой в точке M q функции выполняется равенствоСимволический вектор V называют также оператором Гамильтона.Гл.
X I I . Теория поля538У п р а ж н е н и е 1. Показать, чтоm a x ^ ( A f 0) = |V /( M 0)|.I01У п р а ж н е н и е 2. Пусть во всем пространстве задано дифференцируемое скалярное поле }{М). Если а. — вещественное число, то множествоточек М таки х, что f ( M ) = а, назы вается поверхностью уровня скалярногополя f (M) . П оказать, что при V /(M o ) ф 0 вектор V /(M o ) направлен понормали к поверхности уровня, проходящей через точку Мо.Пусть в каждой точке области П задан вектор а. Будем говорить,что на П задано векторное поле а. В физике рассматривают векторныеполя сил, скоростей, ускорений и т.
д.Будем говорить, что векторное поле а(М ) дифференцируемо в точке M q, если существует такое линейное преобразование А, чтоа(М) - а(М0) = А ( Щ Й ) + o(|M0ill|)приМ -х М 0.(7)Проектируя уравнение (7) на координатные оси, получаем равенствасц(М) - сц(М0) = А а (х - х 0) + А а (у - у0) + A i3(z - z0) ++ 0( \Щ Ё \)приМ -х Мо,*=М,(8)где (Ац) — матрица линейного преобразования А. Из равенств (8)следует, что компоненты щ{М), i = 1,3, дифференцируемы в точке Мо- Верно и обратное утверждение.
Из дифференцируемости компонент щ{М) следует и дифференцируемость векторного поля в точке МоИспользуя формулу (6), запишем равенства (8) в следующем виде:афМ) —ctj)Mo) = (M qM V) (ij)Mo)o(|A/qA^|)приМ —у Мо-Это равенство можно записать и в векторном виде:а(М) - а(М0) = { М о й V) а(М0) + о(|А/0а1|)приМ -х М 0. (9)Здесь дифференциальный оператор AfoAf V применяется к вектору а.Из (7) и (9) следует, чтоА ( Ш ) = (М0й V) a(Af0).Так как определение линейного преобразования А не зависит отвыбора координатной системы, то и результат применения оператораAfoAf V к a(Afo) не зависит от выбора координатной системы.Л е м м а 1.
Линейное преобразование А в формуле (7) определенооднозначно.О Допустим, что существуют два линейных преобразования А 3 и А3§55. Скалярные и векторные поля539таких, что для них выполнено равенство (7). Тогда, вычитая соответствующие равенства, получим, что(Аг - А2) Мri0М- ..- .i ,= о(|М 0М |)приМ-А М0.(10)Пусть 1 — произвольный вектор, t — произвольное положительноечисло и МоА-1 = It. Тогда равенство (10) принимает следующий вид:t(Ai —А2) 1 = o(t)приt -А +0.(11)Деля равенство (11) на t и переходя к пределу при t —t +0, получаем,что (Аг —А2) 1 = 0. Так как вектор 1 произвольный, то Аг = А2.
•Если векторное поле а ( М ) дифференцируемо в точке Mq, т . е.справедливо равенство (7), то будем линейное преобразование (7)называть производной векторного поля в точке M q и обозначатьчерез а'(Мо).У п р а жн е н и е 3. Найти матрицу линейного преобразованиядекартовой системе координат.а! ( М о )вПроизводная векторного поля по направлению 1 в точке M q определяется так же, как и производная по направлению для скалярногополя.
Из формулы (9) получаем^ ( M 0) = (lV )a (M 0).(12)П р и м е р 1. Найти производную векторного поляа = ж1 + (ж2 + у2) j + (ж3 + у3 + г3) кпо направлению 1 = ~^= (1,1,1) в произвольной точке М (ж, у, z).V3А Воспользуемся формулой (12). Так как,.1 / д(’ )” ^l9xто справедливо равенство#ам1 .2;г +2у .д, дЗх2 + 3 у1 + 3г 2 .S =(1V)a=y5,+^ 5 -J+-------аз*2.Д и в е р г е н ц и я и в и х р ь в е к т о р н о г о п о л я .
Пусть в области Лопределено дифференцируемое векторное поле а (М). Выберем декартову систему координат Oxyz. Тогдаа (М) = (P ( x , y , z ), Q(x, у, z), R(x,y, z)).Дивергенцией векторного поля называется следующая скалярнаяфункция:,.. OP8Q , 8Rd i v a = ( V , a ) = —— h—21 +дхox dz540Гл. X II. Теория поляВ § 56 будет показано, что div а не зависит от выбора координатнойсистемы.Вихрь или ротор векторного поля определяется следующим образом:iкjддд_ t d R _ d Q дР_ _ (Ш dQ_ _ дР_\ro ta = [V, а] =дх ду дг\дудг ’ дгд х ’ дхд у )'рRQВ § 57, п. 3 будет показано, что в любой правой системе координатвихрь векторного поля одинаков, а при переходе от правой системыкоординат к левой меняет знак. Поэтому иногда rot а называют псевдовектором.3.О п е р а т о р Г а м и л ь т о н а V.
Н е к о т о р ы е ф о р м у л ы в е к т о р н о г о а н а л и з а . Многие формулы векторного анализа легко выводятсяпри использовании символического вектора V (оператора Гамильтона). Нужно лишь помнить, что на функции и векторы, стоящие справаот V, этот оператор действует как дифференциальный, а функции ивекторы, стоящие слева от V, перемножаются с V как с обычнымвектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.Применяя оператор V к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом: запишем результат применения оператора V к произведению в виде суммы произведений такой,что в каждом слагаемом оператор V применяется только к одному изсомножителей, который мы отметим “стрелкой” , например а.
Далеекаждое слагаемое преобразуется так, чтобы все сомножители, не отмеченные стрелкой, оказались слева от V. После этого стрелки опускаются.Как нетрудно видеть, в одномерном случае оператор V есть оператор дифференцирования функции одной переменной, и предлагаемоеправило сводится к правилу нахождения производной произведения£ и о= V H 0 = У(й>) + V H 0 =+=+Можно показать, что предложенное правило не приводит к ошибкам вформулах, линейных относительно оператора V. На нижеследующихпримерах можно усвоить некоторые элементы техники обращения соператором V. Читатель всегда может проверить получающиеся формулы в координатах.1) Пусть г = ( x , y , z ), г = |г| = с/х 2 + у2 + z 2. ТогдаX7m(r) = f M r l Эу(г) дт(г) \ = ,(г)(дг_ ск дг! \ дх ’ ду ’ дг )^ К , \ д х ’ д у ’ дг= / и( г А £) = —\ГГГ /Т■■■ г / о.§ 56.
Формула Остроградского Гаусса5412)grad((pi/>) = X7((pip) = V(<p*/0 + V(<pV>) == ф V<p + ф Ч'ф = ф grad <р + ip grad ф.3)div(pa) = (V, pa) = (V, pa) + (V, pa) = (Vp, a) + p(V, a) == (a, Vp) + p(V ,a) = (a, Vp) + p d iv a = (a,gradp) + pdiva.Наряду с обозначением векторного произведения [а, b], будем использовать и более употребительное в физике обозначение a x b .div[a, Ъ] = (V, а, Ъ) = (V, а, Ъ) + (V, а, Ъ) =гг= (b, V, а) —(а, V, b) = ( b , V x a ) - (а, V • b)(b. rot а) —(a, rot b).4)5) rot(pa) = V х (pa) = V х (pa) + V х (ра) == Vp х а + pV х а = p r o ta - а х grad р.В последующих примерах применяется правило вычисления двойного векторного произведенияc x ( a x b ) = ( b ,c ) a - (с,а) Ь.6)rot (а х b) = V х (а х b) = V х (а х b) + V х (а х Ь) == ( b V ) a - b ( V , a ) + a (V, Ъ) - (а V) b == ( b V ) a - ( a V ) b + a div b —b div a.7)b x ro ta = b x (V x a) = V (b ,a) - (bV )a,44a x ro tb = V (b ,a) —(a V) b.Складывая эти формулы, получаемb х ro ta + a x ro tb = V(b, a) + V(a, b) —(b V) a —(a V) b.илиV (a.b) = a x rot b + b x ro ta + (a V) b + (b V) a,2V — = a x rot a + (a V) а,8)9)10)гдеa 2 = (a, a ).(c, b, rot a) = (c, b x rot a) = (с, V(b, a ) - ( b V ) a)= (cV )(b ,a ) - (c, ( bV) 4) = (b, (с V) a) - (c ,(b V )a ).div rot a = (V, V x a) = (V, V, a) = 0.rot g r a d / = V x V / = (V x V ) / = 0.Последние две формулы легко проверяются в координатах.Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
