Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

Построим коорди­натные линии и = const и v = const, проходящие через точку A ( u , v ) .Векторы r u ( u, v) и r v ( u, v) будут касательными к соответствующимкоординатным линиям.Л е м м а 1. В любой точке A ( u , v ) простой поверхности Е векто­ры ru(u,v) u r v(u,v) неколлинеарны. Направление вектора N = [ r u,r„]при изменении способа параметризации или не меняется, или изме­няется на противоположное.О Рассмотрим вектор N = [г„,г„] во всех точках поверхности Е.ТогдаZиZи Х уХуУиN = Уик.ZyХуХуVv ZyУуЕсли N = 0, то все компоненты вектора N равны нулю, и рангматрицы (2 ) будет меньше двух, что невозможно для простой поверх­ности.

Пусть поверхность Е параметризована двумя способами, (5)и (6 ). Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных произ­водных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностьювекторного произведения, получаемN ' = [Рч' , Р у'} = [г,диЖУdvдиdv_гг’ди1' ’Ж 7’dv'гт! ди dvди ду \гп д(и,у)[r- ' r ^ £ V ^ - £ i 7 i v H r - ' r ' 1 д{и',у'Угт. е.N' = Nд(и,у)д{и',у'У(П )д(и ги'), ’ ; не обращается в нуль в области Л',д(и,у')то векторы N ' и N коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, еслиJ > 0 , и противоположно направлены, если J < 0 . •Так как якобиан J =Уп р а жн е н и е 4.

Показать, что простая поверхность обладает темсвойством, что для каждой ее внутренней точки найдется такая окрест­ность, в которой поверхность совпадает с графиком некоторой дифферен­цируемой функции.§ 52. Поверхности517Ука з ание . Воспользоваться теоремой о неявных функциях, опреде­ляемых системой двух уравнений.Векторы ± N = ± [ru,r„] будем называть векторами нормали к по­верхности а в точке A(u,v).JI е м м а 2. Вектор нормали к простой поверхности £ в точкеA( uq,Vq) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверх­ности и проходящим через точку А(щ,Ьо).О В самом деле, такая кривая есть образ при отображении (5) неко­торой гладкой кривой, лежащей в области П и задаваемой уравнени­ями и = u(t), v = v(t), a^ /3.Уравнение кривой на поверхности тогда имеет видг = r(u(t),v(t)), a ^ t ^ / 3 , u(t о) = «о, w(t0) = WoКасательный вектор т к этой кривой в точке А естьТ= Ж= r «(«o,w0) (^ ^ - + r v(uо, w0)Итак, т есть линейная комбинация векторов r u(« 0)Wo) и rv(uo,Vo).Так как вектор N ортогонален r u(« 0)Wo) и r v(uo,Vo), то он ортого­нален и вектору т , т.

е. вектор нормали к поверхности в точке Аортогонален к любой гладкой кривой, лежащей на поверхности и про­ходящей через точку А. •Плоскость, проходящая через точку A(u,v) поверхности и орто­гональная вектору N , называется касательной плоскостью к поверх­ности в точке А. Пусть (X, Y, Z) — декартовы координаты точкикасательной плоскости и пусть R = X i + Y j + Z к. Тогда векторыR —r(u, w), ru(u,v) и r v(u,v) параллельны касательной плоскости,следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

Поэтому век­торное уравнение касательной плоскости имеет вид( R - r(ti,w), ru(u,v), Tv(u,vj) =0.В силу равенства (11) форма этого уравнения не зависит от выбо­ра параметризации поверхности. Уравнение касательной плоскости вкоординатах имеет следующий вид:X — x(u,v)Xu(u,v)x v(u,v)Y — y(u,v)Du(u,v)yv (u,w)Z — z(u,v)zu(u, v) = 0 .zv(u,v)Нормалью к поверхности в точке A(u,v) называется прямая, про­ходящая через точку А и параллельная вектору нормали в точке А.Так как при изменении параметризации вектор нормали не меняетсвоего направления или изменяет его на противоположное в каждойточке поверхности, то нормаль не зависит от параметризации. Ее век­торное уравнение имеет видR—r(«,w)=k[г„ ,г„ ],^оо <к< +оо.518Гл. X I.

Криволинейные и поверхностные интегралыВ декартовых координатах уравнение нормали можно записатьследующим образом:X —х(и, v) _ Y —y{u,v) _ X —z(u,v)y U Zv - y v Z uZ U X V - Z VX Uxuyv - xvyu '4.Кусочно гладкие п оверхн ости . Из определения простой по­верхности, данного в п. 1 , следует, что она есть гладкий и взаимнооднозначный образ некоторой плоской области, т.

е. получается изэтой области при помощи гладких (без изломов) деформаций (отобра­жений). Ясно, что многие объекты, которые мы привыкли называтьповерхностями, не будут простыми поверхностями. Так, сфера не мо­жет быть непрерывным образом деформирована в плоскую область.Коническая поверхность не может быть получена гладкой деформа­цией плоской области.Попытки дать общую классификацию поверхностей увели бы насдалеко в область высшей геометрии.

Замечательным классом поверх­ностей в R3 являются гладкие многообразия размерности 2 , т.е. связ­ные множества, которые локально (в окрестности каждой своей точ­ки) устроены, как простая гладкая поверхность. Например, сферабудет гладким многообразием. Если А есть точка сферы радиуса а,то map S£(A) при £ < а вырезает из сферы простой кусок.Хотя локально гладкие многообразия устроены просто, но в целом,глобально, они могут иметь очень сложное строение. Представьте се­бе такие гладкие поверхности, как бублик (тор), бублик с двумя ды­рами или еще более причудливую поверхность, которая называетсяРис. 52.4бутылкой Клейна (рис. 52.4). Все эти многообразия можно разрезатьна конечное число гладких простых поверхностей (или, что то же са­мое, их можно склеить из конечного числа простых гладких кусков).Из гладких кусков можно скле­ивать не только гладкие многооб­разия, но и связные поверхности,имеющие ребра и вершины (напри­мер, поверхности многогранников)(рис.

52.5).Мы не станем тут занимать­ся математической формализациейтаких понятий, как разрезание и склеивание поверхностей, и тем§ 52. Поверхности519более основанной на этом классификации поверхностей. Заметимтолько, что трудности возникают при построении общих теорий. Влюбом разумном частном случае нет проблем с разрезанием поверх­ности на простые куски.

Поверхность, которую можно разрезать наконечное число простых кусков, будем называть кусочно гладкой.5.О р и е н т и р у е м ы е п о в е р х н о с т и . Будем говорить, что гладкаяповерхность ориентируема, если можно построить на этой поверх­ности непрерывное поле единичных нормальных векторов. Говорят,что это поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сто­рону) поверхности. Меняя направление всех единичных нормалей напротивоположное, получим опять непрерывное поле единичных нор­мальных векторов.

Говорят, что оно определяет противоположнуюориентацию (другую сторону) поверхности. На простой гладкой по­верхности всегда определено непрерывное поле единичных нормаль­ных векторовп-( 12 )Произвольные гладкие поверхности могут быть как ориентируе­мыми (двусторонними), так и неориентируемыми (односторонними).Торы, изображенные на рис. 52.4, ориентируемы; бутылка Клей­на — неориентируемая (односторонняя) поверхность. Легко постро­ить лежащий на этой поверхности замкнутый гладкий контур такой,что, выбирая в какой-то точке контура вектор единичной нормали кповерхности и непрерывно изменяя его при движении по контуру, мыпридем к начальной точке с противоположным направлением норма­ли.

Следовательно, на бутылке Клейна построить непререрывное полеединичных нормальных векторов невозможно.Заметим еще, что сфера, тор, тор с двумя дырами (рис. 52.4) де­лят пространство на ограниченную и неограниченную области, общейграницей которых они являются. Бутылка Клейна таким свойствомне обладает.Можно доказать, что гладкая поверхность, являющаяся границейобласти в Я3, ориентируема. Ее внутренняя сторона задается нор­мальными векторами, направленными внутрь области (внутренни­ми нормалями), внешняя сторона определяется внешними нормалями.Очевидно, что для построения поля внутренних нормалей к границеобласти достаточно построить внутреннюю нормаль к какой-то однойточке границы.Каждая плоскость делит пространство Я3 на два полупространст­ва. Если плоскость рассматривать как границу полупространства, товнутренняя нормаль определяется естественным образом как направ­ленная внутрь полупространства (рис.

52.6). Если dG есть гладкая520Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралыПАРис. 52.6Рис- 52-7граница области G, то касательная плоскость в точке х Е 8G назы­вается опорной, если область лежит по одну сторону от касательнойплоскости, т. е. в одном из полупространств, определяемых этой плос­костью. В точке х Е 8G определена внутренняя нормаль (рис.

52.7).У п р а ж н е н и е 4. Доказать, что для ограниченной области G с гладкойграницей хотя бы в одной точке границы сущ ествует опорная касательнаяплоскость.У к а з а н и е . Разбить множество всех полупространств z ^ а на двакласса: класс полупространств К\, содержащих G, и К 2 — класс всех про­чих полупространств вида z ^ а. Плоскость z = sup а, где sup берется повсем полупространствам первого класса, будет опорной.Рис. 52.8Рис. 52.9Границу области G, ориентированную внешними нормалями, бу­дем обозначать через 8G, а внутренними — через 8 G~ .Несколько более сложно определяется ориентация кусочно гладкихповерхностей.Пусть Е — простая поверхность (рис.

52.8), т. е. гладкий и вза­имно однозначный образ замыкания плоской области П. В декарто­вых координатах отображение задается равенствами (1). Прообразомгладкого простого контура Г С Е будет простой гладкий контур 7 С П.Будем говорить, что контур Г ориентирован положительно, если егопрообраз 7 ориентирован в плоскости (u,v) положительно (рис.

52.9),т. е. при обходе контура 7 область, им ограничиваемая, остается слева(вектор касательной и вектор внутренней нормали образуют правую§ 52. Поверхности521пару векторов в ориентированной плоскости (u,v)). Будем говорить,что ориентация простой поверхности Е, задаваемая полем единичныхнормалейп =согласована с положительной ориентацией простых контуров, лежа­щих на поверхности Е.Покажем, что предложенное правило согласования ориентации по­верхности с ориентациями простых контуров, лежащих на поверхнос­ти, совпадает с известным правилом правого винта. Пусть A ( u q , v q ) GG Е, т. е.

Характеристики

Список файлов книги