Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Выше были рассмотрены примеры сферических и цилиндрических координат.П р и м е р 9. Вычислить момент инерции относительно начала координат плоской области, ограниченной эллипсом99•г _1.а-2 Ь2А Введем обобщенные полярные координаты, связанные с декартовыми координатами следующими формулами:х = ar cos ip, у = br sin ip, г ^ 0, 0 ^ р < 2п.(27)Якобиан отображения (27) равен аЪг. Область G, ограниченнаяэллипсом, задается неравенствамиО < г < 1, 0 < р < 27г.Делая замену переменных (27) в двойном интеграле, получаем следующее выражение для центрального момента инерции области:2тг10 = j j (х2 + у2) dx dy = j ( a 2r2 cos2 tp + b2r 2 sin2 tp)abrdr =go7 r a " / 2 i 7,2 \= —(a + b ).,.▲§ 49.
Н есобств ен н ы е кратны е интегралы1.И с ч е р п ы в а ю щ и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и м н о ж е с т в . ПустьG есть область в Rm. Последовательность открытых измеримых поЖордану множеств {Gn} будем называть исчерпывающей множестОО___во G, если G = (J Gn и Gn С Gn+1 , п = 1,2,...г= 1Л е м м а 1. Если {Gn} и {G'n} есть последовательности, исчерпывающие область G С Rm, то для любого номера п найдется номер к(п)такой, что Gn С С ц п).О Пусть_для некоторого множества G n не существует такого номера к, что G %С G'k.
Тогда найдется точка х± С G n такая, что х± $ G[,найдется точка ж2 £ G n такая, что х 2 $ G'2. Продолжая эти рассуждения, построим последовательность точек {ж*} такую, что хр € G \ .хр & G'k. Так как измеримое по Жордану множество G % ограничено, то из последовательности хр можно в силу теоремы БольцаноВейерштрасса выделить сходящуюся подпоследовательность. Безограничения общности можно считать, что и последовательность хрсходится, т. е. lim хр = X q .
В силу замкнутости множества G % точк - * ООка Xq € G \ С G n +i С G.§49. Несобственные кратные интегралы487Так как последовательность множеств {G'k} исчерпывает множество G, то найдется такой номер г, что Xq € G'r. Открытое множество G'r есть окрестность точки Xq. Поэтому в G'r лежит бесконечноемножество членов последовательности {х*,}. Следовательно, найдется в этом бесконечном множестве точка x s с номером s ^ г. Тогдаx s € G'r С G's, так как при г < s и G'r С G's. Но по построению x s $G'S.Полученное противоречие доказывает, что для любого п существуетномер к(п) такой, что Gn С G'k^ny •2.Н есобств ен н ы е интегралы от н еотр и ц ател ьн ы х ф ункц и й .
Пусть функция f ( x ) непрерывна и неотрицательна в областиG С Rm, а последовательность множеств {Gn} исчерпывает множество G. Пределгlim / f ( x) dx(1)n—»oo JGnназывают несобственным интегралом от функции f ( x) по множеству G. Несобственный интеграл обозначается символом J f ( x) dx.,GБудем говорить, что несобственный интеграл / f ( x) dx сходится,Gесли предел (1) конечен, и что несобственный интеграл расходится,если предел (1) равен +оо.Т е о р е м а 1. Определение несобственного интеграла от непрерывной неотрицательной в области G функции корректно: предел (1)для любой исчерпывающей область G последовательности множеств{Gn} существует и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности.О Пусть { Gn } и {G'n} — две исчерпывающие последовательности.Так как Gn С Gn+i С G и Gn С G'n+1 С G, а на множестве G функцияf ( x) неотрицательна и непрерывна, то функция f ( x ) неотрицательнаи непрерывна на любых множествах Gn и G'n, п = 1,2,... Поэтомуинтегралы J f ( x ) d x и J f ( x ) d x существуют и числовые последова,.G'nтельности а п = / f ( x) dx и /Зп = / f ( x ) dx являются монотонно возG„в',,растающими.
Монотонно возрастающая числовая последовательностьвсегда имеет конечный или бесконечный предел. Пусть а = lim а пп —>оои (3 = lim (Зп.П —¥ ООВ силу леммы 1 для любого п найдетсятакой номерGn С G'k(ny Так как f ( x ) >0,тоа п = I f ( x) dx ^ I f ( x) dx = /Зк{п) ^ lim fdk = /3.JGnJk{n)G 'b, ,xk - io oк(п), чтоГл. X . Кратные интегралы488Переходя к пределу при п - X оо, получаем, чтодоказывается, что (3 ^ а .
Поэтому а = (3. •П р и м е р 1. ИнтегралГJа^ /3. Аналогичноdxdy(х2 + у 2)<*1 }0<х2+у2<Я2сходится при а < 1 и расходится при а ^ 1.А ПоложимRr_Gn = ^ ( x , y ) : ^ < х 2 + у2 < R 2 j .ri2Тогда последовательность колец Gn образует исчерпывающую последовательность для круга G. Переходя к полярным координатам, получаемG = { ( x , y ) : 0 < х 2 + у2 < R 2},Gdxdyу(х2+ у 2)аГГ dxdy= lim ' 'уп—^оо JJ (х2 + у2)аS!V-fп2тгRRг drR= lim [dip f LrL = Hm 2тг [ r 1_2a dr = 2тг / r 1_2a dr.n—^oo JJ rlan—^oo JJ0RfnRfnТаким образом, несобственный интеграл (2) сходится в том итолько том случае, когда сходится несобственный интеграляJ r l-2a ^От. е.
при 1 —2а > —1 или а < 1. АУп р а жн е н и е 1. Исследовать на сходимость следующие интегралы:ГГJJХ 2 + У 2 РR2dxdy(х2 + у 2)аУГГГdx dy dz(x2 + y 2 + z2) * yJJJ0 < x 2+ y 2+ z 2p R 2dx dy dz0x2 + y2 + z 2)<*’fdxi...dx■ЬП/( * f + ...+ a£)“ 'ОСж^+.-.+аф^Я2При исследовании кратных несобственных интегралов на сходимостьприменимы такие же признаки сравнения, как и в одномерном случае.3.Н есо б ств ен н ы е и н тегр алы от зн а к о п ер ем ен н ы х ф ун к ц и й . Пусть функция f ( x ) непрерывна в области G С R m ,2. Будем говорить, что функция f ( x ) интегрируема по области G в несобственном смысле, если сходятся интегралы J f +(x) dx и J f ^ ( x ) dxGGот неотрицательных функций / + = - ( |/| + / ) и / - = - ( |/| —/) .§49.
Несобственные кратные интегралы489Несобственным интегралом j f ( x ) dx в этом случае будем называтьGЧИСЛО)dx = J f +(x) dx —J f ~ (x) dx.GG(3)GВ определении (3) не случайно оговорено, что то 2. При то = 1это определение не совпадает с определением несобственного интегьСрала (§ 38) J f ( x ) d x (с особой точкой Ь) как предела lim J f ( x ) d x .ааФункции, интегрируемые в смысле определения § 38 на интервале(а, Ь), могут оказаться неинтегрируемыми в смысле определения (3).Проще всего в этом убедиться, заметив, что функция f ( x) интегрируема в смысле определения (3) в том и только том случае, когдаинтегрируем ее модуль, так что определение (3) не допускает существования условно сходящихся интегралов.
Для функций одной переменной сохраним определение § 38, а для функций двух и большегочисла переменных будем использовать определение (3).Можно показать [2], что функция f ( x) интегрируема в несобственном смысле на множестве G С R m , где то ^ 2, в том и толькотом случае, когда для любой исчерпывающей множество G последовательности {Gn} существует конечный предел lim / f ( x ) dx , неп—»оо JGnзависящий от выбора исчерпывающей последовательности {Gn}.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X1. П оказать, что множество точек вида ( — , — ) , п = 1 , им еет в R 2\ 2™ 2П/жорданову меру нуль.2. Пусть отображение Т : R n —¥ R '1 им еет вид x i = h i m ,хп == hnun; hi 0, i = 1, п.
П оказать, что для любой измеримой области G С R nвыполнено равенство m(TG) = hi...hnm(G).3. И зменить порядок интегрирования в следующих интегралах:11- 1sin х2ттj dx j f(x,y) dy,J d x j f(x,y)dy.002,24. П оказать, что для непрерывной на R функции f(x) при любых х € Rсправедлива формулаXtXJ d t j f ( u ) du = j { x - y)f(y) dy.оо05. Переходя к полярным координтам, вычислить площадь, ограниченную кривой (х2 + у2)2 = Зху, хО, у0.Гл. X .
Кратные интегралы4906 . Р асставить пределы интегрирования различными способами в еле11 —хх+удующем интеграле: J dx j dy j f(x, у, z) dz.ооо7. Найти объем тела, ограниченного поверхностью (х2+ у2+ г2)2= Зхуг.8 . Найти координаты центра тяж ести тела, ограниченного эллипсоидом99Х~ Н—, У~—— Н,а29b2 с2= 11 И ПЛОСКОСТЬЮ Z=Пи.+ о о + оо9. Вычислить несобственный интеграл jj e^i,x +v ’dxdy.—00—001 0 .
Найти ньютоновский потенциал шара х 2 + у2 + z2 R 2 в его центре.1 1 . Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольникеП=у): а ^ х О , с ^ у ^ d}yа функция <р(х) интегрируема на отрезке [а, Ъ]. П оказать, что справедлива{(ж,формулаЪddЪj f >p(x)f(x,y)dxdy = j dx j ip(x)f(x, y) dy = j d y j<p(x)f(x,y) dx.aссaГ Л А В А XIКРИВОЛИНЕЙНЫ ЕИ ПОВЕРХНОСТНЫ Е И Н ТЕГРАЛ Ы§ 50. К ри воли н ей н ы е и н тегр алы1. Е в к л и д о в о п р о с т р а н с т в о . Из курса аналитической геометрии [7] известно, что в каждой паре точек А и В евклидова пространства ставится в соответствие вектор .
1/}. Для векторов определены операции сложения и умножения на вещественные числа, длялюбых двух векторов определено их скалярное произведение. Еслирасстояние между точками определить как р(А,В) = \АЁ\, то будут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и всевведенные для метрического пространства понятия переносятся и наевклидово пространство.Если в евклидовом пространстве фиксирована точка О, то положение любой точки А определяется вектором o i , и евклидово пространство можно отождествить с векторным пространством Е 3. Базис из трех линейно независимых векторов определяет координатнуюсистему в евклидовом пространстве. Предполагается, что пространство ориентировано при помощи правой тройки векторов.
Свойстваобъектов, не зависящие от выбора координатной системы, называются инвариантными.Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости,образует линейное двумерное пространство Е 2. Базис из двух линейно независимых векторов определяет координатную систему в Е 2.Правая пара векторов определяет ориентацию Е 2.2 . Г л а д к и е и к у с о ч н о г л а д к и е к р и в ы е . Напомним, что гладкаякривая в R3 задастся векторным уравнением (§ 22)Г = Г(t),И SC / SC(1)S.где вектор-функция г (t) является непрерывно дифференцируемой наотрезке [а, (3\, причем r'(t) ф 0 на [а,(3\.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
